divendres, 7 de gener de 2011

Fractals i mètode de Newton

En l'entrada anterior vaig parlar del mètode de Newton per tal de trobar zeros de funcions i resoldre equacions. Com a exemple vaig trobar la solució real de $x^3+2x^2+x+1=0$. A més a més, vaig comentar que n'hi havia dues més i que eren complexes. Per tant, el més raonable és ficar-se a treballar amb els nombres complexos.

Per tenir una idea aproximada d'on es troben les solucions he anat avaluant la funció polinòmica en diferents punts del pla complex (propers a l'origen) i he pintat cada punt depenent del valor del seu mòdul. Els punts més foscos es corresponen als valors més alts.


Els tres zeros es corresponen a les zones blanques i són $x_1=-1.755$ (a l'esquerra), $x_2=-0.123+0.745i$ (a la part superior) i $x_3=-0.123-0.745i$ (a la part inferior). Fins aquí l'únic que s'ha hagut de fer és fer ús del mètode de Newton. El mètode de Newton necessita un punt d'inici, cap a quina solució anem depenent d'aquest punt? O són tots els punts igual de bons??

El que he fet a continuació és anar aplicant el mètode de Newton a diferents punts del pla complex i pintar-los en funció del nombre d'iteracions que necessiten per convergir a una solució.

Pintades de colors més foscos (lila) es mostren les zones per les quals la convergència és més ràpida. Com era d'esperar el pla queda clarament dividit en 3 regions els punts de les quals convergeixen cap a cada un dels zeros. El més interessant, però, és la frontera! Si ampliem una mica la imatge a prop de la frontera que separa les arrels imaginàries ens trobem amb formes molt curioses:


Podem apreciar l'autosimilitud que caracteritza moltes estructures fractals. Aquestes figures es coneixen com els fractals de Newton. Ara doncs, l'únic que fa falta és trobar una equació i provar de resoldre-la.

L'equació $sin(x)+x=0$ només té un zero real ($x=0$). Ara bé el sinus d'un nombre complex pot prendre valors més grans que 1 (cosa que no passa amb els reals). Si es representa el valor de la funció per a diferents punts del pla podem veure el zero real i els zeros complexos (sempre aparellats amb el seu complex conjugat):

Els primers 4 zeros complexos es troben a $x_1=4.212+2.251i$, $x_2= 4.212-2.251i$, $x_3=-4.212+2.251i$ i $x_4=-4.212-2.251i$. Un cop localitzats els zeros pintem els punts en funció de la convergència a les arrels i ampliem algunes zones.




Si canviem la funció per $f(x)=sin(x)+x^2$ obtenim altres estructures:

Si ens fixem amb funcions més complicades com les arrels quadrades i els logaritmes podem trobar-nos amb estructures més problemàtiques. Per exemple, si a l'equació inicial de tercer grau substituïm la $x$ per $\sqrt{x}$ obtenim una nova funció $f(x)=x^3+2x^2+\sqrt{x}+1$ que porta a un fractal de Newton molt diferent.


I fent $f(x)=x^3+2x^2+ln(x)+1$ obtenim aquestes figures:






Ara només és qüestió de trobar funcions interessants i anar-les representant. I encara hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides!! És una llàstima que les matemàtiques les pugui gaudir tan poca gent...

4 comentaris:

matgala ha dit...

Genial!!!

No sabia que es podien trobar estructures fractals trobant arrels pel mètode de Newton! Però, un cop ho dius, té sentit.

M'ha agradat molt, aquest post!

Sheldon Cooper ha dit...

L'Alasanid està tornant als articles de qualitat! Així m'agrada. Tot i això, hi ha coses a dir, com sempre.

Observacions/preguntes/propostes per nous articles:

(1) Amb la funció inicial, si agafo com a punt inicial un punt interior d'aquesta mena de glòbuls fractals, la solució convergeix cap a un punt també interior que no és solució de l'equació? O el gradient de color no té res a veure amb la direcció de convergència? És a dir, per tots els punts del pla complex trobaré una de les tres solucions analítiques?

(2) Molt hippies les floretes de la segona i la tercera funció. Ara entenc la varietat d'avenços a les matemàtiques durant els anys dels Beatles, els Rollings i l'LSD.

(3) A la quarta funció (la que té l'arrel) em sembla veure conjunts de Julia, o és només una semblança casual?

(4) Quin és el sentit matemàtic de la funció velocitat de convergència? Si representés en un espai tridimensional aquests valors sobre el pla complex, tindria algun sentit matemàtic la superfície (discontínua, ja que les iteracions són discretes) que obtindria?

Res més, de moment. Esperem amb ganes la propera entrada. Sempre sorprenent!

Alasanid ha dit...

Moltes gràcies Matgala! La veritat és que els complexos guarden moltes sorpreses!

Sheldon... Nobody knows the trouble I've seen (acompanyat per Theremin, clar).

Respostes:

(1): Miraré de pintar els punts depenen de la solució a la què divergeixin, en principi han de convergir a una solució (hi ha altres punts de convergència ¿? deu ser la teva pregunta, també ho miraré). No per tots els punts convergiràs a una solució, hi ha punts pels quals te'n vas cap a l'infinit i després costa de tornar...

(2): Ja saps que els entre els hippies hi havia molts senos y thetas sueltos.

(3): És una semblança, l'algorisme generador els Julia és diferent (a més a més els Julia estan molt localitzats i aquest sembla que vagi molt lluny).

(4): En el fons són corbes de nivell. Es a dir defineixen un "paisatge". I sí que tindria sentit ja que les valls serien els millors punts per aplicar el mètode de Newton (si es fa a mà o a màquina per casos patològics). Sempre podries trobar un gradient per treure el pendent entre les corbes.

Res més. Espero també el teu proper comentari! I ja saps, les entrades interessants són poc freqüents (això em recorda a allaus!).

Alasanid ha dit...

(3): És un conjunt de Julia. Perdona per l'error.