divendres, 17 d’octubre de 2014

Projectils aristotèlics

A l'ESO ens fan creue que si ens posem a disparar projectils; aquests seguiran una trajectòria parabòlica. Però fa uns anys es pensava diferent.

Durant el Renaixement, el llençament de projectils, va ser un dels temes estrelles en la recerca científica. El tema militar sempre apreta i, tot i que, al camp de batalla l'experiència és el que compta, que ells ja saben com han d'aixecar el canó perquè ho fan cada dia. Però donar un marc teòric al problema dels projectils podia servir per alguna cosa. I ara, com sempre abans de posar-nos en temes militars... Val la pena recordar que la culpa no només és dels científics que aporten el coneixement sinó de tot el poble qui recolza governs que decideix fer-ne ús.

Tornant al tema... Una trajectòria d'obús tenia aquesta pinta pels estudiosos del segle XV. Aquí parlaré d'un home que he descobert avui, en Daniel Santbech, aquest matemàtic va ser dels qui va enfrontar-se al problema i aquí hi ha un dels gràfics que feia:


Es pot veure que el projectil es mou en línia recta fins al punt més alt de la trajectòria i llavors cau mort fins al terra. Ara ens pot semblar més o menys absurd.. Però el coneixement científic de l'època estava assentat en la mecànica d'Aristotil, un dels clàssics.

El primer en desafiar aquests pensaments va ser Tartàglia qui va plantejar les paràboles com a figures que describien les trajectòries i posteriorment, la mecànica de Galileu va donar, de manera natural, les paràboles. Finalment, Newton ens va donar les matemàtiques per complicar tant com vulguessim el problema.

Quan dic que Newton dóna les eines és perquè ell va parir la segona llei i el càlcul diferencial. En altres paraules, la posició d'un cos $\vec{r}(t)$ ve donada per la següent equació diferencial:

$$ \vec{F}=m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}=m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$$


La segona llei de Newton ens relaciona la força, $\vec{F}$, que experimenta un cos amb la seva acceleració, $\vec{a}$. L'acceleració ens indica com varia la velocitat respecte del pas del temps, d'aquí el concepte de derivada. I finalment, la velocitat ens dóna com varia la posició respecte el temps.

Si agafem un canó i buidem tot l'aire del planeta estarem segurs que les forces que actuaran sobre el projectil seran només les de la gravetat $\vec{g}$. El que va deixar clar Galileu és que la gravetat només afecta als moviments verticals. I com més tard va matizar Newton, aquells que apunten cap al centre de la Terra.

Amb la força de la gravetat tindrem

$$ m\frac{d\vec{v}}{dt} = -m\vec{g} $$

Es a dir, en la direcció horitzontal, paral·lela al terra, el projectil no nota cap força i per tant $v_x$ es mantindrà constant. D'altra banda, en la direcció vertical hi ha la força de la gravetat que estira amb una força constant i farà que la velocitat inicial decreixi de forma constant fins arribar a zero (moment més alt de la trajectòria) i després començarà a créixer però amb magnitud negativa, és a dir, apuntant cap al terra.

$$ m\frac{d v_x}{dt} = 0, \quad m\frac{d v_y}{dt} = -m g $$

Amb aquestes condicions podem començar a disparar i recuperem els resultats de Tartaglia. L'abast màxim del projectil és dóna quan disparem amb un angle de $\phi=45^{\circ}$. Com es pot veure en la primera figura: en la direcció horitzontal la velocitat del projectil es manté constant ja que no hi actua cap força. D'altra banda, en la direcció vertical veiem com la velocitat decau de forma lineal. L'efecte de la gravetat és una desacceleració constant en la direcció vertical.





Però això ho podem anar complicant. Imaginem que ara tenim aire. L'aire oposarà resistència al moviment i, de la nostra experiència a la bicicleta, sabem que dependrà de la velocitat. Com més ràpid, més força ens fa l'aire.

