dissabte, 30 de novembre de 2013

Perdre per guanyar

Un dels resultats sorprenents de les matemàtiques és el següent:

Existeixen parelles de jocs, cada un amb probabilitat de perdre més alta que de guanyar, pels quals és possible de planejar una estratègia guanyadora jugant-hi de forma alternativa.

Aquest és l'enunciat de la coneguda paradoxa de Parrondo. Juan MR Parrondo, físic espanyol, va descriure una parella de jocs en què es donava aquest fenomen.

Imaginem el joc següent. Una moneda és perfecta si la llencem ens surt cara o creu amb la mateixa probabilitat: la probabilitat de guanyar ($P_g$) i la probabilitat de perdre ($P_p$) prenen el mateix valor $P_g=P_p=1/2$. En el joc de Parrondo la moneda està trucada de de manera que guanyem la partida amb probabilitat $p_g=1/2-\epsilon$ i perdem la partida amb probabilitat $p_p=1/2+\epsilon$.

Ara ens diuen que si guanyem una partida ens donen 1 € i si la perdem ens treuen 1 €. Amb aquest joc és fàcil veure que si perdem més vegades de les que guanyem estem condemnats al fracàs. Si hi juguem una estona ens adonem de com anem perdent diners a un ritme alarmant (tot i que lineal!!). A la gràfica es pot veure l'evolució del nostre capital partint de 500 €, jugant-hi 5000 vegades i imposant $\epsilon=0.1$.


De fet podem calcular la tendència aquesta:
$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \left[ \left(\frac{1}{2}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right] = D(0) -2\epsilon t$$

El valor mitjà dels nostres diners serà una recta amb coordenada a l'origen $D(0)=500 €$ i amb pendent $-2\epsilon$ €/tirada. Es a dir, comencem amb 500 € i n'anem perdent 0.2 després de cada tirada, o en altres paraules; de cada 5 tirades en guanyem dues i en perdem tres.

El segon joc al que juguem és una mica més complicat però ve a dir el següent. Si el valor dels nostres diners és múltiple de 3 guanyem la partida amb probabilitat $P_g=0.1 - \epsilon$ i la perdem amb $P_p=0.9 + \epsilon$. D'altra banda, si els nostres diners no són múltiples de tres guanyem amb $P_g=0.75-\epsilon$ i perdem amb $P_p=0.25 + \epsilon$.

D'entrada no podem dir si sortirem guanyant o perdent diners amb aquest joc. Si hi juguem una estona ens adonem que duu al mateix desastre. A continuació tenim el resultat de jugar al joc 1 i 2 amb $\epsilon=0.05$


No és que ens ho sembli.. Els dos jocs són estadísticament igual de dolents com podem veure si fem un càlcul ràpid, i incorrecte, dels diners en funció de la tirada:

$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \frac{1}{3}\left[ \left(\frac{1}{10}-\epsilon\right) - \left(\frac{9}{10}+\epsilon \right)\right] t + $$ 
$$\qquad+ \frac{2}{3}\left[ \left(\frac{3}{4}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{4}+\epsilon \right)\right]t = D(0) -2\epsilon t$$

I ara ve la genialitat de Parrondo. Què passa quan juguem als dos jocs alhora?? En el meu cas el que he fet ha estat intercalar dues partides d'un joc amb dues partides de l'altre joc. Els resultats.. Curiosos.

A la figura es pot apreciar que per a valors prou petits del paràmetre $\epsilon$ la combinació dels dos jocs perdedors donen lloc a un joc guanyador. Per a fer-ho ben fet hauríem de pintar el resultat de molts jocs i veure'n l'estadística.

Amb això ens queden clares dues coses. La primera és que la teoria de jocs ens amaga moltes sorpreses. La segona és que tot i que hi hagi jocs en què es dóna.. No passa sempre, en el nostre cas depèn del paràmetre $\epsilon$. Només hi ha beneficis per a $\epsilon$ prou petits.

