diumenge, 11 de desembre de 2011

Fluids

En física la primera cosa que és idealitzar-ho tot. Per començar els problemes de projectils que es fan a l'institut mai tenen en compte l'aire. Després es considera que els cossos són puntuals. I finalment es comença a pertorbar lleugerament les coses. Amb els fluids passa el mateix.

Ara les primeres aproximacions que fem són si els fluids mullen o no mullen. Si mullen és que són viscosos, que hi ha una certa interacció interna, una dissipació, que els fluids s'enganxen a les parets (i per tant mullen). Si no mullen passa tot el contrari, el fluid va com si res l'única condició és que no pot penetrar parets.

Els fluids que no mullen s'anomenen fluids ideals (tampoc es poden comprimir) i el moviment d'aquests es pot descriure molt bé amb l'equació de Bernoulli. Que com vam veure pot explicar molts fenòmens relacionats amb els fluids.

D'altra banda amb fluids que no mullen no es pot explicar d'altres efectes. Per això fa falta la viscositat (introduïda des de fa molts anys pel gran Newton). I que a més a més poden tenir comportaments molt diferents.

I al llarg dels anys s'han anat fent coses fins a treure una de les equacions més perilloses de la física clàssica, l'equació de Navier-Stokes.

A partir d'aquí són moltes i moltes hores de matemàtiques i laboratori. Jo el que faré és anar penjant vídeos que il·lustraran les veritables belleses dels fluids i alhora la perillositat de l'equació de Navier-Stokes. I aquí ve el primer vídeo, en aquest cas és un fluid molt viscós en unes condicions de contorn força ben triades.

diumenge, 23 d’octubre de 2011

La fi dels raigs N

Fa uns dies en Dan escrivia sobre una radiació que va néixer, i morir, als laboratoris francesos. Qui va acabar amb ells va ser tot un personatge. Robert Wood és dels físics que va deixar una bona quantitat d'anècdotes.

Wood va ser catedràtic de física a la John Hopkins University a Baltimore. En dies en què hi havia bassals alarmava a la gent escupint-hi al mateix temps, que de manera dissimulada, hi deixava caure un troç de sodi metàl·lic.


Va escriure escriure un llibre per nens titulat "Com distingir el ocells de les plantes".

Quan era jove va estar una temporada vivint a Paris. Allà s'allotjava en una pensió i la mestressa va ser víctima d'una de les seves bromes. Ella vivia al pis de sota i a la terrassa hi tenia una tortuga. Wood va aconseguir una bona col·lecció de tortugues de diferents mides i va passar a l'acció. El que va fer va ser canviar la tortuga de la dona per una d'una mida més gran. Cada pocs dies repetia l'operació i hi deixava una tortuga més gran que l'anterior. Sorpresa, la patrona va explicar a en Robert el prodigi de la naturalesa que tenia a casa, una tortuga que creixia a una velocitat d'infart. En Wood per seguir amb la cosa la va animar a anar-ho a consultar a un cèlebre professor d'universitat i a informar-ne a la premsa. La premsa no ho va dubtar i se li van presentar a casa per fer-ne un reportatge, i llavors, Wood va iniciar l'operació inversa i l'animal va començar-se a fer petit de forma misteriosa.

Wood es dedicava a l'espectroscopia. Es diu que quan era a París va escampar pols blanca sobre els ossos del pollastre després d'un sopar i que l'endemà va deixar anar unes gotes de caldo en una flama i aquesta va cremar de color vermell, la mestressa havia fet servir aquells ossos pel caldo*. Com a espectroscopista va ensinistrar el seu gat per tal que li passés per dins i li netegés de pols i teranyines.

Però com a científic va fulminar els raigs N. Els raigs N van ser producte de la frustració i moltes hores de laboratori, qualsevol persona, tancada hores i hores amb poca llum en un laboratori d'òptica descobreix radiacions estranyes, coneix amics imaginaris i, sobretot, perd la poca vista que li quedava.

