tag:blogger.com,1999:blog-66309481232854870512024-03-05T06:46:03.767+01:00El meu blocAlasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.comBlogger210125tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-69563494959694763332014-10-17T23:19:00.001+02:002014-10-17T23:19:18.880+02:00Projectils aristotèlics<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
A l'ESO ens fan creue que si ens posem a disparar projectils; aquests seguiran una trajectòria parabòlica. Però fa uns anys es pensava diferent.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Durant el Renaixement, el llençament de projectils, va ser un dels temes estrelles en la recerca científica. El tema militar sempre apreta i, tot i que, al camp de batalla l'experiència és el que compta, que ells ja saben com han d'aixecar el canó perquè ho fan cada dia. Però donar un marc teòric al problema dels projectils podia servir per alguna cosa. I ara, com sempre abans de posar-nos en temes militars... Val la pena recordar que la culpa no només és dels científics que aporten el coneixement sinó de tot el poble qui recolza governs que decideix fer-ne ús.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Tornant al tema... Una trajectòria d'obús tenia aquesta pinta pels estudiosos del segle XV. Aquí parlaré d'un home que he descobert avui, en <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Daniel_Santbech">Daniel Santbech</a>, aquest matemàtic va ser dels qui va enfrontar-se al problema i aquí hi ha un dels gràfics que feia:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/5/51/Santbech.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/5/51/Santbech.JPG" height="316" width="320" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Es pot veure que el projectil es mou en línia recta fins al punt més alt de la trajectòria i llavors cau mort fins al terra. Ara ens pot semblar més o menys absurd.. Però el coneixement científic de l'època estava assentat en la mecànica d'<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Arist%C3%B2til">Aristotil</a>, un dels clàssics.<br />
<br />
El primer en desafiar aquests pensaments va ser <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Niccolo_Fontana_Tartaglia">Tartàglia</a> qui va plantejar les paràboles com a figures que describien les trajectòries i posteriorment, la mecànica de Galileu va donar, de manera natural, les paràboles. Finalment, Newton ens va donar les matemàtiques per complicar tant com vulguessim el problema.<br />
<br />
Quan dic que Newton dóna les eines és perquè ell va parir la segona llei i el càlcul diferencial. En altres paraules, la posició d'un cos $\vec{r}(t)$ ve donada per la següent equació diferencial:<br />
<br />
$$ \vec{F}=m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}=m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$$<br />
<br />
<br />
La segona llei de Newton ens relaciona la força, $\vec{F}$, que experimenta un cos amb la seva acceleració, $\vec{a}$. L'acceleració ens indica com varia la velocitat respecte del pas del temps, d'aquí el concepte de derivada. I finalment, la velocitat ens dóna com varia la posició respecte el temps.<br />
<br />
Si agafem un canó i buidem tot l'aire del planeta estarem segurs que les forces que actuaran sobre el projectil seran només les de la gravetat $\vec{g}$. El que va deixar clar Galileu és que la gravetat només afecta als moviments verticals. I com més tard va matizar Newton, aquells que apunten cap al centre de la Terra.<br />
<br />
Amb la força de la gravetat tindrem<br />
<br />
$$ m\frac{d\vec{v}}{dt} = -m\vec{g} $$<br />
<br />
Es a dir, en la direcció horitzontal, paral·lela al terra, el projectil no nota cap força i per tant $v_x$ es mantindrà constant. D'altra banda, en la direcció vertical hi ha la força de la gravetat que estira amb una força constant i farà que la velocitat inicial decreixi de forma constant fins arribar a zero (moment més alt de la trajectòria) i després començarà a créixer però amb magnitud negativa, és a dir, apuntant cap al terra.<br />
<br />
$$ m\frac{d v_x}{dt} = 0, \quad m\frac{d v_y}{dt} = -m g $$ <br />
<br />
Amb aquestes condicions podem començar a disparar i recuperem els resultats de Tartaglia. L'abast màxim del projectil és dóna quan disparem amb un angle de $\phi=45^{\circ}$. Com es pot veure en la primera figura: en la direcció horitzontal la velocitat del projectil es manté constant ja que no hi actua cap força. D'altra banda, en la direcció vertical veiem com la velocitat decau de forma lineal. L'efecte de la gravetat és una desacceleració constant en la direcció vertical.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs6gGh-nL1amapVF3t-2muB2IYxU52m4f1Ev9W8ZebJeTzawm8WbSbOm3OVOUEtNmHjcE4qV4mw4cmmiXhXApCnwOOJzzdMno7irmpVHzKZQ71-1aRAh0MCzDCOHwTqiWLEueVpyHDsfU/s1600/plot_g.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgs6gGh-nL1amapVF3t-2muB2IYxU52m4f1Ev9W8ZebJeTzawm8WbSbOm3OVOUEtNmHjcE4qV4mw4cmmiXhXApCnwOOJzzdMno7irmpVHzKZQ71-1aRAh0MCzDCOHwTqiWLEueVpyHDsfU/s1600/plot_g.png" height="276" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<br />
Però això ho podem anar complicant. Imaginem que ara tenim aire. L'aire oposarà resistència al moviment i, de la nostra experiència a la bicicleta, sabem que dependrà de la velocitat. Com més ràpid, més força ens fa l'aire.<br />
<br />
Si fessim els calculets veuríem que un projectil a l'aire majoritàriament rep una força que és proporcional al quadrat de la velocitat, $\vec{F}_d = -\Gamma v^2 \frac{\vec{v}}{v}$. En física de fluids aquest és el resultat que es té a valors alts del nombre de Reynolds, $Re>1$. En aquesta expressió el primer terme és un coeficient que dependrà de les característiques del projectil i les propietats de l'aire, el segon terme indica la magnitud de la velocitat al quadrat i l'últim terme és el vector que indica la direcció del moviment. Amb el signe negatiu indiquem que el valor de la força sempre s'oposarà al moviment, serà sempre en la direcció oposada a la velocitat.<br />
<br />
I l'equació del moviment és ara:<br />
<br />
$$ \frac{d\vec{v}}{dt} = - \frac{\vec{g}}{m} - \frac{\Gamma}{m} v^2\frac{\vec{v}}{v} $$<br />
<br />
I resolem per a diferents valors (fent $m=1$). La resolució, tant en aquest cas com en l'anterior l'he feta numèricament, ja que resoldre equacions porta el seu esforç i aquesta és de les lletges.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihrSjyEkBQexknCNoGkH4uncI4b-qONL-cuFiOlXI0q91VoHjZNyOq8KoZp-2jo0N0gWMNwUKRj4yJarUFRJYtosnOBA8nl1Pja0MNHdBjQFmeQSf1vChqMuTZhCxbzN9nZmRYIRx7JvU/s1600/plot_gamma.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihrSjyEkBQexknCNoGkH4uncI4b-qONL-cuFiOlXI0q91VoHjZNyOq8KoZp-2jo0N0gWMNwUKRj4yJarUFRJYtosnOBA8nl1Pja0MNHdBjQFmeQSf1vChqMuTZhCxbzN9nZmRYIRx7JvU/s1600/plot_gamma.png" height="275" width="400" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I ara ho veiem!!! Quan tenim fregament ens costa més de llençar el projectil i carai, el projectil deixa de descriure una trajectòria parabòlica!! Ara ja és diabòlica, acudit dolent però proveu de resoldre ara l'equació diferencial :P</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Podem veure que amb $\Gamma=2$ necessitem uns valors de $v_0=340$ per assolir un abast comparable. En els càlculs he pres $m=1$. Com a primera aproximació, podem considerar que la $\Gamma$ aquesta va com $L^2$, és proporcional a la superfície (i alguns factors geomètrics). Aquest fet ens ajuda a entendre perquè quan llencem un full de paper el resultat depèn de si l'arruguem o no. El paper arrugat és més compacte i presenta una menor superfície de contacte amb l'aire i, per tant, un $\Gamma$ més petitet.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I en esports podem veure que també tenim coses semblants. Picar un volant de bàdminton amb totes les forces de les que es disposa és divertit.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I finalment m'he preguntat, quin és l'angle pel qual obtenim un abast més llarg per un projectil de $m=1$, $v_0=340$ i $\Gamma=2$??? Doncs he començat a llençar amb diferents angles i la corba m'ha mostrat la següent sorpresa:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXMy8q3KRFAgY5Od5-ofw_WBhhT_6dAby65ZYWOAdVyFFwLYspnLxPJI9iezXcePFi-9S7U5pvOH87Q62jaXuxx8eCxUXEXs2ued3ds0QV2uQQ8JRhmgmf4yGKOHUGd6HmM2GBS8-HuKA/s1600/plot_angle.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXMy8q3KRFAgY5Od5-ofw_WBhhT_6dAby65ZYWOAdVyFFwLYspnLxPJI9iezXcePFi-9S7U5pvOH87Q62jaXuxx8eCxUXEXs2ued3ds0QV2uQQ8JRhmgmf4yGKOHUGd6HmM2GBS8-HuKA/s1600/plot_angle.png" height="276" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
Un resultat que ens podíem esperar, o no.</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-17758677284386264462014-10-06T23:45:00.000+02:002014-10-06T23:45:09.517+02:00I tu què fas??<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
Una pregunta innocent però en el cas dels qui ens dediquem a la ciència resulta subtilment complicada de respondre. És una d'aquelles preguntes que al llarg dels anys hem de mirar d'aprendre a respondre.</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Depenent de la impressió que es vulgui causar, depenent de a qui li diguis o de l'energia que un estigui disposat a gastar la resposta pot ser més o menys elaborada. En aquest article llistaré unes quantes de les respostes que he anat donant o pensant.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si vull donar una resposta jocosa (paraula que m'agrada especialment (feta amb la primera síl·laba del meu nom complet))</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
"Doncs jo faig servir ordinadors molt potents per veure amb quina força es fan les meves boles."</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Així d'entrada pot resultar molt estrany. Però amb el pas dels mesos la ment se m'esbiaixa i el problema passa a ser una part més de mi.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si vull donar una resposta ràpida:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
"Estic fent el doctorat de nanociències i nanotecnologia."</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De fet és un dels que tenia una menció d'excel·lència per part del Ministerio i això sempre dóna punts quan es va a buscar dinerus. Tot i que sigui dels electrònics i amb els <strike>pelacables</strike> electrònics no ens fem massa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si vull donar una resposta a la família o semblant:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
"Faig classes a Barcelona. Ah, i quan no sóc a classe faig coses amb l'ordinador."</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ja fa un temps que me'n deixen fer... A més a més, faig coses amb l'ordinador. Certament.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si he de parlar amb un company físic:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
"I tu què fas??"</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En general serveix per desviar l'atenció i t'expliquen les coses meravelloses que fan. Algunes vegades en més de 4 dimensions, altres a temperatures extremadament properes al zero absolut, alguns miren per telescopis.. Hi ha de tot.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si insisteixen, o gent que sap aproximadament al que em dedico:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
"Uhmm.. Faig simulacions en un sistema que m'he muntat de partícules microscòpiques en un règim sobreesmorteït, autopropulsades (que saben nedar) i que tenen interaccions d'alineació a parelles. Un cop tinc el tinglado muntat m'interessa veure com aquestes partícules afecten dinàmicament a partícules inertes de majors dimensions o com es comporten en règims de confinament. Per cert, tot en dues dimensions :P"</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I finalment, també puc impressionar al personal:</div>
<blockquote class="tr_bq">
<div style="text-align: justify;">
"Estudio l'aparició de fenòmens col·lectius i autoorganització en suspensions de bacteris i en caracteritzo l'estructura dinàmica i les propietats mecàniques, per així, aplicar-ho a dispositius microfluídics que facilitaran el diagnòstic de... o que permetran fer mesures de la qualitat de..."</div>
</blockquote>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
M'he de treballar la part final encara... Però alguna aplicació mèdica li trobarem.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
I la gent què pensa de mi???? Doncs aquí ve la impressió que dec donar.<br />
<br />
Des del punt de vista de l'ordinador:<br />
<blockquote class="tr_bq">
"És un malparit i aquesta ja és la... 5ena vegada que <strike>es carrega</strike> canvia el sistema operatiu. Ja torna a tocar el que no sona. NaN!!"</blockquote>
<br />
Des del punt de vista d'algun company:<br />
"És el que es passa part del dia assegut davant de l'ordinador. Fa dibuixets guais"<br />
<br />
Des del punt de vista dels del bar:<br />
<blockquote class="tr_bq">
"És un dels molts físics que baixa al bar amb el pretext de discutir sobre física i acaba discutint del <i>landscape</i>, sobretot a prop d'on hi ha químiques."</blockquote>
<br />
He de dir a favor meu que el terme d'<i>energy landscape</i> es fa servir en àmbits propers al meu...A més, en general toquem temes de físics.<br />
<br />
Per uns quants:<br />
<blockquote class="tr_bq">
"És el desgraciat que ens va suspendre les mates" </blockquote>
<br />
Pel Ministerio i totes aquesta gent que es fa estimar a les Universitats:<br />
<blockquote class="tr_bq">
"Mira.. Aquell desgraciat que busca ser mileurista... Què farem?? Ah!! Per què no li donem els diners d'una vegada?? Vale, però no tots, retallem-li aquest mig anyet que hem de gastar diners en.. (portar l'Ebola a la Península, per exemple)"</blockquote>
I així podria seguir amb la llista...<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
