dimarts, 4 de gener de 2011

El mètode de Newton

Un dels capítols importants de les matemàtiques als instituts és la resolució d'equacions. Allà s'ensenyen fórmules per poder arribar a resoldre equacions de segon grau del tipus $ax^2+bx+c=0$.

Si un es fica a inventar-se equacions veu que de seguida passen a ser més complicades de fer. Per exemple, per una equació de tercer grau la fórmula ja és espantosa. Com que recordar aquests desenvolupaments (o saber-los deduir) és feixuc els matemàtics han buscat i trobat camins alternatius.

El que ens interessa és trobar el que s'anomenen zeros d'una funció. Es a dir els valors de $x$ pels que la funció s'anul·la ($f(x)=0$) aquesta és la nostra equació). Per fer això hi ha mètodes força elementals (anar provant valors (més o menys com la loteria de Nadal)) i d'altres de més refinats com el de Newton-Raphson (també anomenat de la tangent).

El mètode de Newton necessita una funció $f(x)$ (que descriu una corba en el pla) i un valor qualsevol $x_1$. El que hem de fer és trobar la recta tangent a la corba en $x_1$ i mirar on talla l'eix de les x: aquest punt de tall serà el valor $x_2$. Amb el segon valor de x hem de fer el que hem fet amb $x_1$ per tal de trobar punt $x_3$. I així successivament.

L'expressió que es fa servir per calcular el punt de tall amb l'eix de les x és la següent:
$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f\prime(x_n)}$.
On $f'(x_n)$ és la derivada de la funció en el punt $x_n$ (la derivada d'una funció en un punt dóna el pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt, es a dir, com de ràpid creix).

En l'animació es mostra com donada una corba se'n troba el zero. La gràcia del mètode és que és ràpid i el podem fer servir en moltes situacions.

Si volem resoldre una equació de tercer grau com la següent $x^3+2x^2+x+1=0$ el primer que hem de fer és construir la funció $f(x)$ i la seva derivada:

$f(x)=x^3+2x^2+x+1$
$f\prime(x)=3x^2+4x+1$

Si representem la funció podem veure que el zero es troba al voltant de -1.8.


Començarem amb $x_1=2$ per veure com funciona el mètode i anirem avaluant la funció després de cada pas.

$x_1=2$
$f(x_1)=19$

$x_2=1.09523$
$f(x_2)= 5.80805$

$x_3=0.44842$
$f(x_3)=1.94075$

$x_4=-0.12290$
$f(x_4)= 0.90545$

$x_5=-1.75814$
$f(x_5)= -0.0105$

$x_6=-1.75489$
$f(x_6)= 0.00004$

Com podem veure amb pocs passos hem obtingut un nombre que fa f(x) molt propera a 0. El punt $x_6$ és una bona aproximació de la solució de l'equació.

Tanmateix, les equacions de tercer grau tenen sempre 3 solucions tot i que poden no ser entre els nombres reals. La que tenim nosaltres només presenta un punt de tall amb l'eix x i, per tant, només té una solució real (les altres dues es troben en els nombres complexos). Per trobar les dues restants també es pot fer ús del mètode de Newton. Depenent de quin sigui el punt inicial anirem cap a zeros diferents!

Les preguntes que un sempre s'ha de fer amb els mètodes numèrics són les següents:

1.- Realment dóna el valor que volem??
2.- En cas de donar el valor correcte quan triga a arribar-hi?

Per tal de respondre aquestes preguntes ara que disposem d'ordinadors la resposta és òbvia. Agafem una regió i anem provant diferents nombres i ens anotem els passos que fan falta per obtenir un valor determinat. Però això ja és del proper article.