* Aquesta no em sembla massa creïble tenint en compte com havia de quedar de salada la sopa (havia fet ús de LiCl). Una anècdota semblant és atribuïda a George de Hevesy que diuen que va afegir un polsím de sals radioactives i després les va detectar amb un Geiger.

divendres, 23 de setembre de 2011

Els neutrins

Què són els neutrins?? Des de fa unes hores els neutrins són les partícules subatòmiques més mediàtiques, més que els electrons (que fins fa uns anys feien anar totes les teles del planeta). I es que van i ahir publiquen uns resultats anòmals (aquí l'article) i que sembla que posen de potes enlaire la física que coneixem. Clar que el que mou la física, i la ciència en general, és que de tant en tant s'hagi de replantejar tots els esquemes anteriors perquè fallen, i perquè no, això és el que fa que hi pugui haver físics nous vivint de la física.

Però què coi són els neutrins?

Als anys 30 quan els físics feien números amb les reaccions nuclears del tipus: un neutró de càrrega neutra es desintegra i en resulten un protó de càrrega positiva i un electró de càrrega negativa; quan comparaven l'energia que hi havia en el neutró i la suma de la que portaven el protó i l'electró els en faltava i el mateix passava quan sumaven la quantitat de moviment. Aquestes dues quantitats s'han de conservar.

I què van fer els físics? Doncs el que hauria fet qualsevol altra persona. Van dir que simplement hi havia una partícula de càrrega neutra que s'enduia l'energia i el moment que els faltava. El problema és que eren completament incapaços de detectar-la.

No va ser fins el 1956 que en un experiment en van tenir evidències i des de llavors ja se l'ha tinguda en compte com una més de la família subatòmica, concretament està molt relacionada amb la família dels electrons, els leptons.

En aquest gràfic podem veure les partícules subatòmiques del model estàndard.
Els quarks, que són els qui formen els protons i neutrons, els leptons entre ells electrons i neutrins, i els portadors de les forces com el fotó i els bosons W i Z (trobats al CERN).

Com no podia ser d'altra manera, una partícula tan esquiva com els neutrins sempre ha portat maldecaps als físics.

Durant molts anys pensaven que no tenien massa (massa en repòs igual a 0). Més tard van comprovar que la proporció dels diferents tipus de neutrins (els neutrins electrònics, muònic i tauònic) que ens arriben del Sol no quadraven amb els models. Els físics ja van haver d'empescar-se alguna cosa: ara es parla de l'oscil·lació dels neutrins.

Per detectar-los sempre han estat un problema, si fa uns anys eren incapaços de mesurar-los ara entenem perquè i es que la majoria dels que ens arriben del Sol són creuen el planeta sense si adonar-se'n. Cada segon som ametrallats per centenars de milers de milions de neutrins i nosaltres seguim com si res. I ara no es pot dir que no els costi de detectar-los.

D'altra banda tenen altres propietats que els fa extremadament curioses i una d'elles és que alguns teròrics els veuen com les seves pròpies antipartícules, sembla ser que tots els antineutrins son esquerrans i els neutrins dretans (fa referència a l'helicitat).

Com es pot veure els neutrins són unes partícules que els agrada sortir-se dels esquemes i portar de corcoll als físics. I ara ja feia uns anys que estaven tranquils.

Si es mira l'article dels científics del CERN es pot llegir una anàlisi detallada del tractament dels milers de numerets que han anat registrant les màquines a Suïssa i a Itàlia, el resultat final ha estat que els neutrins viatgen lleugerament més ràpid que la llum, però eren lícits tots els càlculs que han fet?? Hauran de tornar-se a treure alguna cosa de la màniga els físics?? I es que si una cosa saben fer els físics són les famoses patillades. Com acabarà tot plegat? Se'n sortirà la Teoria de la Relativitat Especial?? O més ben dit, fins a quin punt hi entra en conflicte? És l'enèsima maniobra evasiva el bosó de Higgs?? O simplement hi haurà activistes que protestaran pels mals comesos a milers de neutrins? De moment seguirem atens a la comunitat científica.

I per acabar m'agradaria recordar una cosa que em fa gràcia. Tant de parlar del CERN i el Higgs i totes les bones notícies (i la dels neutrins) que han arribat del CERN els últims mesos han estat relacionades amb petits experiments que passen desapercebuts dels mitjans.

dijous, 21 de juliol de 2011

L'IFS i la falguera de Barnsley

Fa un temps en aquest blog vaig escriure sobre el joc del caos i petites variacions. Aquests jocs es basen en el que a dia d'avui es coneix com el Teorema del Collage. Si llegim el que en diu la Wikipedia no s'entén pràcticament res (és el que passa amb molts teoremes).