I ara com diria un físic quàntic.. No és que faci una d'aquestes coses o una altra. Ni les faig totes.. Simplement jo em puc definir com la superposició quàntica de totes aquestes, i algunes més.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un altre dia ja pujaré fotos i pelis de les meves boles i de com es mouen!!!! </div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-55983107715036520902014-09-13T19:03:00.000+02:002014-09-13T19:07:40.575+02:00Sumar a cegues<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
L'entrada d'avui està dedicada a un petit incident de bar. És al bar on apareixen els problemes interessants.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Divendres, després de la V, em trobava al bar amb un company i vam demanar dos cafès amb llet i un croissant. A l'hora de pagar vaig demanar a última hora de pagar-ho tot junt. El resultat va ser que l'home del bar, em va demanar a mi de sumar-ho. Aquest va ser el meu procés mental:<br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
1.04 + 1.04 + 1.24 = Uhm... uhh... 3x1 = 3 Llavors hi ha alguns cèntims que queden sueltos... Uhm... com a mínim 25 cèntims...</blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Mentre em trobava inmers en el càlcul el qui em cobrava diu:<br />
</div>
<div style="text-align: justify;">
<blockquote class="tr_bq">
$1.04+1.04+1.24 = 3.32$. Aquesta era fàcil, ehh!! Que necessitaves una calculadora tu??</blockquote>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
I el meu company hi afegeix que el que necessitava és el meu ordinador, que sense ordinador no sé calcular xD</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I automàticament vaig començar a pensar com calcular-ho amb l'ajut d'un ordinador però sense haver de fer cap suma, clar...</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La resposta?? <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/M%C3%A8tode_de_Monte_Carlo">Monte Carlo</a>. D'aquest tema ja en van escriure quatre ratlles introductòries a <a href="http://cocociencia.cat/calcul-del-numero-pi-el-metode-de-montecarlo/">Cocociència</a>. El que presentaré aquí és com vaig pensar que es podia fer la suma.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La idea dels mètodes de Monte Carlo és fer ús de nombres aleatòris per a calcular integrals. En cas de la suma es tractava de fer el càlcul d'una superfície. A l'eix x assignem un intèrval de longitud 1 a cada un dels producte mentre que a l'eix y hi assignem el preu per unitat tal i com es pot veure a la figura inferior.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyXUhdzJ89OVGzne0fPsqiGdHWpK7dz3O8y8U5tzApQ4E1fitk2pstyzdDrXfPmLpLqLUCnUtX_4cW86SG8QthF2HJpkiJY2Rg1fxJ_kbpT3dczFjjitlnv35F-qpDqmq-sf7DVNhd2oo/s1600/mc_javi_prob.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjyXUhdzJ89OVGzne0fPsqiGdHWpK7dz3O8y8U5tzApQ4E1fitk2pstyzdDrXfPmLpLqLUCnUtX_4cW86SG8QthF2HJpkiJY2Rg1fxJ_kbpT3dczFjjitlnv35F-qpDqmq-sf7DVNhd2oo/s1600/mc_javi_prob.png" height="266" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
És fàcil veure que si sumem les àrees vermella i verda obtindrem el valor total de la compra. Però això no ens resol el problema ja que per a fer-ho hauríem de sumar. La resposta es troba en el mètode de Monte Carlo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La idea és molt simple. Agafem una parella de nombres aleatòris, $x$ i $y$. El primer que pugui prendre valors compresos entre el 0 i el 3, $x\in(0,3)$ i el segon que els prengui entre el 0 i el 2, $y\in(0,2)$. Amb aquesta parella de números podem pintar el punt amb coordenades $(x, y)$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El que fem a continuació és veure si el punt $(x, y)$ ha caigut dins de la zona pintada o si ha caigut a fora. Si es troba dins de la zona pintada ens ho apuntem i comptem que hem encertat una vegada més.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Després de fer molts llençaments de números aleatòris haurem comptat quantes vegades hem encertat a la zona pintada, $n_{hit}$ i quants llençaments hem fet en total, $n_{tot}$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Amb això podem saber quina fracció de llençaments, $P$, ha estat certera $P=n_{hit}/n_{tot}$. Ara haurem de multiplicar aquesta fracció per l'àrea total que estàvem explorant, es a dir, la superfície, $S$, que ens era accessible en cada un dels llençaments. $S=2 \cdot 3$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ara doncs serà fàcil de calcular el valor de la suma. Aquest serà $6 P$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El resultat, obtingut en 20 càlculs amb 50.000 tirades aleatòries és el següent:<br />
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYiipXm_Nu325lnjmbEiYp6-4hnJXH2wo0rJzRzANeSXfvyUqTO1llHBqFoyd75uWUxQQMrdslGltE_gNcvNpN7_aDr5VvYLWL3viu1wplTAEODpxYFI17avX5yypaqnJ8_GVUnvFkNDA/s1600/javi_2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjYiipXm_Nu325lnjmbEiYp6-4hnJXH2wo0rJzRzANeSXfvyUqTO1llHBqFoyd75uWUxQQMrdslGltE_gNcvNpN7_aDr5VvYLWL3viu1wplTAEODpxYFI17avX5yypaqnJ8_GVUnvFkNDA/s1600/javi_2.png" height="301" width="400" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I si el que representem és la mitjana sobre 20 simulacions independents obtenim el següent:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6yIcP0Ce0SX1XIBY_f_GO1ef8_2u9fEKLheI8xeODz7zfmj_pKONDEJAZ3O-lP5qq5d7e6-SkFEo_-72_HoGGiH-vEjdTssQnbjRYvOaj3P46p07HvZhWLKW9lo78D9Bk1wVoaAQyIY4/s1600/javi_1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6yIcP0Ce0SX1XIBY_f_GO1ef8_2u9fEKLheI8xeODz7zfmj_pKONDEJAZ3O-lP5qq5d7e6-SkFEo_-72_HoGGiH-vEjdTssQnbjRYvOaj3P46p07HvZhWLKW9lo78D9Bk1wVoaAQyIY4/s1600/javi_1.png" height="301" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Aquestes corbes són "uniques" de cada un dels càlculs però a l'infinit haurien de tendir al valor de la integral que és, en aquest cas, 3.32</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Com es pot veuure l'error estadístic després de tota aquesta història és d'un cèntim d'€, de l'1%. No està malament!!</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-509364544366856272014-08-28T00:40:00.002+02:002014-08-28T01:01:13.823+02:00El que no va voler fer Bohr<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
Aquesta setmana la Laia ha publicat un parell d'articles que m'han agradat molt. En <a href="http://metablolic.blogspot.com.es/2014/08/questio-destats-i.html">el primer</a> es plantejava un experiment per a fer entre Barcelona i la Pica d'Estats i en <a href="http://metablolic.blogspot.com.es/2014/08/questio-destats-ii.html">el segon</a> duia a terme l'experiment. Felicitats pels 3000!!</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquest experiment m'ha fet venir al cap un d'aquells mites que corren entre els físics. Un mite que parla d'un jove amb un baròmetre i la missió de mesurar un edifici d'una certa alçada. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A la pregunta d'examen l'alumne va respondre que era molt fàcil. Només s'havia de lligar una corda al baròmetre i deixar-lo anar de mica en mica fins al terra. La longitud de la corda més la del baròmetre serien ni més ni menys que l'alçada total de l'edifici.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Des de dalt estant deixava caure el baròmetre i cronometrava el temps de caiguda. D'aquesta manera era capaç de mesurar-ne l'alçada. El professor, mosquejat perquè la resposta, tot i que correcta, no responia la pregunta amb les eines de l'assignatura va demanar a l'alumne que repetís la qüestió.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Al segon intent l'alumne va ser encara més subtil i va plantejar nous mètodes. Podia mesurar l'alçada del baròmetre i, mentre pujava les escales des de la planta baixa, anar comptant el número de baròmetres que feia l'edifici. El professor encara més indignat.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Al tercer intent l'alumne respon que és molt fàcil. Es lliga el baròmetre amb un fil i es fa oscil·lar. D'aquesta manera es pot calcular el període d'oscil·lació. Un cop a dalt de l'edifici es repeteix l'experiment. Com que el període d'oscil·lació només depèn de l'acceleració de la gravetat i de la longitud del pèndol, es pot extreure quina es la diferència en la força de la gravetat al carrer i al terrat de l'edifici, d'aqui és trivial extreure'n l'alçada. Això és el que en física es coneix com a matar mosques a canonades, o simplement veure qui la té més grossa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Al quart intent l'alumne va un pas més lluny i diu que oferiria el baròmetre com a moneda de canvi al porter de l'edifici a canvi de saber-ne l'alçada.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquesta història acaba amb l'alumne dient que també es podia fer de la manera que el professor s'esperava la resposta, però que era massa òbvia. I al final es revela que l'alumne és ni més ni menys que Neils Bohr, un dels gegants. Un dels qui va demostrar tenir molta pólvora i artilleria i tenir-la ben gran. Tot i fer contribucions en temes nuclears i treballar amb coses petites tota la vida.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Doncs això.. Que la història de la Laia em recorda al mite que he explicat perquè d'això tractava el mètode que l'alumne es nega a aplicar.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La idea del mètode és considerar que la pressió de l'aire varia en funció de l'alçada ja que tenim gas a dalt que, a causa de la gravetat, apreta cap a terra. Si sabem com la pressió depèn de l'alçada respecte del terra, amb un baròmetre podrem fer càlculs d'alçada.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Què tenim? Què què tenim?? Tenim un baròmetre. Tenim gas en un recipient. Tenim la gravetat. I tenim el Principi d'Arquímedes i la Llei dels gasos ideals. (Tenim molt més però això ho puc explicar amb una Estrella al davant :P)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Si ens imaginem un contenidor d'aire podem dir que a una certa alçada $z$ la pressió serà $p(z)$ mentre que la capa que hi ha immediatament per sobre es trobarà a una pressió, inferior, de $p(z+dz)$. En el llenguatge del càlcul diferencial la diferència entre les dues pressions $p(z+dz)-p(z)=dp$. La pressió que està fent la capa de gruix $dz$ és $\rho g dz$. Per tant, podem escriure $dp=-\rho g dz$. Amb això ja hem escrit l'equació que descriu el sistema. En aquest punt hem d'expressar la densitat de l'aire en funció de les variables que coneixem (pressió i temperatura).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tenim aquest aire que suposem que satisfà l'equació dels gasos ideals $pV=nRT$. On $n$ són mols. En dividir pel volum a ambdós costats obtenim la densitat de mols $p=\rho_{mol}RT$. En el cas que ens interessa voldrem aquesta densitat en massa i, per l'aire de l'atmosfera, podem considerar que té una massa molecular de $M_a=30 g/mol=0.03 kg/mol$ i per tant, $p=\rho \frac{RT}{M_a}$. I finalment, $\rho=\frac{p M_A}{RT}$. Això ho introduïm a l'equació diferencial:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$\frac{dp}{dz} = - p\frac{g M_a}{RT}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I això ara es pot solucionar si suposem que la temperatura no varia amb l'alçada. (Em salto la resolució que no és important)</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$\frac{dp}{p} = -\frac{g M_a}{RT}dz \rightarrow p(z)=p(0)e^{-\frac{gM_a}{RT}z} $$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I d'aquí tindrem que el qüocient de la pressió a una alçada $h$ està relacionada amb la pressió arran de terra de la manera següent:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$\frac{p(h)}{p(0)} = \exp\left(-\frac{gM_a}{RT}h\right) \rightarrow h=-\frac{RT}{gM_a}\ln\frac{p(h)}{p(0)}$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquí és on podríem aprofitar un experiment com el de la Laia i dir. Molt bé, ara tenim aquí el volum a Barcelona $V_B$ i aquí el de la Pica d'Estats $V_{PE}$. Volem saber $\frac{p_{PE}}{p_B}$... Amb l'equació dels gasos: $\frac{p_{PE}}{p_B}=\frac{V_B}{V_{PE}}$. (Recordoo que estic obviant la diferència de temperatures al perfil de pressions, però podríem tenir-la en compte). Amb les dades que mencionava la Laia $p_B=1010 hPa$ i $p_{PE}=700 hPa$ obtenim:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$ h=-\frac{8\cdot300}{10\cdot0.03}\ln\frac{700}{1010} \approx 2900 m$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Per tant, quin error cometem?? Doncs un 6%. Certament no ho hem encertat massa... Però l'error relatiu és molt proper al que assumim al fer l'aproximació de temperatura constant (20 graus de diferència entre la ciutat i el cim respecte d'un valor de 300 K és també un 6%) Queda clar que el proper pas en el refinament es troba en l'afegir la tota aquuesta història.</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-19764126505413864462013-11-30T18:57:00.001+01:002013-12-01T16:45:53.346+01:00Perdre per guanyar<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
Un dels resultats sorprenents de les matemàtiques és el següent:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<blockquote class="tr_bq" style="text-align: center;">
Existeixen parelles de jocs, cada un amb probabilitat de perdre més alta que de guanyar, pels quals és possible de planejar una estratègia guanyadora jugant-hi de forma alternativa.</blockquote>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquest és l'enunciat de la coneguda <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Parrondo's_paradox">paradoxa de Parrondo</a>. <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/J._M._R._Parrondo">Juan MR Parrondo</a>, físic espanyol, va descriure una parella de jocs en què es donava aquest fenomen.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Imaginem el joc següent. Una moneda és perfecta si la llencem ens surt cara o creu amb la mateixa probabilitat: la probabilitat de guanyar ($P_g$) i la probabilitat de perdre ($P_p$) prenen el mateix valor $P_g=P_p=1/2$. En el joc de Parrondo la moneda està trucada de de manera que guanyem la partida amb probabilitat $p_g=1/2-\epsilon$ i perdem la partida amb probabilitat $p_p=1/2+\epsilon$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ara ens diuen que si guanyem una partida ens donen 1 € i si la perdem ens treuen 1 €. Amb aquest joc és fàcil veure que si perdem més vegades de les que guanyem estem condemnats al fracàs. Si hi juguem una estona ens adonem de com anem perdent diners a un ritme alarmant (tot i que lineal!!). A la gràfica es pot veure l'evolució del nostre capital partint de 500 €, jugant-hi 5000 vegades i imposant $\epsilon=0.1$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEMv3F3QQpQu7JLRW4YEhbqzMLRo3QNWJFeZ66WCPqkLS7-fHCN3llvDwTIIbgcw9rrleHNRYxznPc94n0eh0H6yxx6DGdBxAU9Cx-LiweC9mTPXlBg2ZCpxSJ6kaaF1Y1ofV4gj_Lm3w/s1600/parrondo1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEMv3F3QQpQu7JLRW4YEhbqzMLRo3QNWJFeZ66WCPqkLS7-fHCN3llvDwTIIbgcw9rrleHNRYxznPc94n0eh0H6yxx6DGdBxAU9Cx-LiweC9mTPXlBg2ZCpxSJ6kaaF1Y1ofV4gj_Lm3w/s320/parrondo1.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De fet podem calcular la tendència aquesta:</div>
