dilluns, 22 de juny de 2009

Jugant amb el joc del caos

En el post anterior vaig parlar del joc del caos i un dels comentaris em va convidar a jugar-hi una mica, en fer proves i petits canvis en la manera de construir el joc, he canviat alguna de les normes.

Aquest joc és un cas particular del que es coneix com a Iterated Function System (sistema de funcions iterades). L'IFS ja el tractaré en escrits futurs.

De les preguntes de la matgala només n'he pogut resoldre algunes, les que són més matemàtiques les deixo per més endavant, ara m'he centrat en les experimentals. Totes les imatges que hi ha penjades són agafant 100.000 punts (segurament en alguna d'elles n'hi ha algun menys).

1.- Què passa quan hi ha punts que tenen més probabilitats de sortir quan es fa la tria aleatòria? En la imatge següent el vèrtex 1 és al punt (-1, 0), el 2 a (1, 1) i el 3 a la part superior.

Aquí les probabilitats de sortir els punts 1, 2 o 3 eren del 66, 22 i 11 % respectivament. Com es pot veure els punts s'han acumulat a la part esquerra inferior dels triangles.

2.- Què passa si a algun dels tres vèrtex se li aplica una reducció superior? Es a dir si enlloc de reduir-se la distància a la meitat es redueix 2.5 vegades?

En aquest cas el que té el factor 2.5 és el vèrtex 2. Es veu clarament que els altres dos segueixen fent el mateix mentre que aquest fa que la figura es contragui una mica més cap al vèrtex 2.

I si s'aplica a tots els vèrtex una reducció de 3 el resultat és aquest:

En aquesta imatge les reduccions són de 2, 2 i 1.5 pels vèrtex 1, 2 i 3 respectivament:
El fet que les reduccions del vèrtex 3 siguin inferiors a la meitat fan que alguns triangles se superposin.

3.- I si el triangle no és equilàter?

Doncs cap problema.

4.- I si inicialment partim d'un quadrat què passa?
Doncs tenim un problema que es pot solucionar canviant les reduccions de cada vèrtex.
Si la reducció és de 2.1 ja desapareix el mar de punts anterior.

Com en el cas del triangle també podem aplicar reduccions diferents a cada vèrtex i ens queda:
Si fem 2.5, 2, 2, 2 els vèrtex els compto en sentit contrari a les agulles del rellotge començant des del punt (0, 0) que és el primer.

5.- I què passa amb 5 vèrtex? Doncs més del mateix:

Aquesta reducció és de 2 per tots els vèrtex però si la fem de 3.5 queda el que ens podíem esperar:
I podríem seguir. El que ens mostra això és que si es troba la reducció adequada la figura resultant és una còpia de l'original feta a escala en cadascun dels vèrtex i passa el mateix per cadascuna de les còpies a escala.

I per acabar us animo a proposar preguntes d'aquestes, què passa si...?

divendres, 19 de juny de 2009

WolframAlpha

Fa cosa d'un mes l'empresa Wolfram Research, creada i dirigida pel físic britànic Stephen Wolfram, responsable de programes com Mathematica, portals com el Wolfram Mathworld i assessorament matemàtic a la sèrie de la CBS Numb3rs, va presentar un nou buscador que s'afegeix a la immensa llista dels que ens ajuden a trobar coses inversemblants.

El millor del nou buscador és que no és un competidor de Google, o si més no no de forma clara. Ja que les coses que fa la calculadora del Google no arriben a fer tremolar a WolframAlpha.

I es que WolfranAlpha a part de resoldre operacions matemàtiques processa la pregunta que se li introdueix i les respostes que té a la base de dades i dóna per pantalla la resposta enlloc de donar una sèrie de links que et dirigeixen a altres pàgines com faria el Google. És una mescla entre el Google i la Viquipèdia.

El problema és que només sap anglès i que encara és molt jove. De totes maneres cadascú pot trobar-lo útil per resoldre diferents coses.

Per exemple, es pot fer servir per saber a què equival una energia de 15.000 Joules, en aquest cas ens diu que és 0.88 vegades l'energia que conté 1 gram de sucre i si anem afegint zeros anirem obtenint diferents comparacions.

O també es pot fer servir per interpretar funcions matemàtiques, ja que rep l'ajuda de Mathematica. Què en diu de la funció x*sin(x)? I si li introduïm x^2/16+y^2/16+z^2/16=1 ens diu que es tracta d'una esfera.