Si fessim els calculets veuríem que un projectil a l'aire majoritàriament rep una força que és proporcional al quadrat de la velocitat, $\vec{F}_d = -\Gamma v^2 \frac{\vec{v}}{v}$. En física de fluids aquest és el resultat que es té a valors alts del nombre de Reynolds, $Re>1$. En aquesta expressió el primer terme és un coeficient que dependrà de les característiques del projectil i les propietats de l'aire, el segon terme indica la magnitud de la velocitat al quadrat i l'últim terme és el vector que indica la direcció del moviment. Amb el signe negatiu indiquem que el valor de la força sempre s'oposarà al moviment, serà sempre en la direcció oposada a la velocitat.

I l'equació del moviment és ara:

$$ \frac{d\vec{v}}{dt} = - \frac{\vec{g}}{m} - \frac{\Gamma}{m} v^2\frac{\vec{v}}{v} $$

I resolem per a diferents valors (fent $m=1$). La resolució, tant en aquest cas com en l'anterior l'he feta numèricament, ja que resoldre equacions porta el seu esforç i aquesta és de les lletges.



I ara ho veiem!!! Quan tenim fregament ens costa més de llençar el projectil i carai, el projectil deixa de descriure una trajectòria parabòlica!! Ara ja és diabòlica, acudit dolent però proveu de resoldre ara l'equació diferencial :P

Podem veure que amb $\Gamma=2$ necessitem uns valors de $v_0=340$ per assolir un abast comparable. En els càlculs he pres $m=1$. Com a primera aproximació, podem considerar que la $\Gamma$ aquesta va com $L^2$, és proporcional a la superfície (i alguns factors geomètrics). Aquest fet ens ajuda a entendre perquè quan llencem un full de paper el resultat depèn de si l'arruguem o no. El paper arrugat és més compacte i presenta una menor superfície de contacte amb l'aire i, per tant, un $\Gamma$ més petitet.

I en esports podem veure que també tenim coses semblants. Picar un volant de bàdminton amb totes les forces de les que es disposa és divertit.

I finalment m'he preguntat, quin és l'angle pel qual obtenim un abast més llarg per un projectil de $m=1$, $v_0=340$ i $\Gamma=2$??? Doncs he començat a llençar amb diferents angles i la corba m'ha mostrat la següent sorpresa:


Un resultat que ens podíem esperar, o no.

dilluns, 6 d’octubre de 2014

I tu què fas??

Una pregunta innocent però en el cas dels qui ens dediquem a la ciència resulta subtilment complicada de respondre. És una d'aquelles preguntes que al llarg dels anys hem de mirar d'aprendre a respondre.

Depenent de la impressió que es vulgui causar, depenent de a qui li diguis o de l'energia que un estigui disposat a gastar la resposta pot ser més o menys elaborada. En aquest article llistaré unes quantes de les respostes que he anat donant o pensant.

Si vull donar una resposta jocosa (paraula que m'agrada especialment (feta amb la primera síl·laba del meu nom complet))
"Doncs jo faig servir ordinadors molt potents per veure amb quina força es fan les meves boles."

Així d'entrada pot resultar molt estrany. Però amb el pas dels mesos la ment se m'esbiaixa i el problema passa a ser una part més de mi.

Si vull donar una resposta ràpida:
"Estic fent el doctorat de nanociències i nanotecnologia."

De fet és un dels que tenia una menció d'excel·lència per part del Ministerio i això sempre dóna punts quan es va a buscar dinerus. Tot i que sigui dels electrònics i amb els pelacables electrònics no ens fem massa.

Si vull donar una resposta a la família o semblant:
"Faig classes a Barcelona. Ah, i quan no sóc a classe faig coses amb l'ordinador."

Ja fa un temps que me'n deixen fer... A més a més, faig coses amb l'ordinador. Certament.

Si he de parlar amb un company físic:
"I tu què fas??"

En general serveix per desviar l'atenció i t'expliquen les coses meravelloses que fan. Algunes vegades en més de 4 dimensions, altres a temperatures extremadament properes al zero absolut, alguns miren per telescopis.. Hi ha de tot.