<div style="text-align: justify;">
$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \left[ \left(\frac{1}{2}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right] = D(0) -2\epsilon t$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El valor mitjà dels nostres diners serà una recta amb coordenada a l'origen $D(0)=500 €$ i amb pendent $-2\epsilon$ €/tirada. Es a dir, comencem amb 500 € i n'anem perdent 0.2 després de cada tirada, o en altres paraules; de cada 5 tirades en guanyem dues i en perdem tres.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El segon joc al que juguem és una mica més complicat però ve a dir el següent. Si el valor dels nostres diners és múltiple de 3 guanyem la partida amb probabilitat $P_g=0.1 - \epsilon$ i la perdem amb $P_p=0.9 + \epsilon$. D'altra banda, si els nostres diners no són múltiples de tres guanyem amb $P_g=0.75-\epsilon$ i perdem amb $P_p=0.25 + \epsilon$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
D'entrada no podem dir si sortirem guanyant o perdent diners amb aquest joc. Si hi juguem una estona ens adonem que duu al mateix desastre. A continuació tenim el resultat de jugar al joc 1 i 2 amb $\epsilon=0.05$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivsHdSMWSL1x-nbUvd6qv-v6bYK_EpUsmime3j4BiHn8EnPj_VVjxK9Sna2PhXzRC1nWem8wYV0D6P-sJO3j7MRz7ofP92Nnn5wDQZH_LDLwtTPhCoJFcDO1QmIM7SYE5k_LPP_1hSLf8/s1600/parrondo2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEivsHdSMWSL1x-nbUvd6qv-v6bYK_EpUsmime3j4BiHn8EnPj_VVjxK9Sna2PhXzRC1nWem8wYV0D6P-sJO3j7MRz7ofP92Nnn5wDQZH_LDLwtTPhCoJFcDO1QmIM7SYE5k_LPP_1hSLf8/s320/parrondo2.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
No és que ens ho sembli.. Els dos jocs són estadísticament igual de dolents com podem veure si fem un càlcul ràpid, i incorrecte, dels diners en funció de la tirada:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \frac{1}{3}\left[ \left(\frac{1}{10}-\epsilon\right) - \left(\frac{9}{10}+\epsilon \right)\right] t + $$ </div>
<div style="text-align: justify;">
$$\qquad+ \frac{2}{3}\left[ \left(\frac{3}{4}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{4}+\epsilon \right)\right]t = D(0) -2\epsilon t$$</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I ara ve la genialitat de Parrondo. Què passa quan juguem als dos jocs alhora?? En el meu cas el que he fet ha estat intercalar dues partides d'un joc amb dues partides de l'altre joc. Els resultats.. Curiosos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJHWoWNyua02UAOVPBPRc9vZtJVPUZuMnHlDxOUA6qQZX5BtuDiUnrgi83Jwt53YTiDVpR3mBTU7IjpQZL5qM1yqjxB2yQTJDF0g1-Qb-gPoGVCStp9XdB8vxwObDGTi9U3tRfk5ap4Xg/s1600/parrondo3.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJHWoWNyua02UAOVPBPRc9vZtJVPUZuMnHlDxOUA6qQZX5BtuDiUnrgi83Jwt53YTiDVpR3mBTU7IjpQZL5qM1yqjxB2yQTJDF0g1-Qb-gPoGVCStp9XdB8vxwObDGTi9U3tRfk5ap4Xg/s320/parrondo3.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
A la figura es pot apreciar que per a valors prou petits del paràmetre $\epsilon$ la combinació dels dos jocs perdedors donen lloc a un joc guanyador. Per a fer-ho ben fet hauríem de pintar el resultat de molts jocs i veure'n l'estadística.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Amb això ens queden clares dues coses. La primera és que la <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Teoria_dels_jocs">teoria de jocs</a> ens amaga moltes sorpreses. La segona és que tot i que hi hagi jocs en què es dóna.. No passa sempre, en el nostre cas depèn del paràmetre $\epsilon$. Només hi ha beneficis per a $\epsilon$ prou petits.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
La conclusió és que, tot i la Paradoxa de Parrondo, encara que es jugui al joc <a href="http://www.frikipedia.es/friki/PP">1</a> i al joc <a href="http://www.frikipedia.es/friki/PSOE">2</a> i els dos siguin clarament perdedors, el resultat d'anar-los combinant no té perquè tenir bones conseqüències.</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-79342847124944256612013-11-13T22:43:00.000+01:002013-11-13T22:43:59.182+01:00No tot és el Higgs<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
Vaig molt tard.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Fa mesos que no escric res i ja és hora de trencar el silenci. Hi ha moltes coses que m'hauria agradat escriure aquest últims mesos, o fins i tot anys. He vist que al blog no hi ha activitat contínua ben bé des de fa massa temps. Han passat moltes coses des que vaig deixar d'escriure de manera més o menys regular. Una de les que m'ha afectat directament és veure com, de tant en tant, alguna notícia física es propaga pels mitjans de comunicació. En aquest cas les dues notícies rellevants han estat els neutrins del CERN a l'OPERA i la descoberta del bosó de Higgs.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Primer va ser un neutrí (<a href="http://ciencia.ara.cat/larealitatviviseccionada/2011/11/15/la-teva-hora-no-ha-arribat/">I</a> i <a href="http://ciencia.ara.cat/larealitatviviseccionada/2011/11/24/els-neutrins-de-linfern/">II</a>) que es va escapar del CERN. Aquest neutrí, <a href="http://www.youtube.com/watch?v=HUul6NTx-o0">en Faustino</a> (veure vídeo dels <a href="https://www.facebook.com/pages/Beatlestones/377896862585">Beatlestones</a>), va ser notícia i els mitjans de comunicació es van afanyar a fer dues coses: remarcar que uns científics havien descobert partícules taquiòniques (quan ells el que feien era demanar ajuda a la comunitat física per veure què hi havia malament); i la segona, dir que Albert Einstein i la Teoria de la Relativitat estaven obsolets. Però com podem comprovar, els neutrins segueixen anant a la velocitat que els correspon com a partícules amb massa no nul·la i els aparells de GPS encara funcionen.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="315" src="//www.youtube.com/embed/HUul6NTx-o0" width="420"></iframe>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pel que fa al bosó de Higgs.. Se n'ha parlat molt i molt. Va ser notícia que ara algú pogués mesurar una predicció de fa quasi 50 anys. La feina que s'ha fet al CERN ha estat increïble i crec que en algun moment se'ls haurà de donar un Premi Nobel per reconèixer-ho (i que consti que tinc unes inclinacions més <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Sheldon_Cooper">teòriques</a> que no pas <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Leonard_Hofstadter">experimentals</a>!!). Per la seva banda, Peter Higgs va matar el tema l'any 1964 amb un magnífic <a href="http://prl.aps.org/abstract/PRL/v13/i16/p508_1">article</a> de pàgina i mitja. Els càlculs són bàsics per algú amb nocions bàsiques d'electrodinàmica quàntica (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Electrodin%C3%A1mica_cu%C3%A1ntica">QED</a>) i el toc de genialitat està en la interpretació. D'altra banda, Englert i Brout, en el mateix volum de la revista, fan el camí pel dret i acaben fent una bona colla de càlculs (que tenen molt <a href="http://prl.aps.org/abstract/PRL/v13/i9/p321_1">mala pinta</a>) i acaben dient coses semblants tot i que no tan contundents com Higgs.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Amb el títol d'aquesta entrada podria voler dir dues coses. La primera és que a la física hi ha molt més que el Higgs, cosa que és totalment certa. La segona és que amb la descoberta del bosó de Higgs tenim confirmat el model que descriu aproximadament un 2% de la massa del nostre cos. I això queda lluny de la idea del 100% de la massa que, pel que he interpretat a la tele, hauria d'explicar.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Els humans, i en general tot el que podem veure al nostre voltant, estem fets d'àtoms. Els àtoms, per la seva banda, estan constituïts per protons, neutrons i electrons. Els electrons són partícules elementals del model estàndard. Els protons i neutrons, en canvi, són formats per quarks.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El model de Higgs s'aplica a les partícules del model estàndard. Per tant, confereix massa als quarks que constitueixen els protons i neutrons i directament als electrons.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Els electrons tenen una massa $m_e=0.511 MeV/c^2$ (que és la unitat que fan servir els particuleros o $9.1\cdot10^{-31} kg$ pels qui anem a comprar al mercat). Els quarks que formen els protons i neutrons són l'up (u) i el down (d) (Postulats per <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Murray_Gell-Mann">Murray Gell-Man</a> també l'any 1964!!!!! Però guanyador del Nobel el 1969). La massa del quark up és $m_u=2.3 MeV/c^2$ i la del quark down és $m_d=4.8 MeV/c^2$.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Un protó constituït per tres quarks (uud) té una massa deguda al Higgs de $m_{p,H}=9.4 MeV/c^2$ i un neutró constituït per tres quarks (udd) té una massa deguda al Higgs de $m_{n,H}=11.9 MeV/c^2$. La diferència de masses és de l'ordre del 20% i en canvi sempre ens diuen que si fa no fa un protó i un neutró tenen la mateixa massa. Per arreglar-ho fem el que s'ha de fer. Fem un experiment i mesurem la massa dels protons i neutrons i obtenim que el protó té una massa $m_p=938.3 MeV/c^2$ i el neutró $m_n=939.6 MeV/c^2$, les diferències de massa estan al 0.15%!! Què ha passat aquí??? Pel que podem veure un nucleó té una massa que és de l'ordre de 100 vegades superior als seus constituents.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Per a veure-hi més enllà en tenim prou amb una frase. <b>El tot és la suma de les parts més les interaccions</b>. En el cas dels nucleons el que manté confinats els quarks són unes partícules sense massa, els gluons. Aquests gluons són els intermediaris de la força nuclear forta. La cromodinàmica quàntica (<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Cromodin%C3%A1mica_cu%C3%A1ntica">QCD</a>) és la teoria que descriu la interacció entre quarks i gluons, coloquialment, la interacció de color. L'energia per a mantenir confinats els quarks és la principal responsable de l'alta massa dels protons i neutrons. Si tornem a Einstein tenim: $E=mc^2$. I d'aquí podem veure que quantitats prou grans d'energia tenen una certa contribució en massa tal que $m=E/c^2$. D'aquí provenen les unitats de massa que fan servir els físics de partícules (i nuclears) ja que un MeV és una unitat d'energia. Pel que fa als electrons, ara podem veure que la seva massa és pràcticament menyspreable (un 0.2% respecte la del nucleó).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una altra energia que també es nota a la massa és la de lligam dels nuclis. Sempre ens ensenyen que les càrregues d'igual signe senten repulsió i al nucli només hi ha protons (càrrega +) i neutrons (càrrega 0). Una manera una mica patillera de dir com s'aguanta és dir que els confina una interacció residual de la força nuclear que està unint els trios de quarks a cada nucleó. En un àtom de carboni amb 6 protons i 6 neutrons l'<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa_de_enlace_nuclear">energia de lligam</a> del nucli és d'uns 90 MeV (Aquest valor indica que un nucli que carboni-12 té una massa equivalent a uns 200 electrons menys que la que tenen 6 protons i 6 neutrons independents). </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Aquesta energia de lligam ha estat tocant els nassos durant anys a la física nuclear per culpa dels químics. Una unitat que agrada molt als químics és el dàlton (Da) o unitat de massa atòmica (uma). La uma es defineix a partir de la massa del carboni-12 i dividint entre 12 ja que el carboni-12 conté 6 protons i 6 neutrons. Una uma equival a una massa d'uns $931 MeV/c^2$, la desviació entre aquesta massa i la massa dels nucleons és essencialment una 12 part de l'energia de lligam. Per tant, la uma és una unitat que s'ha d'evitar si et dediques a la física nuclear (però que va bé a la física atòmica (altrament anomenada química)).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I ara tornem al tema del Higgs!! Un humà estàndard està constituït essencialment per carboni (6 protons, 6 neutrons i 6 electrons per àtom), per nitrogen (7 protons, 7 neutrons i 7 electrons per àtom), oxigen (8, 8 i 8) i altres elements lleugers que contenen, aproximadament el mateix nombre de protons que de neutrons i electrons. L'hidrogen és l'únic que se n'escapa i en general està format per un protó i el seu electró.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Així doncs, l'humà estàndard està format pel doble de nucleons (neutrons+protons) que d'electrons. Hi ha alguna <a href="http://marvelhistoria.galeon.com/Lobezno/hughjackman.jpg">excepció</a>, però ja hem dit que tractem l'humà estàndard. Hem vist que el mecanisme de Higgs explica aproximadament un 1% de la massa de protons i neutrons i que la massa d'un electró és unes dues mil vegades inferior a les dels electrons. Així doncs, després de tantes notícies dient que el Higgs explicava la massa, veiem aquesta contribució és només d'entre 500 i 1000 grams en una persona ordinària.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