Si mirem d'entendre què passava amb el joc del caos veiem que tenim 3 punts especials (cadascun dels vèrtex) i que estem fent una reducció de longitud des d'un punt qualsevol a un dels vèrtex. D'haver-hi només un dels vèrtex el punt cauria, inevitablement, cap al vèrtex: el vèrtex és un atractor. En ficar els 3 vèrtex junts el punt no acaba de caure mai en cap d'ells (tot i que s'hi acosta i es manté acotat) el que diu el teorema del collage és que l'atractor total és la unió dels atractors independents. Costa d'entendre però mirant una estoneta el triangle de Sierpinski un se'n fa una idea més o menys encertada.

El matemàtic Michael Barnsley al llibre fractals everywhere ens proposa un exemple combinant 4 transformacions afins (una mica més complicades que les del joc del caos). Esquemàticament tenen aquesta pinta:


La primera, representada en verd és una reducció d'escala de la coordenada y, amb una probabilitat de l'1% de ser aplicada:

La segona, representada per un rectangle blau s'aplica un 85% de les vegades:

La tercera, representada per un rectangle vermell s'aplica en un 7% de les vegades:

La quarta, representada per un rectangle blau fosc s'aplica en un 7%:

Si fem que l'ordinador ho dibuixi obtenim, efectivament, la falguera de Barnsley. A continuació veurem diferents figures amb 10, 50, 100, 500, 1000, 10000 i 50000 iteracions.







divendres, 8 de juliol de 2011

Ciència als concursos

L'altre dia a Gaussianos mencionaven que als concursos de la tele les matemàtiques n'estan completament excloses. I que un programa que fa gala de preguntes altament sofisticades en temes artístics, de literatura i d'història com és Saber y Ganar les matemàtiques les deixin únicament a sumar, restar, multiplicar i dividir.

I aquest migdia ho he entès. Al bocamoll, a TV3. En aquest programa la prova final és d'un camp qualsevol del coneixement i s'ha de classificar un total de 7 conceptes en 3 camps diferents. Quan es tracta de cinema, literatura, llengua, geografia... Sembla que el límit de dificultat desaparegui. En el d'avui, per contra, s'havia de classificar 7 conceptes en 3 grans personatges de la història de la ciència: Galileu, Newton i Einstein. Com era d'esperar no eren complicats (en temes de ciència sempre busquen el més bàsic). Enllaç al video.

Al minut 26:30 hi ha l'explicació de perquè no cal fer ús d'un nivell alt de ciència als concursos (al minut 3:30 també hi ha somriures de completa ignorància amb alguns elements i compostos químics). La cara de les noies ho diu tot, no en saben n'hi una. L'únic que podem dir és que entre la "sort" i en Roger de Gràcia obtenen una molt bona combinació, 5/7 (0.4 % de probabilitats d'aconseguir-ho, felicitats!) .

L'única crítica que tinc pel Bocamoll és que han agafat els conceptes més senzills però alhora els que podien donar lloc a més confusió ja que eren compartits, és a dir, iniciats per uns i culminat pels altres. La relativitat és dels tres i la gravetat d'Einstein i Newton. Però bé, per deixar tan malament les ciències potser seria millor seguir com fins ara, sense concursos amb preguntes de ciències... Tot i que segurament no és culpa del concurs sinó dels concursants i la solució, sens dubte, és mirar d'aconseguir que les ciències deixin d'estar marginades al típic "es que és molt difícil" i/o "no serveix per res".

dilluns, 27 de juny de 2011

Les equacions de Maxwell (I)

Tal com vaig dir l'altre dia el bloc reprèn l'activitat i començaré una sèrie d'articles sobre fenòmens elèctrics i magnètics.

Una manera de veure la física és escrivint 4 equacions i dir que tots els fenòmens que s'hi relacionen es poden deduir a partir de la correcta manupulació de les expressions. Aquest punt de vista és cert, es poden extreure els fenòmens, però sempre he preferit fer-ho a l'inrevés, anar veient fenòmens i acabar escrivint expressions per acabar entenent què vol dir cada símbol al món real.