Si insisteixen, o gent que sap aproximadament al que em dedico:
"Uhmm.. Faig simulacions en un sistema que m'he muntat de partícules microscòpiques en un règim sobreesmorteït, autopropulsades (que saben nedar) i que tenen interaccions d'alineació a parelles. Un cop tinc el tinglado muntat m'interessa veure com aquestes partícules afecten dinàmicament a partícules inertes de majors dimensions o com es comporten en règims de confinament. Per cert, tot en dues dimensions :P"

I finalment, també puc impressionar al personal:
"Estudio l'aparició de fenòmens col·lectius i autoorganització en suspensions de bacteris i en caracteritzo l'estructura dinàmica i les propietats mecàniques, per així, aplicar-ho a dispositius microfluídics que facilitaran el diagnòstic de... o que permetran fer mesures de la qualitat de..."

M'he de treballar la part final encara... Però alguna aplicació mèdica li trobarem.

I la gent què pensa de mi???? Doncs aquí ve la impressió que dec donar.

Des del punt de vista de l'ordinador:
"És un malparit i aquesta ja és la... 5ena vegada que es carrega canvia el sistema operatiu. Ja torna a tocar el que no sona. NaN!!"

Des del punt de vista d'algun company:
"És el que es passa part del dia assegut davant de l'ordinador. Fa dibuixets guais"

Des del punt de vista dels del bar:
"És un dels molts físics que baixa al bar amb el pretext de discutir sobre física i acaba discutint del landscape, sobretot a prop d'on hi ha químiques."

He de dir a favor meu que el terme d'energy landscape es fa servir en àmbits propers al meu...A més, en general toquem temes de físics.

Per uns quants:
"És el desgraciat que ens va suspendre les mates"

Pel Ministerio i totes aquesta gent que es fa estimar a les Universitats:
"Mira.. Aquell desgraciat que busca ser mileurista... Què farem?? Ah!! Per què no li donem els diners d'una vegada?? Vale, però no tots, retallem-li aquest mig anyet que hem de gastar diners en.. (portar l'Ebola a la Península, per exemple)"
I així podria seguir amb la llista...

I ara com diria un físic quàntic.. No és que faci una d'aquestes coses o una altra. Ni les faig totes.. Simplement jo em puc definir com la superposició quàntica de totes aquestes, i algunes més.

Un altre dia ja pujaré fotos i pelis de les meves boles i de com es mouen!!!!

dissabte, 13 de setembre de 2014

Sumar a cegues

L'entrada d'avui està dedicada a un petit incident de bar. És al bar on apareixen els problemes interessants.

Divendres, després de la V, em trobava al bar amb un company i vam demanar dos cafès amb llet i un croissant. A l'hora de pagar vaig demanar a última hora de pagar-ho tot junt. El resultat va ser que l'home del bar, em va demanar a mi de sumar-ho. Aquest va ser el meu procés mental:
1.04 + 1.04 + 1.24 = Uhm... uhh... 3x1 = 3 Llavors hi ha alguns cèntims que queden sueltos... Uhm... com a mínim 25 cèntims...

Mentre em trobava inmers en el càlcul el qui em cobrava diu:
$1.04+1.04+1.24 = 3.32$. Aquesta era fàcil, ehh!! Que necessitaves una calculadora tu??

I el meu company hi afegeix que el que necessitava és el meu ordinador, que sense ordinador no sé calcular xD

I automàticament vaig començar a pensar com calcular-ho amb l'ajut d'un ordinador però sense haver de fer cap suma, clar...

La resposta?? Monte Carlo. D'aquest tema ja en van escriure quatre ratlles introductòries a Cocociència. El que presentaré aquí és com vaig pensar que es podia fer la suma.

La idea dels mètodes de Monte Carlo és fer ús de nombres aleatòris per a calcular integrals. En cas de la suma es tractava de fer el càlcul d'una superfície. A l'eix x assignem un intèrval de longitud 1 a cada un dels producte mentre que a l'eix y hi assignem el preu per unitat tal i com es pot veure a la figura inferior.