I per acabar... Felicitats a tots els qui han fet possible aquesta història i en especial els guanyadors del Nobel d'aquest any.</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-65001168614512895202013-03-10T19:06:00.000+01:002013-11-26T22:58:11.528+01:00El llenguatge de la naturalesa<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
A <a href="http://alasanid.blogspot.com.es/2013/02/mon-microscopic-i-simplicitat.html">l'article passat</a> vam veure com a partir d'un model ben senzill i intuïtiu podíem reproduir estructures de gran complexitat com les que ens planteja la naturalesa dels processos d'agregació. Però com podem relacionar les simulacions amb la <i>realitat</i>?? Per a fer-ho farem cas a un dels grans, Galileu <a href="http://ca.wikiquote.org/wiki/Galileo_Galilei">va dir</a> una vegada que les matemàtiques són l'alfabet amb el qual Déu ha escrit l'Univers. Tot i que en ciència fer cas a una autoritat <a href="http://www.youtube.com/watch?v=b240PGCMwV0">no vol dir res</a>, és una d'aquelles frases que amb els anys s'ha anat veient que era encertada.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Tornant al problema de l'agregació recupero una de les imatges que ja vaig penjar ja que és molt il·lustrativa: </div>
<ul style="background-color: white; font-family: sans-serif; font-size: 13px; line-height: 19.200000762939453px; list-style-image: url(data:image/png; margin: 0.3em 0px 0px 1.6em; padding: 0px;"></ul>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDba2W5-by3JICwCv7hTqFasPWz-yuk5gJlnM-sehEgc-BqLA6gVTceDFe7ucIuuO4supcX849lVXbY0J-ligxUV2RexhBen3VKxeAgJnGFigDVeM_0cgrtQrjG-Ga_3iXymYdr4lhP4Y/s1600/DLA.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="246" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDba2W5-by3JICwCv7hTqFasPWz-yuk5gJlnM-sehEgc-BqLA6gVTceDFe7ucIuuO4supcX849lVXbY0J-ligxUV2RexhBen3VKxeAgJnGFigDVeM_0cgrtQrjG-Ga_3iXymYdr4lhP4Y/s320/DLA.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Matemàticament podem definir la probabilitat que en l'instant N (es a dir que després de N passos) la partícula estigui al punt X (si està en un pla, X serà una parella de nombres, les coordenades del punt (x,y)). $P(N,X)$ és aquesta probabilitat. Aquesta probabilitat dependrà només d'on era la partícula en l'instant anterior. A més a més serà equiprobable que vingui de qualsevol de les cel·les que li són veïnes. Matemàticament s'expressa com:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$P(N,x,y)=\frac{1}{4}P(N-1,x-1,y)+\frac{1}{4}P(N-1,x+1,y)$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\ \ \ \ +\frac{1}{4}P(N-1,x,y-1)+\frac{1}{4}P(N-1,x,y+1)$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Fent l'aproximació que aquests increments són molt petits matemàticament podem suposar que $P(N,X)$ és una funció que podem desenvolupar amb sèrie de potències (en <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/S%C3%A8rie_de_Taylor">sèrie de Taylor</a>). És a dir, la funció a prop d'un punt és la funció en el punt més una petita correcció.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$P(N-1,X)=P(N,X)-\frac{\partial P(N,X)}{\partial N}+...$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$P(N,x-1,y)=P(N,x,y)-\frac{\partial P(N,x,y)}{\partial x}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(N,x,y)}{\partial x^2}+...$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$P(N,x+1,y)=P(N,x,y)+\frac{\partial P(N,x,y)}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(N,x,y)}{\partial x^2}+...$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I el mateix per la y. Veiem que les derivades primeres espaials (x i y) es cancel·len i per tant hem d'anar a mirar què passa amb les derivades segones. Si ho fiquem tot en ordre i ben sumat obtenim una equació diferencial per a la probabilitat. Per simplificar-ho tot una mica les derivades segones s'agrupen en l'operador <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Operador_laplaci%C3%A0#Coordenades_cartesianes">laplacià</a> (per comoditat i per escriure-ho en un llenguatge modern i per generalitzar a més dimensions).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\frac{\partial{P(N,X)}}{\partial N}=\frac{1}{2}\nabla^2 P(N,X)$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Aquesta és l'equació que governa la probabilitat d'una partícula. Les condicions de contorn seran les que definiran cada problema. Ara podem fer l'aproximació que el procés és lent i que, per tant, la derivada respecte del temps és petita (i com que és petita... Bum!! La fem 0). El nostre problema obeeix l'equació de Laplace:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\nabla^2 P(N,X)=0$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
L'equació de Laplace governa els processos de difusió (com acabem de veure). Això no ens diu més que el que ja hem vist fins ara. Els fenòmens d'agregació de metalls són deguts a una diferència de potencial electrostàtic sense dependències temporals. Si anem a veure quines lleis els governen (primera equació de Maxwell) resulta que el potencial elèctric satisfà <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_de_Poisson#Electrost.C3.A0tica">l'equació de Poisson</a>. La càrrega elèctrica està confinada en una regió de l'espai, l'agregat. Per tant, en la dissolució tenim:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\nabla^2 \phi(x)=0$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
I vinga, l'últim ja és més sofisticat i agafat pels pèls. La inestabilitat de Saffman-Taylor es produeix en un medi en què una de les dimensions és molt més petita que les altres dues (per exemple, en l'espai confinat entre dues plaques de metacrilat). En física de fluids aquesta configuració es coneix com a cel·la de Hale-Shaw i les equacions que governen el moviment del fluid són..</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
$$\vec{v}=c\nabla p \overset{\nabla\cdot\vec{v}=0}{\longrightarrow} \nabla^2 p =0$$</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
On hem hagut de suposar que el fluid és incompressible, que no incomprensible, amb $\nabla\cdot\vec{v}=0$. Veiem que la pressió és també harmònica (és harmònica perquè satisfà l'equació de Laplace).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
D'aquesta manera podríem anar buscant sistemes fora de l'equilibri que obeeixin l'equació de Laplace. Aquests sistemes tenen molts números (per no dir tots!!) de formar unes estructures espectaculars. No és del tot rigorós però veiem que s'hi ensuma alguna cosa. De ben segur que algun dia algú tindrà una idea genial i aconseguirà explicar amb detall el DLA i per què forma les estructures que forma. S'ha intentat de <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Grupo_de_renormalizaci%C3%B3n">renormalitzar</a> però encara ningú prou llest o (astut o que hagi aconseguit de sobornar o fer xantatge a Déu per tal que li doni la resposta) per obtinir els valors exactes de la dimensió fractal (propera entrega) que es poden mesurar en un agregat.</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-45253133001236804532013-02-23T12:09:00.000+01:002013-02-23T12:34:05.040+01:00Món microscòpic i simplicitat<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
Després d'iniciar-nos en les <a href="http://alasanid.blogspot.com.es/2013/02/ramificacions-i-la-bellesa-de-la-natura.html">ramificacions</a> anem a mirar d'entendre alguna cosa. Per a fer-ho construirem un model microscòpic per mirar d'explicar l'electrodeposició de la plata. Tal i com <a href="http://pepquimic.wordpress.com/2010/08/30/fractals-de-plata/">podem veure</a> al bloc d'en PepQuímic podem obtenir fàcilment fractals de plata al laboratori. En Pep ens dóna una recepta (és increïble de fer i veure que surt!!).<br />
<br />
Ara ens centrarem en els agregats de plata. Com diu en Pep els ions de plata van a l'elèctrode on hi ha electrons per tal de guanyar càrrega elèctrica negativa i comencen a agregar-se formant una estructura fractal. Què està passant?? Els ions de plata estan dissolts en aigua. D'altra banda, sabem que les molècules d'aigua i ions de plata estan en constant moviment. Hi ha xocs de tots amb tots. Per tant, podem considerar que els ions de plata segueixen un moviment erràtic.<br />
<br />
Quan encenem la pila tots els ions de plata que hi impactin contra l'elèctrode negatiu (on hi ha els electrons) s'hi quedaran units en forma de plata metàl·lica. Com que la plata és conductora qualsevol io de plata que hi interaccioni guanyarà un electró i s'hi unirà en forma metàl·lica. L'agregat pot anar creixent.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
Si el moviment dels ions <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_browniano">és prou aleatori</a> llavors podem entendre (de manera qualitativa) que els serà més fàcil d'enganxar-se als dits que vagi formant l'agregat enlloc de penetrar-lo i unir-se als estadis primerencs de l'agregat. Si els ions viatgessin de forma balística la cosa seria diferent però les trajectòries que recorren són recargolades i, per tant, és molt difícil que puguin passar per llocs estrets com ara entre els dits que anirà formant l'agregat. Amb aquest procés de creixement aniran apareixent branques i l'agregat anirà adquirint més i més complexitat.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA3htmYkf4QSmniDY8ny3sdada_OU8BBCeciTrm-JuU2lxISzk30gyEAz4mbhtGPfZVRBxRYRoSnZXleWnUtlZoFNoa3gknjQ8YmHl-QvQQ6kyksruVwZi_Qcxm2T5ArDLg8y2-tsgwrg/s1600/plata2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="307" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgA3htmYkf4QSmniDY8ny3sdada_OU8BBCeciTrm-JuU2lxISzk30gyEAz4mbhtGPfZVRBxRYRoSnZXleWnUtlZoFNoa3gknjQ8YmHl-QvQQ6kyksruVwZi_Qcxm2T5ArDLg8y2-tsgwrg/s320/plata2.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Hem fet una hipòtesi per tal d'explicar el resultat. La ciència és el que ve a posteriori, hem d'examinar si amb aquestes hipòtesis som capaços d'aconseguir els resultats que esperem si no.. No serà més que <a href="http://ciencia.ara.cat/centpeus/2013/01/21/digues-li-coses-boniques-a-laigua/">xarlataneria</a> i <a href="http://centpeus.blogspot.com/2006/01/un-clssic-la-memria-de-laigua.html">blablablà</a>.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Per comprovar-ho hauríem de fer experiments i veure què en pensa la natura. Però si jo fes un experiment tampoc seria massa fiable, els qui em coneguin tindran motius per dubtar-ne. Per tant, he anat al món computacional on permet tenir tots els paràmetres sota control. </div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Per a fer l'experiment he fet simulacions sobre un espai pla discretitzat, es a dir, he fet les simulacions a sobre d'un tauler d'escacs. Inicialment tenim tot el tauler en blanc i pintem la casella central de color negre (serà la llavor del nostre agregat). Posteriorment, deixem anar una partícula en un punt aleatori del tauler. Abans hem demanat que els ions viatgessin aleatòriament. En aquest moment imposem el moviment aleatori. Cada pas que farà la partícula que hem deixat anar serà random, es a dir, podrà desplaçar-se a una de les 4 caselles veïnes amb la mateixa probabilitat (25 % d'anar endavant, endarrere, a la dreta o a l'esquerra). Tenim un caminant aleatori (no és ben bé un moviment brownià). Eventualment el caminant aleatori (o borratxo com també se'l coneix) es trobarà amb la llavor central (sabem que es trobaran perquè una trajectòria d'un random walk té dimensió 2 i, per tant, en un temps finit el podem trobar a una distància arbitràriament petita de qualsevol punt del pla). Quan es trobi amb la llavor central s'hi enganxa (pintem la casella anterior a col·lisionar amb la llavor de color negre). Ja tenim un agregat de dues partícules. Deixem anar una tercera partícula al tauler i deixem que es vagi movent aleatòriament fins a trobar-se amb l'agregat. I així fins a l'infinit!!</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDba2W5-by3JICwCv7hTqFasPWz-yuk5gJlnM-sehEgc-BqLA6gVTceDFe7ucIuuO4supcX849lVXbY0J-ligxUV2RexhBen3VKxeAgJnGFigDVeM_0cgrtQrjG-Ga_3iXymYdr4lhP4Y/s1600/DLA.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="246" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjDba2W5-by3JICwCv7hTqFasPWz-yuk5gJlnM-sehEgc-BqLA6gVTceDFe7ucIuuO4supcX849lVXbY0J-ligxUV2RexhBen3VKxeAgJnGFigDVeM_0cgrtQrjG-Ga_3iXymYdr4lhP4Y/s320/DLA.png" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Aquí tenim un esquema del procés. Deixem anar una partícula des d'una circumferència centrada en la llavor i de radi més gran que l'agregat i deixem que es difongui (paralula clau) aleatòriament fins que eventualment arriba a b i s'hi enganxa. Aquest model es coneix com a DLA (Agregació Limitada per Difusió). És una agregació que ve donada única i exclusivament per la difusió de parícules, res més. Un model extremadament simple pel que es van fer famosos <a href="http://pmc.polytechnique.fr/pagesperso/dg/cours/biblio/PRB%2027,%205686%20(1983)%20Witten,%20Sander%20[Diffusion-limited%20aggregation].pdf">Witten i Sander</a> a principis dels anys 80 i que va generar un gran interès durant uns anys. El resultat de les simulacions es pot veure a continuació (o buscant DLA a internet).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAcepVN_lZYnYQ9uEJ6QQ7uFd09YXbf_-w3elattwS54DC-Fp-KHbcoLE9sxPbCqJijStBqf_yn4m4zkunp3aRckNk_RPeDM1Fvhc0XXuuoiQNPdaizsOcmcagzfD14Pf3L7AuGGGxHD8/s1600/capes5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAcepVN_lZYnYQ9uEJ6QQ7uFd09YXbf_-w3elattwS54DC-Fp-KHbcoLE9sxPbCqJijStBqf_yn4m4zkunp3aRckNk_RPeDM1Fvhc0XXuuoiQNPdaizsOcmcagzfD14Pf3L7AuGGGxHD8/s400/capes5.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Aquesta imatge es correspon a un agregat de 40.000 partícules. Podem veure l'estructura de ramificacions que comentàvem. Podem veure en color les diferents etapes de creixement. Veiem que els punts més exteriors es converteixen en atractors de partícules, són els que capten les partícules que es difonen en el medi. Per un caminant aleatori és molt difícil d'avançar en línia recta i quan s'aproxima a una zona que s'estreny acaba enganxant-se a les parets. D'aquesta manera l'estructura de branques aconsegueix que la part interna de l'agregat esdevingui pràcticament inexpugnable.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZ42NpFQhgi0qiDPnWuTFzzhHoNDUx-uRPW3RrMuzCkd2LoMlquukoK5zHrmneFjpzXZZ9Vg3V_12KMrXFObph2OcvtTb_-QMf59UQeHS_HeEeAg76gInFNO7kWB41dG-VwmWj5jIXbzs/s1600/4capes2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhZ42NpFQhgi0qiDPnWuTFzzhHoNDUx-uRPW3RrMuzCkd2LoMlquukoK5zHrmneFjpzXZZ9Vg3V_12KMrXFObph2OcvtTb_-QMf59UQeHS_HeEeAg76gInFNO7kWB41dG-VwmWj5jIXbzs/s400/4capes2.png" width="398" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Podem veure les diferents capes que es formen. Tenim unes desenes de milers de parícules.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7qAU_DQcwHVf5BXW9S-MfXk2P_kD2BQMiTwAAZZzRooNiwb_Rd86aKIJxwB56iQPF-igFYBbHfV46ciMxgS7_f3HB0nLmhuO9csYoW6Rm2IVroKpChtcmairhZ11zWQy0KhjRobZ_4tA/s1600/85000b.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi7qAU_DQcwHVf5BXW9S-MfXk2P_kD2BQMiTwAAZZzRooNiwb_Rd86aKIJxwB56iQPF-igFYBbHfV46ciMxgS7_f3HB0nLmhuO9csYoW6Rm2IVroKpChtcmairhZ11zWQy0KhjRobZ_4tA/s400/85000b.png" width="398" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