La conclusió és que, tot i la Paradoxa de Parrondo, encara que es jugui al joc 1 i al joc 2 i els dos siguin clarament perdedors, el resultat d'anar-los combinant no té perquè tenir bones conseqüències.

dimecres, 13 de novembre de 2013

No tot és el Higgs

Vaig molt tard.

Fa mesos que no escric res i ja és hora de trencar el silenci. Hi ha moltes coses que m'hauria agradat escriure aquest últims mesos, o fins i tot anys. He vist que al blog no hi ha activitat contínua ben bé des de fa massa temps. Han passat moltes coses des que vaig deixar d'escriure de manera més o menys regular. Una de les que m'ha afectat directament és veure com, de tant en tant, alguna notícia física es propaga pels mitjans de comunicació. En aquest cas les dues notícies rellevants han estat els neutrins del CERN a l'OPERA i la descoberta del bosó de Higgs.

Primer va ser un neutrí (I i II) que es va escapar del CERN. Aquest neutrí, en Faustino (veure vídeo dels Beatlestones), va ser notícia i els mitjans de comunicació es van afanyar a fer dues coses: remarcar que uns científics havien descobert partícules taquiòniques (quan ells el que feien era demanar ajuda a la comunitat física per veure què hi havia malament); i la segona, dir que Albert Einstein i la Teoria de la Relativitat estaven obsolets. Però com podem comprovar, els neutrins segueixen anant a la velocitat que els correspon com a partícules amb massa no nul·la i els aparells de GPS encara funcionen.


Pel que fa al bosó de Higgs.. Se n'ha parlat molt i molt. Va ser notícia que ara algú pogués mesurar una predicció de fa quasi 50 anys. La feina que s'ha fet al CERN ha estat increïble i crec que en algun moment se'ls haurà de donar un Premi Nobel per reconèixer-ho (i que consti que tinc unes inclinacions més teòriques que no pas experimentals!!). Per la seva banda, Peter Higgs va matar el tema l'any 1964 amb un magnífic article de pàgina i mitja. Els càlculs són bàsics per algú amb nocions bàsiques d'electrodinàmica quàntica (QED) i el toc de genialitat està en la interpretació. D'altra banda, Englert i Brout, en el mateix volum de la revista, fan el camí pel dret i acaben fent una bona colla de càlculs (que tenen molt mala pinta) i acaben dient coses semblants tot i que no tan contundents com Higgs.

Amb el títol d'aquesta entrada podria voler dir dues coses. La primera és que a la física hi ha molt més que el Higgs, cosa que és totalment certa. La segona és que amb la descoberta del bosó de Higgs tenim confirmat el model que descriu aproximadament un 2% de la massa del nostre cos. I això queda lluny de la idea del 100% de la massa que, pel que he interpretat a la tele, hauria d'explicar.

Els humans, i en general tot el que podem veure al nostre voltant, estem fets d'àtoms. Els àtoms, per la seva banda, estan constituïts per protons, neutrons i electrons. Els electrons són partícules elementals del model estàndard. Els protons i neutrons, en canvi, són formats per quarks.

El model de Higgs s'aplica a les partícules del model estàndard. Per tant, confereix massa als quarks que constitueixen els protons i neutrons i directament als electrons.

Els electrons tenen una massa $m_e=0.511 MeV/c^2$ (que és la unitat que fan servir els particuleros o $9.1\cdot10^{-31} kg$ pels qui anem a comprar al mercat). Els quarks que formen els protons i neutrons són l'up (u) i el down (d) (Postulats per Murray Gell-Man també l'any 1964!!!!! Però guanyador del Nobel el 1969). La massa del quark up és $m_u=2.3 MeV/c^2$ i la del quark down és $m_d=4.8 MeV/c^2$.