És fàcil veure que si sumem les àrees vermella i verda obtindrem el valor total de la compra. Però això no ens resol el problema ja que per a fer-ho hauríem de sumar. La resposta es troba en el mètode de Monte Carlo.

La idea és molt simple. Agafem una parella de nombres aleatòris, $x$ i $y$. El primer que pugui prendre valors compresos entre el 0 i el 3, $x\in(0,3)$ i el segon que els prengui entre el 0 i el 2, $y\in(0,2)$. Amb aquesta parella de números podem pintar el punt amb coordenades $(x, y)$.

El que fem a continuació és veure si el punt $(x, y)$ ha caigut dins de la zona pintada o si ha caigut a fora. Si es troba dins de la zona pintada ens ho apuntem i comptem que hem encertat una vegada més.

Després de fer molts llençaments de números aleatòris haurem comptat quantes vegades hem encertat a la zona pintada, $n_{hit}$ i quants llençaments hem fet en total, $n_{tot}$.

Amb això podem saber quina fracció de llençaments, $P$, ha estat certera $P=n_{hit}/n_{tot}$.  Ara haurem de multiplicar aquesta fracció per l'àrea total que estàvem explorant, es a dir, la superfície, $S$, que ens era accessible en cada un dels llençaments. $S=2 \cdot 3$

Ara doncs serà fàcil de calcular el valor de la suma. Aquest serà $6 P$.


El resultat, obtingut en 20 càlculs amb 50.000 tirades aleatòries és el següent:

I si el que representem és la mitjana sobre 20 simulacions independents obtenim el següent:



Aquestes corbes són "uniques" de cada un dels càlculs però a l'infinit haurien de tendir al valor de la integral que és, en aquest cas, 3.32

Com es pot veuure l'error estadístic després de tota aquesta història és d'un cèntim d'€, de l'1%. No està malament!!

dijous, 28 d’agost de 2014

El que no va voler fer Bohr

Aquesta setmana la Laia ha publicat un parell d'articles que m'han agradat molt. En el primer es plantejava un experiment per a fer entre Barcelona i la Pica d'Estats i en el segon duia a terme l'experiment. Felicitats pels 3000!!

Aquest experiment m'ha fet venir al cap un d'aquells mites que corren entre els físics. Un mite que parla d'un jove amb un baròmetre i la missió de mesurar un edifici d'una certa alçada. 

A la pregunta d'examen l'alumne va respondre que era molt fàcil. Només s'havia de lligar una corda al baròmetre i deixar-lo anar de mica en mica fins al terra. La longitud de la corda més la del baròmetre serien ni més ni menys que l'alçada total de l'edifici.

Des de dalt estant deixava caure el baròmetre i cronometrava el temps de caiguda. D'aquesta manera era capaç de mesurar-ne l'alçada. El professor, mosquejat perquè la resposta, tot i que correcta, no responia la pregunta amb les eines de l'assignatura va demanar a l'alumne que repetís la qüestió.

Al segon intent l'alumne va ser encara més subtil i va plantejar nous mètodes. Podia mesurar l'alçada del baròmetre i, mentre pujava les escales des de la planta baixa, anar comptant el número de baròmetres que feia l'edifici. El professor encara més indignat.

Al tercer intent l'alumne respon que és molt fàcil. Es lliga el baròmetre amb un fil i es fa oscil·lar. D'aquesta manera es pot calcular el període d'oscil·lació. Un cop a dalt de l'edifici es repeteix l'experiment. Com que el període d'oscil·lació només depèn de l'acceleració de la gravetat i de la longitud del pèndol, es pot extreure quina es la diferència en la força de la gravetat al carrer i al terrat de l'edifici, d'aqui és trivial extreure'n l'alçada. Això és el que en física es coneix com a matar mosques a canonades, o simplement veure qui la té més grossa.

Al quart intent l'alumne va un pas més lluny i diu que oferiria el baròmetre com a moneda de canvi al porter de l'edifici a canvi de saber-ne l'alçada.