Ja fa més d'un mil·lenni que els Antics Grecs van observar fanòmens curisos que es podien experimentar fregant un fragment d'àmbar. Tales va observar que fregant un fragment d'àmbar amb drap, el fragment, adquiria propietats atractives respecte d'alguns objectes lleugers. El mateix fenomen es pot experimentar a casa amb una pinta de plàstic o un bolígraf Bic. Si el freguem amb els cabells podem aconseguir que la pinta desviï un rajolí d'aigua o que el bolígraf capturi petits fragments de paper.

Aquests experiments ens porten a pensar que hi ha algun tipus d'interacció, de força, entre els dos objectes. Anys més tard es va proposar una entitat fisicomatemàtica per explicar-ho els camps. Ens quedarem amb la paraula camp però no és per aquí per on seguirem.

Quan parlem d'un camp el que hem d'imaginar és que a cada punt de l'espai se li assigna una propietat. Per exemple, un camp de temperatures és el que obtindríem si a cada punt d'una habitació se li assignés el seu valor de temperatures. Quan parlem del camp elèctric podríem parlar, per exemple, del valor que prendria, en cada punt, la força entre el nostre bolígraf i un trosset de paper determinat.

Els científics del segle XVIII es van adonar que les propietats que adquireix un objecte quan es frega i l'objecte amb què ha estat fregat són lleugerament diferents. Els dos tenen la capacitat d'atreure trossets de paper i els dos s'atrauen mútuament. Ara bé, si s'apropen els objectes fregats entre ells es repel·leixen. Això va fer que es pensés que la causa de les forces eren dues (ara parlem de càrregues positives i negatives).

Amb aquestes idees Coulomb va fer experiments amb càrregues i amb una balança de torsió va establir la relació entre la força de les càrregues ($F$), la càrrega elèctrica ($Q_1$ i $Q_2$) i la distància ($d$) que les separava.

\[F=k\frac{Q_1Q_2}{d^2}\]

L'expressió anterior és també vàlida per la gravetat (Gravitació Universal de Newton) canviant $Q_1$ i $Q_2$ per $m_1$ i $m_2$ i la constant $k$.

Amb la idea de camp elèctric (força a cada punt, de fet $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$) i de càrrega ja es pot començar a experimentar. Un altre experiment interessant és la gàbia de Faraday. Si col·loquem una font o receptor electromagnètic dins d'un recipient metàl·lic tancat veiem que l'aïllem de nosaltres. Per exemple si agafem una olla, li fiquem un mòbil a dins, la tapem i el truquem.. Podem veure que el telèfon no respon, passa alguna cosa (ho he provat amb diferents olles i amb algunes, les més hermètiques funciona, no hi ha senyal a l'interior).

El senyal que arriba al telèfon no són més que oscil·lacions (vibracions) de camps elèctrics i magnètics. Al ficar el telèfon dins del recipient metàl·lic (conductor) l'hem aïllat de la resta de l'espai elèctricament parlant. Aquest fet és el que enuncia la primera llei de Maxwell de l'electromagnetisme (Llei de Gauss (també vàlida per la gravetat)). La llei diu que el nombre total de línies de camp elèctric que entren o surten d'una superfície tancada és proporcional a la càrrega que hi està continguda $\rho$ és la distribució de càrrega.

\[\overrightarrow\nabla\cdot \overrightarrow{E}= 4\pi\rho \]
I de forma integral:
\[\oint _S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi{Q}\]


Les càrregues de la figura tenen les línies de camp dibuixades. En el cas de l'esquerra si envoltem amb una circumferència una de les dues càrregues podem comptar el nombre de línies que la creuen. Si envoltem les dues alhora veurem que el nombre es duplica. D'altra banda, si envoltem la positiva i la negativa de l'esquerra veurem que el nombre total de línies que entren menys les que surten és 0. A l'interior no hi ha càrrega neta $1+(-1)=0$.

dimarts, 14 de juny de 2011

Copenhagen i Niels Bohr

Fa no massa en PepQuímic va escriure 4 ratlles de l'obra de teatre Copenhagen, gràcies a elles aquest dissabte la vaig poder gaudir a Tarragona. Els actors que van interpretar els 3 personatges ho van fer magistralment (tot i la infinitat de noms de físics alemanys que havien d'anar recitant al moment oportú) i d'aquesta manera van aconseguir traslladar al públic els dilemes que plantejava Heisenberg i les sortides que plantejava Bohr. Realment fa pensar, i molt.