Un protó constituït per tres quarks (uud) té una massa deguda al Higgs de $m_{p,H}=9.4 MeV/c^2$ i un neutró constituït per tres quarks (udd) té una massa deguda al Higgs de $m_{n,H}=11.9 MeV/c^2$. La diferència de masses és de l'ordre del 20% i en canvi sempre ens diuen que si fa no fa un protó i un neutró tenen la mateixa massa. Per arreglar-ho fem el que s'ha de fer. Fem un experiment i mesurem la massa dels protons i neutrons i obtenim que el protó té una massa $m_p=938.3 MeV/c^2$ i el neutró $m_n=939.6 MeV/c^2$, les diferències de massa estan al 0.15%!! Què ha passat aquí??? Pel que podem veure un nucleó té una massa que és de l'ordre de 100 vegades superior als seus constituents.

Per a veure-hi més enllà en tenim prou amb una frase. El tot és la suma de les parts més les interaccions. En el cas dels nucleons el que manté confinats els quarks són unes partícules sense massa, els gluons. Aquests gluons són els intermediaris de la força nuclear forta. La cromodinàmica quàntica (QCD) és la teoria que descriu la interacció entre quarks i gluons, coloquialment, la interacció de color. L'energia per a mantenir confinats els quarks és la principal responsable de l'alta massa dels protons i neutrons. Si tornem a Einstein tenim: $E=mc^2$. I d'aquí podem veure que quantitats prou grans d'energia tenen una certa contribució en massa tal que $m=E/c^2$. D'aquí provenen les unitats de massa que fan servir els físics de partícules (i nuclears) ja que un MeV és una unitat d'energia. Pel que fa als electrons, ara podem veure que la seva massa és pràcticament menyspreable (un 0.2% respecte la del nucleó).

Una altra energia que també es nota a la massa és la de lligam dels nuclis. Sempre ens ensenyen que les càrregues d'igual signe senten repulsió i al nucli només hi ha protons (càrrega +) i neutrons (càrrega 0). Una manera una mica patillera de dir com s'aguanta és dir que els confina una interacció residual de la força nuclear que està unint els trios de quarks a cada nucleó. En un àtom de carboni amb 6 protons i 6 neutrons l'energia de lligam del nucli és d'uns 90 MeV (Aquest valor indica que un nucli que carboni-12 té una massa equivalent a uns 200 electrons menys que la que tenen 6 protons i 6 neutrons independents). 

Aquesta energia de lligam ha estat tocant els nassos durant anys a la física nuclear per culpa dels químics. Una unitat que agrada molt als químics és el dàlton (Da) o unitat de massa atòmica (uma). La uma es defineix a partir de la massa del carboni-12 i dividint entre 12 ja que el carboni-12 conté 6 protons i 6 neutrons. Una uma equival a una massa d'uns  $931 MeV/c^2$, la desviació entre aquesta massa i la massa dels nucleons és essencialment una 12 part de l'energia de lligam. Per tant, la uma és una unitat que s'ha d'evitar si et dediques a la física nuclear (però que va bé a la física atòmica (altrament anomenada química)).

I ara tornem al tema del Higgs!! Un humà estàndard està constituït essencialment per carboni (6 protons, 6 neutrons i 6 electrons per àtom), per nitrogen (7 protons, 7 neutrons i 7 electrons per àtom), oxigen (8, 8 i 8) i altres elements lleugers que contenen, aproximadament el mateix nombre de protons que de neutrons i electrons. L'hidrogen és l'únic que se n'escapa i en general està format per un protó i el seu electró.

Així doncs, l'humà estàndard està format pel doble de nucleons (neutrons+protons) que d'electrons. Hi ha alguna excepció, però ja hem dit que tractem l'humà estàndard. Hem vist que el mecanisme de Higgs explica aproximadament un 1% de la massa de protons i neutrons i que la massa d'un electró és unes dues mil vegades inferior a les dels electrons. Així doncs, després de tantes notícies dient que el Higgs explicava la massa, veiem aquesta contribució és només d'entre 500 i 1000 grams en una persona ordinària.

I per acabar... Felicitats a tots els qui han fet possible aquesta història i en especial els guanyadors del Nobel d'aquest any.