divendres, 5 d’octubre de 2012

Sèries: El problema de Basilea

Ara feia molt temps que no entrava al blog i escrivia alguna cosa. No és per falta de temes ja que sempre en tinc al cap, l'únic que passa és que em fa una mandra espantosa tornar a escriure. De mica en mica, però, aniré tornant. Ara per tornar he vist que el LaTeX tornava a fallar i l'he arreglat i en aquest article ficaré 4 números i sumes infinites per posar-lo a prova. Benvinguts del nou al meu bloc els qui seguiu per aquest món.

Quan un aplica les matemàtiques a la vida real en moltes ocasions es troba amb les sèries. Una sèrie és una suma de termes d'una successió. Algunes d'elles tenen la seva història. Fa temps vaig parlar de la sèrie aritmètica que la va sumar Gauss i avui toca el problema de Basilea que va ser resolt per Euler. Euler, com molts altres matemàtics després seu, va ser dels que podrien haver fet seva la frase del gran Buzz-Lightyear.

El problema de Basilea és fer la suma següent:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...\]
A diferència de la suma aritmètica aquesta és completament impossible de fer a mà però sí que ens hi podem anar acostant de mica en mica. La idea per a fer la suma és buscar-la en un lloc conegut.

Per a fer-ho recorrem a les sèries de Taylor (que ens ajuden en infinitat de situacions). El desenvolupament en sèrie de Taylor del sinus és:
\[sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-...=x(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-...)\]
I si dividim per x obtenim:
\[\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-...\]
D'altra banda podem construir la funció anterior emprant un mètode més còmode. Els punts en què de la funció $sin(x)/x$ s'anul·la en els mateixos punts que la funció $\sin(x)$ i són $x=\pm\pi$, $x=\pm2\pi$... De fet té infinits punts en què s'anul·la, tots els què satisfan $x=n\pi$. Per tant, podem construir un polinomi que representi la nostra funció de la manera següent:
\[\frac{sin(x)}{x}=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})...\]
Veiem que la funció s'anul·la en tots els punts que havíem mencionat abans $x=n\pi$. Ara podem aplicar la relació $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ i obtenim una expressió amb què ens serà més còmode de treballar.
\[\frac{sin(x)}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2})(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2})...\]
Ara només hem de començar a multiplicar com a autòmats (hi ha altres expressions més freqüents però de moment els autòmats no se senten ofesos):
\[\frac{sin(x)}{x}=1-(\frac{x^2}{\pi^2}+\frac{x^2}{2^2\pi^2}+\frac{x^2}{3^2\pi^2}+...)+(\frac{x^2}{\pi^2}\frac{x^2}{2^2\pi^2}+...)-...=\]
\[=1-\frac{x^2}{\pi^2}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...)+\frac{x^4}{\pi^4}(\frac{1}{1^2}\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}\frac{1^2}{3^2}+...)-...\]
On el primer terme és el producte de tots els uns. El segon terme és multiplicar cada terme amb $x^2$ amb els uns, podem veure que anirem tenint termes de la forma $\frac{x^2}{n^2\pi^2}$. El tercer terme és el resultat de multiplicar dos termes amb $x^2$ diferents pels uns.. Fent-ho així acabaríem fent el producte de tots amb tots però ja els tindríem ordenats en potències parelles de $x$. De moment ens centrem en el segon terme: el que va amb $x^2$, és fàcil de veure que és la sèrie que preteníem sumar!!
\[\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]
Ara doncs ens queda comparar els dos coeficients que acompanyen el terme $x^2$ dels dos desenvolupaments en sèrie.
\[-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\longrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\]
Amb aquest mètode, una mica indirecte, hem aconseguit fer una suma infinita sense haver hagut de sumar cap número. Amb accions com aquesta els grans matemàtics passen a la història.

Ara podem aprofitar la idea per a fer el càlcul amb $1/n^4$. Per a fer-ho jo he hagut de fer una resta cosa que havia de passar, no tinc el nivell de l'Euler.

El terme amb $x^4$ el podem expandir una mica més i obtenim:
\[\frac{x^2}{\pi^2}\frac{x^2}{2^2\pi^2}+\frac{x^2}{\pi^2}\frac{x^2}{3^2\pi^2}+...+\frac{x^2}{2^2\pi^2}\frac{x^2}{3^2\pi^2}+\frac{x^2}{2\pi^2}\frac{x^2}{4^2\pi^2}+...\]
\[...+\frac{x^2}{3\pi^2}\frac{x^2}{4^2\pi^2}+\frac{x^2}{3\pi^2}\frac{x^2}{5^2\pi^2}...=\]
\[=\frac{x^4}{\pi^4}(\frac{1}{1^2}(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...)+\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...)+\frac{1}{3^2}(\frac{1}{4^2}+...)\right)\]
Podem veure com s'ordenen. Veiem que cada terme de la suma consta de dos termes, el primer recorre tots els valors possibles de n mentre que el segon recorre només els k termes que són més grans que n. En format compacte això ho podríem escriure de la manera següent:
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k>n}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k>n}^{\infty}\frac{1}{n^2k^2}=\frac{\pi^2}{120}\]
On l'últim resultat és el de comparar amb el terme d'ordre $x^4$ del desenvolupament en sèrie. Ara és quan hem de mirar de sumar això d'alguna manera i mirar de fer servir el resultat anterior (El del problema de Basilea). Si miréssim de sumar per a tots els $n$ i $k$ sense restriccions estaríem ficant termes de més, concretament estaríem afegint tots els termes amb k més petit que n (terme igual que el $k>n$ (només hem de permutar els noms a n i k i es veu de seguida)) i un terme amb $n=k$.
\[\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^2k^2}=2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k>n}\frac{1}{n^2k^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\]
I ara sí que és fàcil de fer la primera suma, la que no té limits sobre n ni k.
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)^2=\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\frac{\pi^4}{36}\]
Ara ja només queda substituir valors i anirem a petar a una equació de primer grau:
\[\frac{\pi^4}{36}=2\frac{\pi^4}{120}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\]
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{36}-\frac{2\pi^4}{120}=\frac{10\pi^4}{360}-\frac{6\pi^4}{360}=\frac{\pi^4}{90}\]

Podem comprovar que és el resultat que s'espera... Fer els següents és senzill havent fet ja el cas $1/n^4$ però és més pesat, s'ha de reconèixer.