En aquest gràfic hi ha 85.000 parícules. Podem veure les branques clarament.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjViRviFM_WIWe2qKkDkPsYNcZGS1h3p7s56iQKOoNJ0hDElouW0GMjUfff0gZ08ubpcLnQNpSa4UUBTp4iVbkU97pEbskhzHxPTSdJvHrjMs1cTuOhfuJNyjnqatESEq4u6TJFYp18e0/s1600/500.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjViRviFM_WIWe2qKkDkPsYNcZGS1h3p7s56iQKOoNJ0hDElouW0GMjUfff0gZ08ubpcLnQNpSa4UUBTp4iVbkU97pEbskhzHxPTSdJvHrjMs1cTuOhfuJNyjnqatESEq4u6TJFYp18e0/s400/500.png" width="398" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Aquesta simulació es correspon a un autèntic moviment brownià. L'espai en què corren les partícules és "contínu" i 2-d. La longitud de cada pas que efectua el caminant té una distribució gaussiana (com es correspon al moviment brownià). Tenim dues trajectòries pintades. Per a ser realistes hauríem d'haver fet ús d'una constant de difusió coherent amb la natura però me n'he preocupat poc.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Des d'un punt de vista natural aquesta és una molt bona estratègia pels organismes vius. Un ésser viu busca intimar al màxim amb la naturalesa (com deia Wagensberg <a href="http://alasanid.blogspot.com.es/2008/06/entrevista-jorge-wagensberg.html">en una entrevista</a>). Amb les ramificacions s'aconsegueix ocupar un gran espai. Deixar espais buits en l'estructura permetrà que amb el mateix nombre de partícules es tingui una superfície més gran, no s'estan malgastant esforços ni recursos i, al final del dia, acabem recollint més nutrients o el que sigui que busquem.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_-MqerL9rRz2-IEZ8XjxWaTMZoXxHsAURCqFWOUi-lXVG3JeV2Z92XzaMP4A-dWioVw2Z8IScqPgGmuTI1AW51mmW8Qg4vOSoguGFAUH1SHXjrushdUBCNVtLPe6UoLgBgrj-b3rUM4c/s1600/celules.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" height="261" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_-MqerL9rRz2-IEZ8XjxWaTMZoXxHsAURCqFWOUi-lXVG3JeV2Z92XzaMP4A-dWioVw2Z8IScqPgGmuTI1AW51mmW8Qg4vOSoguGFAUH1SHXjrushdUBCNVtLPe6UoLgBgrj-b3rUM4c/s400/celules.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Amb certes condicions de nutrients i substrats els biòlegs són capaços d'aconseguir meravelles amb colònies de cèl·lules. Aquestes imatges em fascinen.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Al proper article farem ús del llenguatge de les matemàtiques per establir una relació entre els diferents agregats que es veuen a la natura. És amb les matemàtiques que podem veure-hi més enllà.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-70337041708977529162013-02-16T22:31:00.000+01:002013-02-16T22:31:21.507+01:00Ramificacions i la bellesa de la natura<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
Fa uns dies en Dani va parlar dels <a href="http://ciencia.ara.cat/centpeus/2013/02/13/del-vatica-al-cel/">llamps</a> i un dels videos que va enllaçat em va deixar fascinat. A continuació tenim el video en qüestió.<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" frameborder="0" height="300" mozallowfullscreen="" src="http://player.vimeo.com/video/28457062" webkitallowfullscreen="" width="400"></iframe>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
El vídeo mostra el procés de <i>caure un llamp</i> a una velocitat de captura a la que no estem acostumats. Al vídeo apreciem fenòmens que vistos directament ens passen desapercebuts. La descàrrega elèctrica es dóna en una sèrie de ramificacions. Aquest fet em recorda sempre la mateixa frase de <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Beno%C3%AEt_Mandelbrot">Mandelbrot</a>: </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: center;">
<i>Els núvols no són esferes, les muntanyes no són cons, les línies de costa no són cercles i les escorces no són suaus ni els llamps viatgen en línia recta.</i></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
I es que els humans estem sempre simplificant les coses al màxim. Als nens se'ls ensenya les figures geomètriques més elementals de la geometria euclidiana (Òbviament no se'ls ha d'ensenyar <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Pseudo-Riemannian_manifold">certes coses</a>) i per sort alguns professors introdueixen els fractals als més petits. Amb els fractals es trenca amb el concepte de classe de geometria i apareix tot un ventall d'interacció amb els alumnes.<br />
<br />
Amb aquest article vull començar una petita sèrie d'articles amb què pretenc unir unes quantes idees que tinc pel cap amb l'objectiu de comprendre per quin motiu els llamps no viatgen en línia recta (no seré ni rigorós ni el resultat a què arribi serà del tot lícit, però es podrà sospitar que hi ha d'haver alguna cosa al darrere).<br />
<br />
Si googlejem una estona podem trobar imatges com les següents:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://folk.uio.no/bsand/grapics/gallery/dendrite.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="238" src="http://folk.uio.no/bsand/grapics/gallery/dendrite.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
Aquesta és la imatge d'una mineral que ha format una dendrita</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://harp.njit.edu/~kondic/capstone/2002/a/fig1.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="306" src="http://harp.njit.edu/~kondic/capstone/2002/a/fig1.gif" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
Aquesta imatge mostra un experiment en què s'ha injectat un fluid dins d'un altre fluid de forma sobtada (inestabilitat de Safman-Taylor).</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://n-e-r-v-o-u-s.com/education/simulation/images/dielectricBreakdown.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="http://n-e-r-v-o-u-s.com/education/simulation/images/dielectricBreakdown.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
Aquesta imatge mostra el trencament d'un dielèctric. Es a dir, s'ha forçat a passar corrent elèctric per un material aïllant.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPvQG5XZ6Ocrpm4wZXah9pvo0ETkG0CE1cipLzeoIJDlA-8U4rVbbBDag_fd_OyZmoGtuECGlk30LSgEQtkjmwocaaGBBAYbWy-d0hUqaaemKVeUJBptsPRbTF8NxydZgLwNvr6gqzsFY/s1600/0+-+Snow+Feather+2+-+Jan+2013_1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="215" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPvQG5XZ6Ocrpm4wZXah9pvo0ETkG0CE1cipLzeoIJDlA-8U4rVbbBDag_fd_OyZmoGtuECGlk30LSgEQtkjmwocaaGBBAYbWy-d0hUqaaemKVeUJBptsPRbTF8NxydZgLwNvr6gqzsFY/s320/0+-+Snow+Feather+2+-+Jan+2013_1.jpg" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: center;">
Aquesta imatge mostra el creixement de cristalls de gel. També formen una estructura de dendrites.</div>
<br />
Podem veure que trobem estructures molt similars en fenòmens aparentment molt diferents. Què té a veure el corrent elèctric amb un fluid injectat a pressió?? O amb la deposició d'un mineral?? O amb la congelació de l'aigua?? Així d'entrada un tendeix a pensar que res, però les formes que assoleixen ens porten a pensar que hi ha algun detall en comú, hi ha quelcom bàsic, fonamental, en tot plegat.<br />
<br />
Aquest és punt en què el físic fa vàlida la frase d'<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Ernest_Rutherford">Ernest Rutherford</a> <i>Tota la ciència és física o col·leccionisme de segells. </i>Enlloc de mirar què diferencia les quatre imatges i començar a classificar intentem tractar-les amb el que tenen en comú. El que és més evident és la forma final que donen lloc. Les ramificacions i la complexitat ens criden l'atenció per sobre de tot. Nosaltres, però, veurem el que no és obvi, veurem què tenen en comú a nivell microscòpic.<br />
<br />
Al proper article atacaré des d'un punt de vista microscòpic, i qualitatiu, la formació de dendrites i ho il·lustraré amb experiments fets al laboratori.<br />
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-69950653234057983282012-10-05T23:50:00.001+02:002012-10-05T23:51:48.752+02:00Sèries: El problema de Basilea<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div style="text-align: justify;">
Ara feia molt temps que no entrava al blog i escrivia alguna cosa. No és per falta de temes ja que sempre en tinc al cap, l'únic que passa és que em fa una mandra espantosa tornar a escriure. De mica en mica, però, aniré tornant. Ara per tornar he vist que el LaTeX tornava a fallar i l'he arreglat i en aquest article ficaré 4 números i sumes infinites per posar-lo a prova. Benvinguts del nou <i>al meu bloc</i> els qui seguiu per aquest món.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Quan un aplica les matemàtiques a la vida real en moltes ocasions es troba amb les sèries. Una sèrie és una suma de termes d'una successió. Algunes d'elles tenen la seva història. Fa temps vaig parlar de la sèrie aritmètica que la va sumar Gauss i avui toca el <i>problema de Basilea</i> que va ser resolt per <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler">Euler</a>. Euler, com molts <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor">altres matemàtics</a> després seu, va ser dels que podrien haver fet seva <a href="http://www.youtube.com/watch?v=2Hf0_Ey_eRk">la frase del gran Buzz-Lightyear</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El problema de Basilea és fer la suma següent:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...\]</div>
<div style="text-align: justify;">
A diferència de la suma aritmètica aquesta és completament impossible de fer a mà però sí que ens hi podem anar acostant de mica en mica. La idea per a fer la suma és buscar-la en un lloc conegut.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Per a fer-ho recorrem a les <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/S%C3%A8rie_de_Taylor">sèries de Taylor</a> (que ens ajuden en infinitat de situacions). El desenvolupament en sèrie de Taylor del sinus és:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[sin(x)=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-...=x(1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-...)\]</div>
<div style="text-align: justify;">
I si dividim per x obtenim:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{sin(x)}{x}=1-\frac{x^2}{6}+\frac{x^4}{120}-...\]</div>
<div style="text-align: justify;">
D'altra banda podem construir la funció anterior emprant un mètode més còmode. Els punts en què de la funció $sin(x)/x$ s'anul·la en els mateixos punts que la funció $\sin(x)$ i són $x=\pm\pi$, $x=\pm2\pi$... De fet té infinits punts en què s'anul·la, tots els què satisfan $x=n\pi$. Per tant, podem construir un polinomi que representi la nostra funció de la manera següent:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{sin(x)}{x}=(1-\frac{x}{\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{2\pi})(1+\frac{x}{\pi})(1-\frac{x}{3\pi})(1+\frac{x}{3\pi})...\]</div>
<div style="text-align: justify;">
Veiem que la funció s'anul·la en tots els punts que havíem mencionat abans $x=n\pi$. Ara podem aplicar la relació $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ i obtenim una expressió amb què ens serà més còmode de treballar.</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{sin(x)}{x}=(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2})(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2})...\]</div>
<div style="text-align: justify;">
Ara només hem de començar a multiplicar com a autòmats (hi ha altres expressions més freqüents però de moment els autòmats no se senten ofesos):</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{sin(x)}{x}=1-(\frac{x^2}{\pi^2}+\frac{x^2}{2^2\pi^2}+\frac{x^2}{3^2\pi^2}+...)+(\frac{x^2}{\pi^2}\frac{x^2}{2^2\pi^2}+...)-...=\]</div>
<div style="text-align: justify;">
\[=1-\frac{x^2}{\pi^2}(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...)+\frac{x^4}{\pi^4}(\frac{1}{1^2}\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}\frac{1^2}{3^2}+...)-...\]</div>
<div style="text-align: justify;">
On el primer terme és el producte de tots els uns. El segon terme és multiplicar cada terme amb $x^2$ amb els uns, podem veure que anirem tenint termes de la forma $\frac{x^2}{n^2\pi^2}$. El tercer terme és el resultat de multiplicar dos termes amb $x^2$ diferents pels uns.. Fent-ho així acabaríem fent el producte de tots amb tots però ja els tindríem ordenats en potències parelles de $x$. De moment ens centrem en el segon terme: el que va amb $x^2$, és fàcil de veure que és la sèrie que preteníem sumar!!</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
Ara doncs ens queda comparar els dos coeficients que acompanyen el terme $x^2$ dels dos desenvolupaments en sèrie.</div>
<div style="text-align: justify;">
\[-\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\longrightarrow\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
Amb aquest mètode, una mica indirecte, hem aconseguit fer una suma infinita sense haver hagut de sumar cap número. Amb accions com aquesta els grans matemàtics passen a la història.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ara podem aprofitar la idea per a fer el càlcul amb $1/n^4$. Per a fer-ho jo he hagut de fer una resta cosa que havia de passar, no tinc <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_de_Euler_para_la_funci%C3%B3n_zeta_de_Riemann">el nivell de l'Euler</a>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