Aquesta història acaba amb l'alumne dient que també es podia fer  de la manera que el professor s'esperava la resposta, però que era massa òbvia. I al final es revela que l'alumne és ni més ni menys que Neils Bohr, un dels gegants. Un dels qui va demostrar tenir molta pólvora i artilleria i tenir-la ben gran. Tot i fer contribucions en temes nuclears i treballar amb coses petites tota la vida.

Doncs això.. Que la història de la Laia em recorda al mite que he explicat perquè d'això tractava el mètode que l'alumne es nega a aplicar.

La idea del mètode és considerar que la pressió de l'aire varia en funció de l'alçada ja que tenim gas a dalt que, a causa de la gravetat, apreta cap a terra. Si sabem com la pressió depèn de l'alçada respecte del terra, amb un baròmetre podrem fer càlculs d'alçada.

Què tenim? Què què tenim?? Tenim un baròmetre. Tenim gas en un recipient. Tenim la gravetat. I tenim el Principi d'Arquímedes i la Llei dels gasos ideals. (Tenim molt més però això ho puc explicar amb una Estrella al davant :P)

Si ens imaginem un contenidor d'aire podem dir que a una certa alçada $z$ la pressió serà $p(z)$ mentre que la capa que hi ha immediatament per sobre es trobarà a una pressió, inferior, de $p(z+dz)$. En el llenguatge del càlcul diferencial la diferència entre les dues pressions $p(z+dz)-p(z)=dp$. La pressió que està fent la capa de gruix $dz$ és $\rho g dz$. Per tant, podem escriure $dp=-\rho g dz$. Amb això ja hem escrit l'equació que descriu el sistema. En aquest punt hem d'expressar la densitat de l'aire en funció de les variables que coneixem (pressió i temperatura).

Tenim aquest aire que suposem que satisfà l'equació dels gasos ideals $pV=nRT$. On $n$ són mols. En dividir pel volum a ambdós costats obtenim la densitat de mols $p=\rho_{mol}RT$. En el cas que ens interessa voldrem aquesta densitat en massa i, per l'aire de l'atmosfera, podem considerar que té una massa molecular de $M_a=30 g/mol=0.03 kg/mol$ i per tant, $p=\rho \frac{RT}{M_a}$. I finalment, $\rho=\frac{p M_A}{RT}$. Això ho introduïm a l'equació diferencial:

$$\frac{dp}{dz} = - p\frac{g M_a}{RT}$$

I això ara es pot solucionar si suposem que la temperatura no varia amb l'alçada. (Em salto la resolució que no és important)

$$\frac{dp}{p} = -\frac{g M_a}{RT}dz \rightarrow p(z)=p(0)e^{-\frac{gM_a}{RT}z} $$


I d'aquí tindrem que el qüocient de la pressió a una alçada $h$ està relacionada amb la pressió arran de terra de la manera següent:

$$\frac{p(h)}{p(0)} = \exp\left(-\frac{gM_a}{RT}h\right) \rightarrow  h=-\frac{RT}{gM_a}\ln\frac{p(h)}{p(0)}$$

Aquí és on podríem aprofitar un experiment com el de la Laia i dir. Molt bé, ara tenim aquí el volum a Barcelona $V_B$ i aquí el de la Pica d'Estats $V_{PE}$. Volem saber $\frac{p_{PE}}{p_B}$... Amb l'equació dels gasos:  $\frac{p_{PE}}{p_B}=\frac{V_B}{V_{PE}}$. (Recordoo que estic obviant la diferència de temperatures al perfil de pressions, però podríem tenir-la en compte). Amb les dades que mencionava la Laia $p_B=1010 hPa$ i $p_{PE}=700 hPa$ obtenim:

$$ h=-\frac{8\cdot300}{10\cdot0.03}\ln\frac{700}{1010} \approx 2900 m$$

Per tant, quin error cometem?? Doncs un 6%. Certament no ho hem encertat massa... Però l'error relatiu és molt proper al que assumim al fer l'aproximació de temperatura constant (20 graus de diferència entre la ciutat i el cim respecte d'un valor de 300 K és també un 6%) Queda clar que el proper pas en el refinament es troba en l'afegir la tota aquuesta història.