Al principi de la segona part Heisenberg i Bohr intenten explicar una anècdota en què el jove Bohr havia disparat a un dels seus estudiants, el punt còmic és que Bohr deia que havia matat a Casimir i Heisenberg deia que Gamow li havia dit que l'havia matat a ell. Això deixava entreveure que Niels Bohr és un personatge carregat d'anècdotes més o menys còmiques.

Per tal de conèixer-ne alguna i veure una mica més com era un gran teòric com Bohr transcriuré uns quants fragments del llibre de George Gamow Biografia de la física.

És pràcticament impossible descriure a Niels Bohr a una persona que mai hagi treballat amb ell. Probablement la seva qualitat més característica era la seva lentitud en el pensament i la comprensió. [...] Al vespre, quan un grup de deixebles de Bohr treballaven a l'Institut Paa Blegdamsvejen discutint els últims problemes de la teoria dels quants o jugant al ping-pong a la taula de la biblioteca amb tasses de cafè en ella per fer-ho més difícil, apareixia Bohr dient que estava molt cansat i que volia fer alguna cosa. Fer alguna cosa significava anar al cine i les dues úniques pel·lícules que li agradaven eren Lluita a trets en el ranxo Lazy Gee o El genet solitari i una mossa síoux. Però era penós anar amb Bohr al cine. No podia seguir l'argument i ens preguntava constantment, amb gran enuig del públic, coses com "Es aquesta la germana del cawboy que va matar d'un tiro l'indi que intentava de robar un ramat de bestiar que pertanyia al seu cunyat??"

La mateixa lentitud de reacció la mostrava a les reunions científiques. Moltes vegades, un jove físic visitant (la majoria dels joves que visitaven Copenhagen eren joves) parlava brillantment dels seus càlculs sobre algun problema de física quàntica enrevessat; tothom, del públic, entenia clarament el raonament menys Bohr. Tots començàvem llavors a explicar-li la senzilla qüestió que no havia entès, i enmig del sidral tothom acabava per no entendre res. Finalment, després de força estona, Bohr començava a comprendre i resultava que el que ell havia comprès del problema presentat pel visitant era absolutament diferent al que apuntava el jove físic i la seva interpretació era la correcta mentre que la del visitant no.

L'afició de Bohr pels westerns es va traduir en una teoria desconeguda per a tots tret dels seus companys de cine d'aquells temps. Tothom sap que a totes les pel·lícules de l'oest el dolent sempre dispara de segida, però l'heroi és més ràpid i sempre mata l'enemic. Niels Bohr va atribuir aquest fenomen a la diferència entre les accions deliberades i les accions condicionades. El dolent ha de decidir quan ha de desenfundar, fet que retarda l'acció, mentre que l'heroi dispara sense pensar just en el moment en què el dolent va a desenfundar. Tots vam discrepar de la teoria i l'endemà al matí l'autor [George Gamow] va anar a una botiga de joguines a comprar un parell de pistoles de cawboy. Nosaltres disparàvem a Bohr, que feia d'heroi, però ens va matar a tots.

Un altre exemple de la lentitud de pensament de Bohr era la seva poca habilitat per trobar una solució ràpida als mots encreuats. Una tarda, l'autor [Gamow] va anar a la casa de camp de Bohr a Tisvileleje (al nord de Jutlàndia), on Bohr havia estat treballant tot el dia amb el seu ajudant, León Rosenfeld (de Bèlgica), en un important treball sobre les relacions d'indeterminació. Els dos estaven exhausts per la feina feta i, després de sopar, Bohr va indicar que per descansar farien uns mots encreuats d'alguna revista anglesa. La cosa no va anar massa bé i, una hora més tard, Fru Bohr (fru és la dona en danès) va suggerir que seria millor anar tots a dormir. Qui sap quina hora era que Rosenfeld i jo, que compartíem l'habitació dels convidats, vam ser despertats per uns cops a la porta. Val saltar del llit preguntant "Qui hi ha?? Què passa?". Llavors vam sentir una veu apagada a través de la porta "Soc jo, Bohr. No vull pertorbar-vos, però vull dir-vos que la ciutat industrial anglèsa amb set lletres, que acaba per ich, és Ipswich".