No només això també li podem demanar per altres empreses, li introduïm Google ens en dóna informació i la cotització de les seves accions i un historial.

També podem buscar... Informació sobre noms però els registres són dels Estats Units i el nom Joan (home) allà ocupa un lloc superior al 1.000 en el rànquing.

O també poblacions. Diu que a Arenys de Mar ara estem a 28 ºC i que hi ha núvols i també podem veure una gràfica amb les temperatures dels dies que té a la base de dades.

Bé, des d'aquí us animo a entrar-hi i si sabeu una mica d'anglès us animo també a jugar-hi una mica.f

dimecres, 17 de juny de 2009

El Joc del Caos

De jocs n'hi ha de molts tipus, tot i que la majoria requereixen més d'un jugador, n'hi ha que amb una sola persona poden donar per moltes hores d'entreteniment.

Un d'aquests casos és el joc del caos. Un joc orientat a un sol jugador però que pot ser multijugador.

Es necessita un full de paper, un llapis, un regle, un dau i una calculadora (pels més mandrosos).

Es tracta d'agafar un full de paper i marcar-hi tres punts (si pot ser els tres vèrtex d'un triangle equilàter) i a cada un se li assignen dos números de l'1 al 6, un cop marcats es pinta un punt en qualsevol punt del paper. Ara ja tenim el "tauler" preparat.

Com es pot veure en la imatge jo m'he permès el luxe de creuar unes línies pels vèrtex perquè es pugui veure prou bé.

Comencem tirant el dau i valor que surt identifica a un dels 3 vèrtex (a cada vèrtex li hem assignat dos valors). Ara amb el regle s'ha de marcar el punt que es troba a la meitat entre el punt inicial i el vèrtex que ens ha tocat.

Ara tornem a tirar el dau i partint de l'últim punt pintat marquem el punt mig entre el punt i el vèrtex que ha determinat la tirada. I tornem a tirar el dau repetint el procés de marcar el punt mig...

I repetim i repetim...

En arribar als 10 punts ens trobem amb una cosa com aquesta, he canviat el tamany dels punts perquè aviat començaran a acumular-se. Per tant per veure millor les imatges podeu obrir-les.

Si es segueix el procés es pot arribar fins a 50 i els resultats són els següents:

Encara no s'hi veu massa cosa però i als 100?
Ara ja comença a veure's cap a on va la cosa, sembla doncs que hi ha unes zones lliures de punts, per comprovar que és així arribarem fins als 500 punts.
Ara la cosa ja es força clara, aquí hi passa alguna, els punts eviten unes àrees triangulars. Per tant, podem seguir, per exemple fins als 1000:
Més? Doncs 5000
Ara sí que es veu clarament, els punts se situen a sobre del Triangle de Sierpinski que resultaria del triangle delimitat pels tres vèrtex.

10.000 punts prenen la forma següent
I 50.000Però tot té un límit i el meu ha estat (per falta de ganes) 350.000 punts:Com que no vivim en un món matemàtic no podrem arribar mai al fractal, només en podem donar aproximacions que ens permeten de comprovar l'autosemblança a diferents escales.OUn joc curiós...

Bé, com es pot comprovar a mi em va fer mandra fer-ho sobre paper i ho vaig encarregar a l'ordinador qui molt amablement després de donar-li les ordres pertinents em va calcular els punts en fraccions de segon i després me'ls va representar.

Això ajuda a entendre perquè el món dels fractals i del caos s'han començat a desenvolupar de debò amb l'arribada dels ordinadors, fer coses d'aquestes a mà requereix petites eternitats per una sola persona.

diumenge, 14 de juny de 2009

Un impacte meteòric

És ben sabut que viure a la Terra comporta molts perills i alguns d'ells vénen de fora, com els meteorits.

Dels meteorits sabem quan penetren a altes velocitats en l'atmosfera terrestre a causa del fregament amb l'aire agafen altes temperatures i en la majoria dels casos es desintegren. Altres vegades aconsegueixen arribar fins a terra o a l'aigua en la majoria d'ocasions. Dels que ens arriben alguns deixen grans marques com el límit K-T i altres arriben sense que ningú els digui mai res.

Un d'aquests que podria no haver passat a la posteritat va caure la setmana passada a Essen, Alemanya. El que va fer el meteorit per ser recordat va ser xocar contra un nen alemany.