El terme amb $x^4$ el podem expandir una mica més i obtenim:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{x^2}{\pi^2}\frac{x^2}{2^2\pi^2}+\frac{x^2}{\pi^2}\frac{x^2}{3^2\pi^2}+...+\frac{x^2}{2^2\pi^2}\frac{x^2}{3^2\pi^2}+\frac{x^2}{2\pi^2}\frac{x^2}{4^2\pi^2}+...\]</div>
<div style="text-align: justify;">
\[...+\frac{x^2}{3\pi^2}\frac{x^2}{4^2\pi^2}+\frac{x^2}{3\pi^2}\frac{x^2}{5^2\pi^2}...=\]</div>
<div style="text-align: justify;">
\[=\frac{x^4}{\pi^4}(\frac{1}{1^2}(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...)+\frac{1}{2^2}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...)+\frac{1}{3^2}(\frac{1}{4^2}+...)\right)\]</div>
<div style="text-align: justify;">
Podem veure com s'ordenen. Veiem que cada terme de la suma consta de dos termes, el primer recorre tots els valors possibles de n mentre que el segon recorre només els k termes que són més grans que n. En format compacte això ho podríem escriure de la manera següent:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k>n}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k>n}^{\infty}\frac{1}{n^2k^2}=\frac{\pi^2}{120}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
On l'últim resultat és el de comparar amb el terme d'ordre $x^4$ del desenvolupament en sèrie. Ara és quan hem de mirar de sumar això d'alguna manera i mirar de fer servir el resultat anterior (El del problema de Basilea). Si miréssim de sumar per a tots els $n$ i $k$ sense restriccions estaríem ficant termes de més, concretament estaríem afegint tots els termes amb k més petit que n (terme igual que el $k>n$ (només hem de permutar els noms a n i k i es veu de seguida)) i un terme amb $n=k$.</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^2k^2}=2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k>n}\frac{1}{n^2k^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
I ara sí que és fàcil de fer la primera suma, la que no té limits sobre n ni k.</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\right)^2=\left(\frac{\pi^2}{6}\right)^2=\frac{\pi^4}{36}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
Ara ja només queda substituir valors i anirem a petar a una equació de primer grau:</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\frac{\pi^4}{36}=2\frac{\pi^4}{120}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{36}-\frac{2\pi^4}{120}=\frac{10\pi^4}{360}-\frac{6\pi^4}{360}=\frac{\pi^4}{90}\]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Podem comprovar que és el resultat que s'espera... Fer els següents és senzill havent fet ja el cas $1/n^4$ però és més pesat, s'ha de reconèixer.</div>
</div>
Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-28966229000779714912011-12-11T22:20:00.000+01:002011-12-11T22:23:52.472+01:00Fluids<div style="text-align: justify;">En física la primera cosa que és idealitzar-ho tot. Per començar els problemes de projectils que es fan a l'institut mai tenen en compte l'aire. Després es considera que els cossos són puntuals. I finalment es comença a pertorbar lleugerament les coses. Amb els fluids passa el mateix.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Ara les primeres aproximacions que fem són si els fluids mullen o no mullen. Si mullen és que són viscosos, que hi ha una certa interacció interna, una dissipació, que els fluids s'enganxen a les parets (i per tant mullen). Si no mullen passa tot el contrari, el fluid va com si res l'única condició és que no pot penetrar parets.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Els fluids que <i>no mullen</i> s'anomenen fluids ideals (tampoc es poden comprimir) i el moviment d'aquests es pot descriure molt bé amb l'<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Principi_de_Bernoulli">equació de Bernoulli</a>. Que com vam veure pot explicar <a href="http://alasanid.blogspot.com/2009/01/efecte-venturi.html">molts fenòmens</a> relacionats amb els fluids.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">D'altra banda amb fluids que <i>no mullen</i> no es pot explicar <a href="http://alasanid.blogspot.com/2009/05/efectes.html">d'altres efectes</a>. Per això fa falta la viscositat (introduïda des de fa molts anys pel gran Newton). I que a més a més poden tenir <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Viscosity#Types_of_viscosity">comportaments molt diferents</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I al llarg dels anys s'han anat fent coses fins a treure una de les equacions més perilloses de la física clàssica, l'<a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Navier%E2%80%93Stokes_equations">equació de Navier-Stokes</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">A partir d'aquí són moltes i moltes hores de matemàtiques i laboratori. Jo el que faré és anar penjant vídeos que il·lustraran les veritables belleses dels fluids i alhora la perillositat de l'equació de Navier-Stokes. I aquí ve el primer vídeo, en aquest cas és un fluid molt viscós en unes condicions de contorn força ben triades.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe width="480" height="360" src="http://www.youtube.com/embed/p08_KlTKP50" frameborder="0" allowfullscreen=""></iframe></div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-61822898668916794122011-10-23T20:43:00.002+02:002011-10-23T21:23:09.154+02:00La fi dels raigs N<div style="text-align: justify;">Fa uns dies en Dan escrivia sobre <a href="http://ciencia.ara.cat/centpeus/2011/10/11/els-raigs-n-o-el-poder-de-lautoengany/">una radiació</a> que va néixer, i morir, als laboratoris francesos. Qui va acabar amb ells va ser tot un personatge. Robert Wood és dels físics que va deixar una bona quantitat d'anècdotes.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Wood va ser catedràtic de física a la John Hopkins University a Baltimore. En dies en què hi havia bassals alarmava a la gent escupint-hi al mateix temps, que de manera dissimulada, hi deixava caure un troç de sodi metàl·lic.</div><div style="text-align: center;"><br /></div><div style="text-align: center;"><iframe width="420" height="315" src="http://www.youtube.com/embed/Jw9p-5t8wWY" frameborder="0" allowfullscreen=""></iframe></div><div style="text-align: center;"><br /></div><div>Va escriure escriure <a href="http://www.amazon.com/How-Tell-Birds-Flowers-Flornithology/dp/0486205231">un llibre</a> per nens titulat "<i>Com distingir el ocells de les plantes</i>". </div><div><br /></div><div style="text-align: justify;">Quan era jove va estar una temporada vivint a Paris. Allà s'allotjava en una pensió i la mestressa va ser víctima d'una de les seves bromes. Ella vivia al pis de sota i a la terrassa hi tenia una tortuga. Wood va aconseguir una bona col·lecció de tortugues de diferents mides i va passar a l'acció. El que va fer va ser canviar la tortuga de la dona per una d'una mida més gran. Cada pocs dies repetia l'operació i hi deixava una tortuga més gran que l'anterior. Sorpresa, la patrona va explicar a en Robert el prodigi de la naturalesa que tenia a casa, una tortuga que creixia a una velocitat d'infart. En Wood per seguir amb la cosa la va animar a anar-ho a consultar a un cèlebre professor d'universitat i a informar-ne a la premsa. La premsa no ho va dubtar i se li van presentar a casa per fer-ne un reportatge, i llavors, Wood va iniciar l'operació inversa i l'animal va començar-se a fer petit de forma misteriosa.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Wood es dedicava a l'espectroscopia. Es diu que quan era a París va escampar pols blanca sobre els ossos del pollastre després d'un sopar i que l'endemà va deixar anar unes gotes de caldo en una flama i aquesta va cremar de color vermell, la mestressa havia fet servir aquells ossos pel caldo*. Com a espectroscopista va ensinistrar el seu gat per tal que li passés per dins i li netegés de pols i teranyines.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Però com a científic va fulminar els raigs N. Els raigs N van ser producte de la frustració i moltes hores de laboratori, qualsevol persona, tancada hores i hores amb poca llum en un laboratori d'òptica descobreix radiacions estranyes, coneix amics imaginaris i, sobretot, perd la poca vista que li quedava.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">* Aquesta no em sembla massa creïble tenint en compte com havia de quedar de salada la sopa (havia fet ús de LiCl). Una anècdota semblant és atribuïda a <a href="http://alasanid.blogspot.com/2008/12/tres-evasions.html">George de Hevesy</a> que diuen que va afegir un polsím de sals radioactives i després les va detectar amb un Geiger.</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-3658169920616334432011-09-23T22:39:00.004+02:002011-09-26T23:11:41.991+02:00Els neutrins<div style="text-align: justify;">Què són els <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Neutr%C3%AD">neutrins</a>?? Des de fa unes hores els neutrins són les partícules subatòmiques més mediàtiques, més que els electrons (que fins fa uns anys feien anar totes les teles del planeta). I es que van i ahir publiquen uns resultats <a href="http://arxiv.org/abs/1109.4897">anòmals</a> (<a href="http://static.arxiv.org/pdf/1109.4897.pdf">aquí </a>l'article) i que sembla que posen de potes enlaire la física que coneixem. Clar que el que mou la física, i la ciència en general, és que de tant en tant s'hagi de replantejar tots els esquemes anteriors perquè fallen, i perquè no, això és el que fa que hi pugui haver físics nous vivint de la física.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Però què coi són els neutrins?</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Als anys 30 quan els físics feien números amb les reaccions nuclears del tipus: un neutró de càrrega neutra es desintegra i en resulten un protó de càrrega positiva i un electró de càrrega negativa; quan comparaven l'energia que hi havia en el neutró i la suma de la que portaven el protó i l'electró els en faltava i el mateix passava quan sumaven la <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Quantitat_de_moviment">quantitat de moviment</a>. Aquestes dues quantitats s'han de conservar.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I què van fer els físics? Doncs el que hauria fet qualsevol altra persona. Van dir que simplement hi havia una partícula de càrrega neutra que s'enduia l'energia i el moment que els faltava. El problema és que eren completament incapaços de detectar-la.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">No va ser fins el 1956 que en un experiment en van tenir evidències i des de llavors ja se l'ha tinguda en compte com una més de la família subatòmica, concretament està molt relacionada amb la família dels electrons, els leptons.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a href="http://www.fnal.gov/pub/inquiring/matter/madeof/standardmodel.jpg" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 300px; height: 371px;" src="http://www.fnal.gov/pub/inquiring/matter/madeof/standardmodel.jpg" border="0" alt="" /></a><div style="text-align: center;">En aquest gràfic podem veure les partícules subatòmiques del model estàndard. </div><div style="text-align: center;">Els quarks, que són els qui formen els protons i neutrons, els leptons entre ells electrons i neutrins, i els portadors de les forces com el fotó i els bosons W i Z (trobats al CERN).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Com no podia ser d'altra manera, una partícula tan esquiva com els neutrins sempre ha portat maldecaps als físics.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Durant molts anys pensaven que no tenien massa (massa en repòs igual a 0). Més tard van comprovar que la proporció dels diferents tipus de neutrins (els neutrins electrònics, muònic i tauònic) que ens arriben del Sol <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_los_neutrinos_solares">no quadraven amb els models</a>. Els físics ja van haver d'empescar-se alguna cosa: ara es parla de l'<a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Oscilaci%C3%B3n_de_neutrinos">oscil·lació dels neutrins</a>. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Per detectar-los sempre han estat un problema, si fa uns anys eren incapaços de mesurar-los ara entenem perquè i es que la majoria dels que ens arriben del Sol són creuen el planeta sense si adonar-se'n. Cada segon som ametrallats per centenars de milers de milions de neutrins i nosaltres seguim com si res. I ara no es pot dir que no els costi de <a href="http://centpeus.blogspot.com/2010/06/llums-i-collapses-sota-terra.html">detectar-los</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">D'altra banda tenen altres propietats que els fa extremadament curioses i una d'elles és que alguns teròrics els veuen com les seves pròpies antipartícules, sembla ser que tots els antineutrins son <i>esquerrans</i> i els neutrins <i>dretans</i> (fa referència a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Helicidad_(f%C3%ADsica_de_part%C3%ADculas)">l'helicitat</a>). </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Com es pot veure els neutrins són unes partícules que els agrada sortir-se dels esquemes i portar de corcoll als físics. I ara ja feia uns anys que estaven tranquils.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si es mira l'article dels científics del CERN es pot llegir una anàlisi detallada del tractament dels milers de numerets que han anat registrant les màquines a Suïssa i a Itàlia, el resultat final ha estat que els neutrins viatgen lleugerament més ràpid que la llum, però eren lícits tots els càlculs que han fet?? Hauran de tornar-se a treure alguna cosa de la màniga els físics?? I es que si una cosa saben fer els físics són les famoses <i>patillades</i>. Com acabarà tot plegat? Se'n sortirà la Teoria de la Relativitat Especial?? O més ben dit, fins a quin punt hi entra en conflicte? És l'enèsima maniobra evasiva el bosó de Higgs?? O simplement hi haurà activistes que protestaran pels mals comesos a milers de neutrins? De moment seguirem atens a la comunitat científica.