Una vegada, ja era tard, a la nit (cap a les onze segons els rellotges de Copenhagen), l'autor tornava amb Bohr, Fru Bohr i un físic holandès, Cas Casimir, d'un sopar a casa d'un membre de l'institut de Bohr. Casimir era un expert escalador de façanes a qui moltes vegades es podia veure a la biblioteca de l'Institut enfilat a dalt de tot de les estanteries amb un llibre a les mans i les cames estirades. Anàvem per un carrer desert i vam passar pel costat de l'edifici d'un banc. La façana del banc, formada per grans blocs de ciment, va cridar l'atenció a Casimir i n'escalà 2 pisos. Quan va ser a terra, Bohr va voler igualar la gesta i pujar lentament per la façana. Una mica confosos, Fru Bohr, Casimir i jo, estàvem a sota observant la lenta ascensió de Bohr per la paret. En aquell moment, dos guàrdies de la ronda de nit es van aproximar ràpidament per darrere, disposats a l'acció. Van mirar a Bohr, que penjava entre el primer i el segon pis i un d'ells va dir "Oh, no és més que el professor Bohr" i ja completament tranquils van reprendre la ronda nocturna.

I aquest és el gran teòric i un dels pares de la física quàntica.

dimecres, 8 de juny de 2011

Reobrim per vacances

Després d'una bona temporada completament absent de la blogsfera l'Alasanid torna a córrer per aquests indrets. Fins i tot m'he trobat que el LaTeX ha tocat el dos i només queden els $ que acompanyen les expressions. Miraré d'arreglar-ho però no prometo res.

Aquest estiu procuraré d'anar omplint aquest espai amb Ig Nobels, experiments, pseudociència, alguna anècdota i una mica de física. A veure si puc animar això una mica que està ben mort.




Fins ara!!

latex arreglat

dimarts, 12 d’abril de 2011

First Orbit

Fa mesos que no penjo res i cada cop escric el mateix. Tinc idees però vaig just de temps. Ara penjo un video que evoca un dels grans moments de la Cursa Espacial. El primer vol.



Perquè va ser increïble enviar-lo i, a més a més, fer-lo baixar. Felicitats Yuri

dilluns, 10 de gener de 2011

Fes el teu fractal de Newton

Les imatges dels fractals de Newton de l'entrada passada els vaig fer amb el Mathematica. Ara bé, hi ha mètodes alternatius que són més ràpids, i còmodes de fer anar. L'únic inconvenient que té és que s'ha d'introduir la derivada a mà.

El mètode alternatiu implica el programa Ultra Fractal 5. Aquest és un programa que cal comprar o intal·lar-ne una versió de prova. La meva recomanació és que instal·leu la versió de prova ja que quan acaba el termini es pot seguir utilitzant. L'únic problema és que té inhabilitades algunes opcions de renderització i que deixa marques d'aigua a les exportacions d'imatges. Tanmateix és el programa ideal per jugar amb el pla complex.

Si us decidiu per intal·lar el programa podreu navegar pels conjunts de Julia i Mandelbrot i crear-vos els conjunts de Newton que vulgueu. I no només navegar ja que podreu jugar amb les opcions de coloració dels fractals, capes de colors, etc. Amb ell surt la vena artística de la gent de ciències!!

Acabada la publicitat (ara és quan aquella gent m'hauria de donar una llicència gratuïta pel programa) toca començar a fer fractals.

Si teniu ja el programa (i després d'obrir-lo i explorar el conjunt de Mandelbrot) es pot provar de fer fractals de Newton. Per a fer-ho només cal seguir les instruccions següents.

1.- Aneu a File, New, Fractal Formula File.

2.- Entreu a Insert, New Formula..

3.- Introduïu el nom de l'arxiu "Newton", per exemple. Després d'accepta apareix un text base amb comentaris. Ara només caldrà donar algunes instruccions bàsiques.

4.- A l'apartat init: s'ha d'introduir la intrucció z=#pixel. Això dóna a la variable z el valor del píxel en què es troba (punt inicial pel mètode de Newton).