Gerrit Blank de 14 anys anava cap a l'escola quan va veure una bola de llum que es dirigia cap a ell des del cel. Un fragment vermell i calent de roca de la mida d'un pèsol va impactar amb la seva mà abans de deixar un cràter d'uns 30 cm d'amplada al terra.

Com es pot suposar les probabilitats de sortir viu d'una situació com aquesta és realment baixa i el noi en va sortir "només" amb una ferida a la mà d'uns 8 cm de llarg.

Altres conseqüències d'aquest accident són un xiulet a les orelles que va durar hores i una història increïble que no es cansarà d'explicar i que de ben segur farà que a l'escola el mirin diferent.

De totes maneres no és la primera vegada que els humans i els meteorits topen, l'últim cas conegut es va donar a Alabama, EEUU, al novembre de 1954 quan un meteorit de la mida d'un gra de raïm va estrellar-se amb el sostre d'una casa i després de rebotar pels mobles va aterrar a sobre d'una dona adormida. (quina sorpresa es deuria endur!!).

La notícia en anglès:

dimecres, 10 de juny de 2009

El mar i la llei de Snell (II)

L'altre dia vaig introduir la llei de Snell. Aquesta llei és aplicable a tot tipus d'ones ja sigui electromagnètiques (com les de la llum) o mecàniques (com les sonores).

En el cas de les ones sonores la seva velocitat depèn del medi duna forma diferent a la llum. Per començar, la llum on és més ràpida és en el buit i el so, en el buit, no s'hi pot transmetre. I en els líquids el so depèn principalment de la temperatura, la pressió i de les sals.

De manera que els oceans es poden dividir en franges horitzontals segons la velocitat en què s'hi propaga el so. A les capes superiors (de 400 a 600 metres) dependrà majoritàriament de la temperatura mentre que a les capes inferiors (la temperatura es manté constant) dependrà de la pressió. Aquestes capes, però, no són sempre igual ja que la temperatura acostuma a canviar depenent de les estacions de l'any.

Si representem la velocitat i la profunditat ens trobem amb un gràfic (que varia segons el mar) que en general és molt semblant al següent:


Com es pot veure al voltant dels 1.000 metres la temperatura és mínima.

En la transmissió de les ones una altra cosa que es important és la dispersió i l'absorció.

El 1943 Maurice Ewing i J.L. Worzel van fer un experiment per tal de demostrar la teoria d'Ewing que plantejava que sons més greus, de baixa freqüència, es propagaven més distància. En tenir una baixa freqüència l'ona té una llarga longitud d'ona i li permet "saltar-se" els petits obstacles amb què es troben les ones sonores al mar (petites partícules suspeses en l'aigua). I que a més a més, si es col·locava la font sonora al lloc indicat, les ones, podien recórrer grans distàncies.

Per posar-la a prova van fer explotar una càrrega de 450g de TNT a les Bahames i van captar-ne senyals a la costa occidental de l'Àfrica, a més de 3.200 km. Havien redescobert un canal sonor submarí al que van anomenar SOFAR (Sound Fixing and Ranging). Com acostumava a passar en aquells anys, els descobriments es feien com a mínim dues vegades, en aquesta ocasió havia estat l'especialista en acústica rus Leonid Brekhovskikh qui l'havia descobert analitzant els sons provinents de les explosions del mar del Japó.

Com s'explicava que hi hagués sons que es transmetessin al llarg de tants km? L'explicació té a veure amb el gràfic anterior. Quan una ona de baixa freqüència penetra en la zona en què la velocitat és mínima ja no en pot sortir. El motiu és senzill, si una ona es desplaça oblíquament cap avall per la zona de baixa velocitat es troba amb constants canvis de medi i amb un augment de la velocitat de propagació, a causa de l'augment de pressió, com vam veure al primer episodi de la llei de Snell això provoca la refracció amb la qual cosa l'ona es va corbant cap a munt; quan l'ona es dirigeix en direcció a la superfície es torna a trobar amb el mateix, a mesura que puja la velocitat tornarà a augmentar a causa de l'augment de la temperatura. L'ona ha quedat atrapada.

Un cop a "canal sonor profund" una ona de baixa freqüència podria recórrer centenars de quilòmetres sense massa pèrdues de senyal. La profunditat del SOFAR varia molt en funció del mar ja que la temperatura de l'aigua hi té un paper crucial, per exemple, a les Bermudes es troba a aproximadament a 1.000 metres mentre que als pols a pocs centenars de metres.