5.- A l'apartat loop: s'ha d'introduir l'expressió del mètode de Newton per exemple z=z-(z^3+2*z^2+z+1)/(3*z^2+4*z+1). Això generarà el fractal de Newton corresponent a la funció $f(z)=z^3+2*z^2+z+1$.

6.- A l'apartat bailout: s'hi ha d'introduir la condició que atura el loop:. En el nostre cas volem que deixi de calcular quan f(z) sigui proper a zero. |x^3+2*z^2+z+1|>0.005 farà que el mètode deixi d'aplicar-se quan f(z) sigui més petita que 0.005.

7.- Ara només cal guardar la fórmula File, Save as, Formulas, My Formulas.

8.- Per obrir el fractal File, New, Fractal, My Formulas, Newton.ufm.

9.- I a explorar!

En un dels comentaris de l'article anterior en Sheldon va preguntar cap a on convergia cada punt ja que els dibuixos els vaig fer en funció de la velocitat de convergència. He estat explorant l'Ultra Fractal i aquí ve el resultat. Les zones estan pintades en funció de la solució a la que convergeixen.

Per la funció $f(z)=z^3+2z^2+z+1$ teníem clarament 3 zones de convergència i una frontera fractal, per tant obtenim aquestes figures:



Per $f(z)=z^3+2z^2+\sqrt{z}+1$:




I per $f(z)=z^3+2z^2+ln(z)+1$:




I ara un dibuix fet amb $f(z)=z^3+2z^2+tan(z)+1$:

divendres, 7 de gener de 2011

Fractals i mètode de Newton

En l'entrada anterior vaig parlar del mètode de Newton per tal de trobar zeros de funcions i resoldre equacions. Com a exemple vaig trobar la solució real de $x^3+2x^2+x+1=0$. A més a més, vaig comentar que n'hi havia dues més i que eren complexes. Per tant, el més raonable és ficar-se a treballar amb els nombres complexos.

Per tenir una idea aproximada d'on es troben les solucions he anat avaluant la funció polinòmica en diferents punts del pla complex (propers a l'origen) i he pintat cada punt depenent del valor del seu mòdul. Els punts més foscos es corresponen als valors més alts.


Els tres zeros es corresponen a les zones blanques i són $x_1=-1.755$ (a l'esquerra), $x_2=-0.123+0.745i$ (a la part superior) i $x_3=-0.123-0.745i$ (a la part inferior). Fins aquí l'únic que s'ha hagut de fer és fer ús del mètode de Newton. El mètode de Newton necessita un punt d'inici, cap a quina solució anem depenent d'aquest punt? O són tots els punts igual de bons??

El que he fet a continuació és anar aplicant el mètode de Newton a diferents punts del pla complex i pintar-los en funció del nombre d'iteracions que necessiten per convergir a una solució.

Pintades de colors més foscos (lila) es mostren les zones per les quals la convergència és més ràpida. Com era d'esperar el pla queda clarament dividit en 3 regions els punts de les quals convergeixen cap a cada un dels zeros. El més interessant, però, és la frontera! Si ampliem una mica la imatge a prop de la frontera que separa les arrels imaginàries ens trobem amb formes molt curioses:


Podem apreciar l'autosimilitud que caracteritza moltes estructures fractals. Aquestes figures es coneixen com els fractals de Newton. Ara doncs, l'únic que fa falta és trobar una equació i provar de resoldre-la.

L'equació $sin(x)+x=0$ només té un zero real ($x=0$). Ara bé el sinus d'un nombre complex pot prendre valors més grans que 1 (cosa que no passa amb els reals). Si es representa el valor de la funció per a diferents punts del pla podem veure el zero real i els zeros complexos (sempre aparellats amb el seu complex conjugat):

Els primers 4 zeros complexos es troben a $x_1=4.212+2.251i$, $x_2= 4.212-2.251i$, $x_3=-4.212+2.251i$ i $x_4=-4.212-2.251i$. Un cop localitzats els zeros pintem els punts en funció de la convergència a les arrels i ampliem algunes zones.




Si canviem la funció per $f(x)=sin(x)+x^2$ obtenim altres estructures:

Si ens fixem amb funcions més complicades com les arrels quadrades i els logaritmes podem trobar-nos amb estructures més problemàtiques. Per exemple, si a l'equació inicial de tercer grau substituïm la $x$ per $\sqrt{x}$ obtenim una nova funció $f(x)=x^3+2x^2+\sqrt{x}+1$ que porta a un fractal de Newton molt diferent.


I fent $f(x)=x^3+2x^2+ln(x)+1$ obtenim aquestes figures:






Ara només és qüestió de trobar funcions interessants i anar-les representant. I encara hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides!! És una llàstima que les matemàtiques les pugui gaudir tan poca gent...

dimarts, 4 de gener de 2011

El mètode de Newton

Un dels capítols importants de les matemàtiques als instituts és la resolució d'equacions. Allà s'ensenyen fórmules per poder arribar a resoldre equacions de segon grau del tipus $ax^2+bx+c=0$.

Si un es fica a inventar-se equacions veu que de seguida passen a ser més complicades de fer. Per exemple, per una equació de tercer grau la fórmula ja és espantosa. Com que recordar aquests desenvolupaments (o saber-los deduir) és feixuc els matemàtics han buscat i trobat camins alternatius.

El que ens interessa és trobar el que s'anomenen zeros d'una funció. Es a dir els valors de $x$ pels que la funció s'anul·la ($f(x)=0$) aquesta és la nostra equació). Per fer això hi ha mètodes força elementals (anar provant valors (més o menys com la loteria de Nadal)) i d'altres de més refinats com el de Newton-Raphson (també anomenat de la tangent).

El mètode de Newton necessita una funció $f(x)$ (que descriu una corba en el pla) i un valor qualsevol $x_1$. El que hem de fer és trobar la recta tangent a la corba en $x_1$ i mirar on talla l'eix de les x: aquest punt de tall serà el valor $x_2$. Amb el segon valor de x hem de fer el que hem fet amb $x_1$ per tal de trobar punt $x_3$. I així successivament.

L'expressió que es fa servir per calcular el punt de tall amb l'eix de les x és la següent:
$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f\prime(x_n)}$.
On $f'(x_n)$ és la derivada de la funció en el punt $x_n$ (la derivada d'una funció en un punt dóna el pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt, es a dir, com de ràpid creix).

En l'animació es mostra com donada una corba se'n troba el zero. La gràcia del mètode és que és ràpid i el podem fer servir en moltes situacions.

Si volem resoldre una equació de tercer grau com la següent $x^3+2x^2+x+1=0$ el primer que hem de fer és construir la funció $f(x)$ i la seva derivada:

$f(x)=x^3+2x^2+x+1$
$f\prime(x)=3x^2+4x+1$

Si representem la funció podem veure que el zero es troba al voltant de -1.8.


Començarem amb $x_1=2$ per veure com funciona el mètode i anirem avaluant la funció després de cada pas.

$x_1=2$
$f(x_1)=19$

$x_2=1.09523$
$f(x_2)= 5.80805$

$x_3=0.44842$
$f(x_3)=1.94075$

$x_4=-0.12290$
$f(x_4)= 0.90545$

$x_5=-1.75814$
$f(x_5)= -0.0105$

$x_6=-1.75489$
$f(x_6)= 0.00004$

Com podem veure amb pocs passos hem obtingut un nombre que fa f(x) molt propera a 0. El punt $x_6$ és una bona aproximació de la solució de l'equació.

Tanmateix, les equacions de tercer grau tenen sempre 3 solucions tot i que poden no ser entre els nombres reals. La que tenim nosaltres només presenta un punt de tall amb l'eix x i, per tant, només té una solució real (les altres dues es troben en els nombres complexos). Per trobar les dues restants també es pot fer ús del mètode de Newton. Depenent de quin sigui el punt inicial anirem cap a zeros diferents!

Les preguntes que un sempre s'ha de fer amb els mètodes numèrics són les següents:

1.- Realment dóna el valor que volem??
2.- En cas de donar el valor correcte quan triga a arribar-hi?

Per tal de respondre aquestes preguntes ara que disposem d'ordinadors la resposta és òbvia. Agafem una regió i anem provant diferents nombres i ens anotem els passos que fan falta per obtenir un valor determinat. Però això ja és del proper article.