I això pot tenir alguna utilitat? Com sempre la marina dels Estats Units n'hi va trobar una. Podia servir per controlar els submarins dels russos. Durant els anys 50 van minar l'Atlàntic Nord i les Índies Occidentals d'hidròfons (micròfons submarins). Amb tota la informació que els proporcionava aquesta xarxa d'espionatge, posteriorment coneguda com a SOSUS, la marina podia detectar submarins en la major part de l'hemisferi nord i a més a més podia arribar a saber quantes hèlices tenia cada un, distingir els submarins convencionals dels nuclears i en alguns casos saber-ne el model.

Abans dels anys 50 qui l'havia estat utilitzant eren els animals marins i encara el segueixen utilitzant (conscientment o no). Com explicava ahir en Dan la xarxa SOSUS s'ha utilitzat amb finalitats científiques i ha aportat nous misteris.

Per saber-ne més:

dimarts, 2 de juny de 2009

El triangle de Sierpinski

Ara ja fa temps que no en parlo, però un dels temes que he tractat ja en alguna ocasió en aquest bloc és el dels fractals.

Tot i que els primers van matemàticament descrits com a monstres singulars i de gran bellesa a finals del segle XIX no van assolir massa protagonisme fins als anys 60 que amb l'ajuda de la computació Mandelbrot els va popularitzar.

Un dels fractals anteriors a Mandelbrot és el Triangle de Sierpinski, construït pel matemàtic polonès Waclaw Sierpinski.

La idea original per construir-lo era molt simple, com en la majoria de fractals. Es tracta d'un procés iteratiu, és a dir que es tracta d'aplicar una sèrie d'instruccions que poden o no ser senzilles.

En el cas del Triangle de Sierpinski el procés és molt senzill. Per a construir-lo es parteix d'un triangle, si és equilàter es visualitza millor el resultat.

Es marquen els punt mitjos de cada costat i s'uneixen per formar un triangle i aquest triangle es pinta d'un color diferent. Ara es fa la mateix operació als tres triangles que han quedat envoltant al central.

Ara es veu perquè he dit que es tractava d'una operació senzilla i iterativa.

Si es segueix operant sobre el triangle infinites vegades arribarem a obtenir el fractal. Malauradament el que busquem és una representació gràfica, de manera que mai podrem arribar a l'infinit sobre el paper.

Aquí es poden veure les primeres 5 iteracions sobre un triangle equilàter.

Veient aquestes 5 primeres iteracions ens podem plantejar una cosa curiosa. Quan s'arribi a l'infinit l'àrea total serà zero però en canvi hi haurà infinits punts. Aquesta és una de les coses més interessant dels fractals que els dóna una dimensió fractal. De la dimensió fractal, si no me n'oblido també n'escriuré alguna en els propers mesos.

Ara però m'agradaria canviar de triangle.

Un altre triangle amb un cognom famós és el Triangle de Tartàglia també conegut pel nom de Triangle de Pascal o de Yang Hui (a mi m'agrada més el primer nom).

El Triangle de Tartàglia es comença des del vèrtex superior amb un 1, a la segona fila dos uns (1 1) disposats a sota i a cada costat del primer. Les següents files són el resultat de la suma dels dos números immediatament superiors amb un 1 a cada extrem. Seguint aquest procés la segona fila serà (1 2 1) considerant que l'1 ocupa la fila 0, la tercera (1 3 3 1), i així successivament.

Com es veu en la imatge també es pot fer tan gran com es vulgui. A més a més en aquesta imatge es veu una de les característiques curioses que té. Aquests triangles contenen nombres que tenen una cosa en comú. En el primer el 2 és clarament múltiple de 2, al següent triangle el tres nombres són múltiples de 3, al de sota ho són tots de 5, el triangle de color blau clar conté múltiples de 7 i el lila múltiples d'11.

I què tenen en comú el 2, el 3, el 5, el 7 i l'11? Doncs que són números primers. Pot donar alguna pista sobre la seva distribució i infinitud?

Però bé, hi ha una altra cosa curiosa, què passa si delimitem els nombres parells del Triangle de Tartàglia i els donem un color diferent??

Suposo que es comença a veure alguna cosa... Pel que sembla dos dels triangles més famosos de les matemàtiques també estan relacionats.

Navegant per interntet m'he trobat amb aquesta pàgina, està molt bé.