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I per acabar m'agradaria recordar una cosa que em fa gràcia. Tant de parlar del CERN i el Higgs i totes les <a href="http://press.web.cern.ch/press/pressreleases/Releases2011/PR05.11E.html">bones notícies</a> (i la dels neutrins) que han arribat del CERN els últims mesos han estat relacionades amb petits experiments que passen desapercebuts dels mitjans.</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-3251902145753523152011-07-21T17:19:00.001+02:002011-07-21T17:23:25.161+02:00L'IFS i la falguera de Barnsley<div style="text-align: justify;">Fa un temps en aquest blog vaig escriure sobre el <a href="http://alasanid.blogspot.com/2009/06/el-joc-del-caos.html">joc del caos</a> i <a href="http://alasanid.blogspot.com/2009/06/jugant-amb-el-joc-del-caos.html">petites variacions</a>. Aquests jocs es basen en el que a dia d'avui es coneix com el <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Collage_theorem">Teorema del Collage</a>. Si llegim el que en diu la Wikipedia no s'entén pràcticament res (és el que passa amb molts teoremes).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><div style="text-align: justify;">Si mirem d'entendre què passava amb el joc del caos veiem que tenim 3 punts especials (cadascun dels vèrtex) i que estem fent una reducció de longitud des d'un punt qualsevol a un dels vèrtex. D'haver-hi només un dels vèrtex el punt cauria, inevitablement, cap al vèrtex: el vèrtex és un atractor. En ficar els 3 vèrtex junts el punt no acaba de caure mai en cap d'ells (tot i que s'hi acosta i es manté acotat) el que diu el teorema del collage és que l'atractor total és la unió dels atractors independents. Costa d'entendre però mirant una estoneta el triangle de Sierpinski un se'n fa una idea més o menys encertada.</div><div><br /></div><div>El matemàtic Michael Barnsley al llibre <i>fractals everywhere</i> ens proposa un exemple combinant 4 transformacions afins (una mica més complicades que les del joc del caos). Esquemàticament tenen aquesta pinta: </div></div><br /><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Fractal_fern_explained.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 333px; height: 465px;" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/Fractal_fern_explained.png" border="0" alt="" /></a><br />La primera, representada en verd és una reducció d'escala de la coordenada y, amb una probabilitat de l'1% de ser aplicada:<div><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 238); -webkit-text-decorations-in-effect: underline; "><br /><img src="http://upload.wikimedia.org/math/9/7/d/97d89acf29651f72c8485dfb56da4bd6.png" border="0" alt="" style="display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; text-align: center; cursor: pointer; width: 243px; height: 48px; " /></span></div><div>La segona, representada per un rectangle blau s'aplica un 85% de les vegades:</div><div><br /></div><div><div><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 238); -webkit-text-decorations-in-effect: underline; "><img src="http://upload.wikimedia.org/math/4/8/9/489dfa63d783cf2f13a3257c408191c8.png" border="0" alt="" style="display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; text-align: center; cursor: pointer; width: 338px; height: 48px; " /></span></div></div><div>La tercera, representada per un rectangle vermell s'aplica en un 7% de les vegades:</div><div><div><br /></div><div><div><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 238); -webkit-text-decorations-in-effect: underline; "><img src="http://upload.wikimedia.org/math/c/8/4/c8470d468ea7f87a6079f36093003884.png" border="0" alt="" style="display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; text-align: center; cursor: pointer; width: 345px; height: 48px; " /></span></div></div></div><div>La quarta, representada per un rectangle blau fosc s'aplica en un 7%:</div><div><div><br /></div><div><div><span class="Apple-style-span" style="color: rgb(0, 0, 238); -webkit-text-decorations-in-effect: underline; "><img src="http://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40bb54270f27210036ac6bb6c7fc2a1a.png" border="0" alt="" style="display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; text-align: center; cursor: pointer; width: 345px; height: 48px; " /></span></div></div></div><div>Si fem que l'ordinador ho dibuixi obtenim, efectivament, la falguera de Barnsley. A continuació veurem diferents figures amb 10, 50, 100, 500, 1000, 10000 i 50000 iteracions.</div><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBN6QF1vCgaLSyC0Q8igkUAJmmJmhgg8l0qzy2amYYazArlPp1N6WfAKYMTllr1PwxcaMIt9-Fr3x_E-8ZFHfF7LK8oVuHaSlDQIhOGJItERtj2J34B34cPe3PFPfw9hNRMp-vKM3GUu8/s1600/m10.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhBN6QF1vCgaLSyC0Q8igkUAJmmJmhgg8l0qzy2amYYazArlPp1N6WfAKYMTllr1PwxcaMIt9-Fr3x_E-8ZFHfF7LK8oVuHaSlDQIhOGJItERtj2J34B34cPe3PFPfw9hNRMp-vKM3GUu8/s320/m10.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631825028064628066" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcWTiOPZ2LPgxzCdASSvYriKsCwwsNVrbm-3_QkEr5uuCSMU26QY-UYyj4Ebq5Y_OCZUvVLxkIwWxUGIt0CW1j68M77mwSF5Smla8sAo4JhipgjWbLtKWzN0Rp2Z16W5meN0wktFs-c04/s1600/m50.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcWTiOPZ2LPgxzCdASSvYriKsCwwsNVrbm-3_QkEr5uuCSMU26QY-UYyj4Ebq5Y_OCZUvVLxkIwWxUGIt0CW1j68M77mwSF5Smla8sAo4JhipgjWbLtKWzN0Rp2Z16W5meN0wktFs-c04/s320/m50.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631824987620682386" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSxxcNYncnsYw4HMoGDNvgZk_R_4edFGCm_e-4vbiTLFrYEx9mK7RyN0Xp2ypxKeVHbz2QWYroE74GixnAsOwTbeSnhWW8yo51Re0oc4a3zo03oKGqaeE7RXODKg2BqLP8SoU1GBQfAmo/s1600/m100.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSxxcNYncnsYw4HMoGDNvgZk_R_4edFGCm_e-4vbiTLFrYEx9mK7RyN0Xp2ypxKeVHbz2QWYroE74GixnAsOwTbeSnhWW8yo51Re0oc4a3zo03oKGqaeE7RXODKg2BqLP8SoU1GBQfAmo/s320/m100.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631824936308485042" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5VB_cKdud7G7pE1OBWNlaajGnKtM9VWIkaKlkN-DcOMQVpseobFxrGs0UByLYFKNhvcOa3fufF3IB94qUlhvhsAif0CyDmSV6Si83olcrr54yrPr5Ww4MDTdpH9NkVHOPYPXBlSErQ-Y/s1600/m500.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5VB_cKdud7G7pE1OBWNlaajGnKtM9VWIkaKlkN-DcOMQVpseobFxrGs0UByLYFKNhvcOa3fufF3IB94qUlhvhsAif0CyDmSV6Si83olcrr54yrPr5Ww4MDTdpH9NkVHOPYPXBlSErQ-Y/s320/m500.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631824887969554482" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKzcNN_HC6XLjfSfD9D8rmrl-alSwlsKzUgov4ECTj2W0NmpixS6TqskEwQ9d27gW2yoWOqD6i8oAuaVabDC34FTUiOczId9KAFF2rllihaRJUvqf0Ah_w6iV9vrkAMOqt2GlNqwNGb0M/s1600/m1000.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKzcNN_HC6XLjfSfD9D8rmrl-alSwlsKzUgov4ECTj2W0NmpixS6TqskEwQ9d27gW2yoWOqD6i8oAuaVabDC34FTUiOczId9KAFF2rllihaRJUvqf0Ah_w6iV9vrkAMOqt2GlNqwNGb0M/s320/m1000.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631824715345451650" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgci1DYH7qG2gTlrqP3cYvQ_YFS6TFHSbEcfUurP8ohvgDXEf9jzNAqRl9qgCQQbd7mkZ8_PQdXN3e1nFKxoLB95uSynaC59FoEatTuKdSYmw33MowlfSARuDschDwVmSNW2qp0Vvf9C4Y/s1600/m10000.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgci1DYH7qG2gTlrqP3cYvQ_YFS6TFHSbEcfUurP8ohvgDXEf9jzNAqRl9qgCQQbd7mkZ8_PQdXN3e1nFKxoLB95uSynaC59FoEatTuKdSYmw33MowlfSARuDschDwVmSNW2qp0Vvf9C4Y/s320/m10000.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631824523488179026" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1qNNq3MaIIg_zBqdhIZdf5060VOiBRnhn1KIxlL-V6eu8xFXWStVUciokb79lq8mkV7M_RV05Zo24x0rNLDI8l8vfgEJygiuLcG0jOEEWIArqJfEXRwfvIV9JwpAt__gFvQ5ef32yMeE/s1600/m50000.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 320px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1qNNq3MaIIg_zBqdhIZdf5060VOiBRnhn1KIxlL-V6eu8xFXWStVUciokb79lq8mkV7M_RV05Zo24x0rNLDI8l8vfgEJygiuLcG0jOEEWIArqJfEXRwfvIV9JwpAt__gFvQ5ef32yMeE/s320/m50000.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5631824465253098418" /></a>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-67861143600658586562011-07-08T14:36:00.004+02:002011-07-08T14:51:56.917+02:00Ciència als concursos<div style="text-align: justify;">L'altre dia a Gaussianos <a href="http://gaussianos.com/asi-nos-va/">mencionaven</a> que als concursos de la tele les matemàtiques n'estan completament excloses. I que un programa que fa gala de preguntes altament sofisticades en temes artístics, de literatura i d'història com és <a href="http://www.rtve.es/television/saber-y-ganar/">Saber y Ganar</a> les matemàtiques les deixin únicament a sumar, restar, multiplicar i dividir.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I aquest migdia ho he entès. Al bocamoll, a TV3. En aquest programa la prova final és d'un camp qualsevol del coneixement i s'ha de classificar un total de 7 conceptes en 3 camps diferents. Quan es tracta de cinema, literatura, llengua, geografia... Sembla que el límit de dificultat desaparegui. En el d'avui, per contra, s'havia de classificar 7 conceptes en 3 grans personatges de la història de la ciència: Galileu, Newton i Einstein. Com era d'esperar no eren complicats (en temes de ciència sempre busquen el més bàsic). <a href="http://www.tv3.cat/3alacarta/#/videos/3613310">Enllaç al video</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al minut 26:30 hi ha l'explicació de perquè no cal fer ús d'un nivell alt de ciència als concursos (al minut 3:30 també hi ha somriures de completa ignorància amb alguns elements i compostos químics). La cara de les noies ho diu tot, no en saben n'hi una. L'únic que podem dir és que entre la "sort" i en Roger de Gràcia obtenen una molt bona combinació, 5/7 (0.4 % de probabilitats d'aconseguir-ho, felicitats!) .</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'única crítica que tinc pel Bocamoll és que han agafat els conceptes més senzills però alhora els que podien donar lloc a més confusió ja que eren compartits, és a dir, iniciats per uns i culminat pels altres. La relativitat és dels tres i la gravetat d'Einstein i Newton. Però bé, per deixar tan malament les ciències potser seria millor seguir com fins ara, sense concursos amb preguntes de ciències... Tot i que segurament no és culpa del concurs sinó dels concursants i la solució, sens dubte, és mirar d'aconseguir que les ciències deixin d'estar marginades al típic "es que és molt difícil" i/o "no serveix per res".</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-44968666012254223162011-06-27T16:55:00.006+02:002011-06-28T17:12:24.261+02:00Les equacions de Maxwell (I)<div style="text-align: justify;">Tal com vaig dir l'altre dia el bloc reprèn l'activitat i començaré una sèrie d'articles sobre fenòmens elèctrics i magnètics.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Una manera de veure la física és escrivint 4 equacions i dir que tots els fenòmens que s'hi relacionen es poden deduir a partir de la correcta manupulació de les expressions. Aquest punt de vista és cert, es poden extreure els fenòmens, però sempre he preferit fer-ho a l'inrevés, anar veient fenòmens i acabar escrivint expressions per acabar entenent què vol dir cada símbol al món real.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Ja fa més d'un mil·lenni que els Antics Grecs van observar fanòmens curisos que es podien experimentar fregant un fragment d'àmbar. Tales va observar que fregant un fragment d'àmbar amb drap, el fragment, adquiria propietats atractives respecte d'alguns objectes lleugers. El mateix fenomen es pot experimentar a casa amb una pinta de plàstic o un bolígraf Bic. Si el freguem amb els cabells podem aconseguir que la pinta desviï un rajolí d'aigua o que el bolígraf capturi petits fragments de paper.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Aquests experiments ens porten a pensar que hi ha algun tipus d'interacció, de força, entre els dos objectes. Anys més tard es va proposar una entitat fisicomatemàtica per explicar-ho els <b><a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_(f%C3%ADsica)">camps</a></b>. Ens quedarem amb la paraula camp però no és per aquí per on seguirem.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Quan parlem d'un camp el que hem d'imaginar és que a cada punt de l'espai se li assigna una propietat. Per exemple, un camp de temperatures és el que obtindríem si a cada punt d'una habitació se li assignés el seu valor de temperatures. Quan parlem del camp elèctric podríem parlar, per exemple, del valor que prendria, en cada punt, la força entre el nostre bolígraf i un trosset de paper determinat.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Els científics del segle XVIII es van adonar que les propietats que adquireix un objecte quan es frega i l'objecte amb què ha estat fregat són lleugerament diferents. Els dos tenen la capacitat d'atreure trossets de paper i els dos s'atrauen mútuament. Ara bé, si s'apropen els objectes fregats entre ells es repel·leixen. Això va fer que <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Charles_Fran%C3%A7ois_de_Cisternay_du_Fay">es pensés</a> que la causa de les forces eren dues (ara parlem de càrregues positives i negatives).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Amb aquestes idees <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Charles-Augustin_de_Coulomb">Coulomb</a> va fer experiments amb càrregues i amb una <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Balanza_de_torsi%C3%B3n">balança de torsió</a> va establir <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulomb">la relació</a> entre la força de les càrregues ($F$), la càrrega elèctrica ($Q_1$ i $Q_2$) i la distància ($d$) que les separava.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">\[F=k\frac{Q_1Q_2}{d^2}\]</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'expressió anterior és també vàlida per la gravetat (Gravitació Universal de Newton) canviant $Q_1$ i $Q_2$ per $m_1$ i $m_2$ i la constant $k$. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Amb la idea de camp elèctric (força a cada punt, de fet $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$) i de càrrega ja es pot començar a experimentar. Un altre experiment interessant és la <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/G%C3%A0bia_de_Faraday">gàbia de Faraday</a>. Si col·loquem una font o receptor electromagnètic dins d'un recipient metàl·lic tancat veiem que l'aïllem de nosaltres. Per exemple si agafem una olla, li fiquem un mòbil a dins, la tapem i el truquem.. Podem veure que el telèfon no respon, passa alguna cosa (ho he provat amb diferents olles i amb algunes, les més hermètiques funciona, no hi ha senyal a l'interior).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El senyal que arriba al telèfon no són més que oscil·lacions (vibracions) de camps elèctrics i magnètics. Al ficar el telèfon dins del recipient metàl·lic (conductor) l'hem aïllat de la resta de l'espai elèctricament parlant. Aquest fet és el que enuncia la primera llei de Maxwell de l'electromagnetisme (<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Llei_de_Gauss">Llei de Gauss</a> (també vàlida per la gravetat)). La llei diu que el nombre total de <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnia_de_for%C3%A7a">línies de camp elèctric</a> que entren o surten d'una superfície tancada és proporcional a la càrrega que hi està continguda $\rho$ és la distribució de càrrega. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">\[\overrightarrow\nabla\cdot \overrightarrow{E}= 4\pi\rho \]</div><div style="text-align: justify;">I de forma integral:</div><div style="text-align: justify;">\[\oint _S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi{Q}\]</div><br /><a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Camposcargas.PNG" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 400px; height: 150px;" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8f/Camposcargas.PNG" border="0" alt="" /></a><br />Les càrregues de la figura tenen les línies de camp dibuixades. En el cas de l'esquerra si envoltem amb una circumferència una de les dues càrregues podem comptar el nombre de línies que la creuen. Si envoltem les dues alhora veurem que el nombre es duplica. D'altra banda, si envoltem la positiva i la negativa de l'esquerra veurem que el nombre total de línies que entren menys les que surten és 0. A l'interior no hi ha càrrega neta $1+(-1)=0$.Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-6101935906008131432011-06-14T20:40:00.000+02:002011-06-14T20:40:38.693+02:00Copenhagen i Niels Bohr<div style="text-align: justify;">Fa no massa en PepQuímic va escriure <a href="http://pepquimic.wordpress.com/2011/04/20/bohr-i-heisenberg-es-troben-a-la-copenhaguenblanenca/">4 ratlles</a> de l'obra de teatre <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Copenhagen_(play)">Copenhagen</a>, gràcies a elles aquest dissabte la vaig poder gaudir a Tarragona. Els actors que van interpretar els 3 personatges ho van fer magistralment (tot i la infinitat de noms de físics alemanys que havien d'anar recitant al moment oportú) i d'aquesta manera van aconseguir traslladar al públic els dilemes que plantejava <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Heisenberg">Heisenberg</a> i les sortides que plantejava <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Niels_Bohr">Bohr</a>. Realment fa pensar, i molt.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Al principi de la segona part Heisenberg i Bohr intenten explicar una anècdota en què el jove Bohr havia disparat a un dels seus estudiants, el punt còmic és que Bohr deia que havia matat a Casimir i Heisenberg deia que <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/George_Gamow">Gamow</a> li havia dit que l'havia matat a ell. Això deixava entreveure que Niels Bohr és un personatge carregat d'anècdotes més o menys còmiques.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Per tal de conèixer-ne alguna i veure una mica més com era un gran teòric com Bohr transcriuré uns quants fragments del llibre de George Gamow <i>Biografia de la física</i>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"></div><blockquote><div style="text-align: justify;">És pràcticament impossible descriure a Niels Bohr a una persona que mai hagi treballat amb ell. Probablement la seva qualitat més característica era la seva lentitud en el pensament i la comprensió. [...] Al vespre, quan un grup de deixebles de Bohr treballaven a l'Institut Paa Blegdamsvejen discutint els últims problemes de la teoria dels quants o jugant al ping-pong a la taula de la biblioteca amb tasses de cafè en ella per fer-ho més difícil, apareixia Bohr dient que estava molt cansat i que volia fer alguna cosa. Fer alguna cosa significava anar al cine i les dues úniques pel·lícules que li agradaven eren <i>Lluita a trets en el ranxo Lazy Gee</i> o <i>El genet solitari i una mossa síoux</i>. Però era penós anar amb Bohr al cine. No podia seguir l'argument i ens preguntava constantment, amb gran enuig del públic, coses com "Es aquesta la germana del cawboy que va matar d'un tiro l'indi que intentava de robar un ramat de bestiar que pertanyia al seu cunyat??"</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">La mateixa lentitud de reacció la mostrava a les reunions científiques. Moltes vegades, un jove físic visitant (la majoria dels joves que visitaven Copenhagen eren joves) parlava brillantment dels seus càlculs sobre algun problema de física quàntica enrevessat; tothom, del públic, entenia clarament el raonament menys Bohr. Tots començàvem llavors a explicar-li la senzilla qüestió que no havia entès, i enmig del sidral tothom acabava per no entendre res. Finalment, després de força estona, Bohr començava a comprendre i resultava que el que ell havia comprès del problema presentat pel visitant era absolutament diferent al que apuntava el jove físic i la seva interpretació era la correcta mentre que la del visitant no.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'afició de Bohr pels westerns es va traduir en una teoria desconeguda per a tots tret dels seus companys de cine d'aquells temps. Tothom sap que a totes les pel·lícules de l'oest el dolent sempre dispara de segida, però l'heroi és més ràpid i sempre mata l'enemic. Niels Bohr va atribuir aquest fenomen a la diferència entre les accions deliberades i les accions condicionades. El dolent ha de decidir quan ha de desenfundar, fet que retarda l'acció, mentre que l'heroi dispara sense pensar just en el moment en què el dolent va a desenfundar. Tots vam discrepar de la teoria i l'endemà al matí l'autor [George Gamow] va anar a una botiga de joguines a comprar un parell de pistoles de cawboy. Nosaltres disparàvem a Bohr, que feia d'heroi, però ens va matar a tots.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Un altre exemple de la lentitud de pensament de Bohr era la seva poca habilitat per trobar una solució ràpida als mots encreuats. Una tarda, l'autor [Gamow] va anar a la casa de camp de Bohr a Tisvileleje (al nord de Jutlàndia), on Bohr havia estat treballant tot el dia amb el seu ajudant, León Rosenfeld (de Bèlgica), en un important treball sobre les relacions d'indeterminació. Els dos estaven exhausts per la feina feta i, després de sopar, Bohr va indicar que per descansar farien uns mots encreuats d'alguna revista anglesa. La cosa no va anar massa bé i, una hora més tard, Fru Bohr (fru és la dona en danès) va suggerir que seria millor anar tots a dormir. Qui sap quina hora era que Rosenfeld i jo, que compartíem l'habitació dels convidats, vam ser despertats per uns cops a la porta. Val saltar del llit preguntant "Qui hi ha?? Què passa?". Llavors vam sentir una veu apagada a través de la porta "Soc jo, Bohr. No vull pertorbar-vos, però vull dir-vos que la ciutat industrial anglèsa amb set lletres, que acaba per ich, és Ipswich".</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Una vegada, ja era tard, a la nit (cap a les onze segons els rellotges de Copenhagen), l'autor tornava amb Bohr, Fru Bohr i un físic holandès, Cas Casimir, d'un sopar a casa d'un membre de l'institut de Bohr. Casimir era un expert escalador de façanes a qui moltes vegades es podia veure a la biblioteca de l'Institut enfilat a dalt de tot de les estanteries amb un llibre a les mans i les cames estirades. Anàvem per un carrer desert i vam passar pel costat de l'edifici d'un banc. La façana del banc, formada per grans blocs de ciment, va cridar l'atenció a Casimir i n'escalà 2 pisos. Quan va ser a terra, Bohr va voler igualar la gesta i pujar lentament per la façana. Una mica confosos, Fru Bohr, Casimir i jo, estàvem a sota observant la lenta ascensió de Bohr per la paret. En aquell moment, dos guàrdies de la ronda de nit es van aproximar ràpidament per darrere, disposats a l'acció. Van mirar a Bohr, que penjava entre el primer i el segon pis i un d'ells va dir "Oh, no és més que el professor Bohr" i ja completament tranquils van reprendre la ronda nocturna.</div><div style="text-align: justify;"></div></blockquote><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I aquest és el gran teòric i un dels pares de la física quàntica.</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-90195349756791373362011-06-08T19:23:00.005+02:002011-06-09T23:42:51.856+02:00Reobrim per vacances<div style="text-align: justify;">Després d'una bona temporada completament absent de la blogsfera l'Alasanid torna a córrer per aquests indrets. Fins i tot m'he trobat que el LaTeX ha tocat el dos i només queden els $ que acompanyen les expressions. Miraré d'arreglar-ho però no prometo res.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Aquest estiu procuraré d'anar omplint aquest espai amb Ig Nobels, experiments, pseudociència, alguna anècdota i una mica de física. A veure si puc animar això una mica que està ben mort.</div><div><br /></div><div><iframe width="480" height="390" src="http://www.youtube.com/embed/Ee76rXe3CRk?rel=0" frameborder="0" allowfullscreen=""></iframe><br /><br /></div><div><br /></div><div>Fins ara!!</div><div><br /></div><div>latex arreglat </div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-54579073094834528352011-04-12T23:16:00.005+02:002011-04-12T23:24:26.676+02:00First OrbitFa mesos que no penjo res i cada cop escric el mateix. Tinc idees però vaig just de temps. Ara penjo un video que evoca un dels grans moments de la Cursa Espacial. <b>El primer vol</b>.<br /><br /><iframe title="YouTube video player" width="470" height="286" src="http://www.youtube.com/embed/RKs6ikmrLgg" frameborder="0" allowfullscreen=""></iframe><br /><br />Perquè va ser increïble enviar-lo i, a més a més, fer-lo baixar. Felicitats YuriAlasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-5568499088995101702011-01-10T09:00:00.012+01:002011-06-08T12:49:19.040+02:00Fes el teu fractal de Newton<div style="text-align: justify;">Les imatges dels fractals de Newton de <a href="http://alasanid.blogspot.com/2011/01/fractals-i-metode-de-newton.html">l'entrada passada</a> els vaig fer amb el <a href="http://www.wolfram.com/">Mathematica</a>. Ara bé, hi ha mètodes alternatius que són més ràpids, i còmodes de fer anar. L'únic inconvenient que té és que s'ha d'introduir la derivada a mà.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El mètode alternatiu implica el programa <a href="http://www.ultrafractal.com/">Ultra Fractal 5</a>. Aquest és un programa que cal comprar o intal·lar-ne una versió de prova. La meva recomanació és que instal·leu la versió de prova ja que quan acaba el termini es pot seguir utilitzant. L'únic problema és que té inhabilitades algunes opcions de renderització i que deixa marques d'aigua a les exportacions d'imatges. Tanmateix és el programa ideal per jugar amb el pla complex.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si us decidiu per intal·lar el programa podreu navegar pels conjunts de Julia i Mandelbrot i crear-vos els conjunts de Newton que vulgueu. I no només navegar ja que podreu jugar amb les opcions de coloració dels fractals, capes de colors, etc. Amb ell surt la vena artística de la gent de ciències!!</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Acabada la publicitat (ara és quan aquella gent m'hauria de donar una llicència gratuïta pel programa) toca començar a fer fractals.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si teniu ja el programa (i després d'obrir-lo i explorar el conjunt de Mandelbrot) es pot provar de fer fractals de Newton. Per a fer-ho només cal seguir les instruccions següents.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">1.- Aneu a <b>File</b>, <b>New</b>, <b>Fractal Formula File</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">2.- Entreu a <b>Insert</b>, <b>New Formula..</b></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">3.- Introduïu el nom de l'arxiu "Newton", per exemple. Després d'accepta apareix un text base amb comentaris. Ara només caldrà donar algunes instruccions bàsiques.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">4.- A l'apartat <b>init:</b> s'ha d'introduir la intrucció <b>z=#pixel</b>. Això dóna a la variable z el valor del píxel en què es troba (punt inicial pel mètode de Newton).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">5.- A l'apartat <b>loop:</b> s'ha d'introduir l'expressió del mètode de Newton per exemple <b>z=z-(z^3+2*z^2+z+1)/(3*z^2+4*z+1)</b>. Això generarà el fractal de Newton corresponent a la funció $f(z)=z^3+2*z^2+z+1$.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">6.- A l'apartat <b>bailout:</b> s'hi ha d'introduir la condició que atura el loop:. En el nostre cas volem que deixi de calcular quan f(z) sigui proper a zero. <b>|x^3+2*z^2+z+1|>0.005</b> farà que el mètode deixi d'aplicar-se quan f(z) sigui més petita que 0.005.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">7.- Ara només cal guardar la fórmula <b>File</b>, <b>Save as</b>, <b>Formulas</b>, <b>My Formulas</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">8.- Per obrir el fractal <b>File</b>, <b>New</b>, <b>Fractal</b>, <b>My Formulas</b>, <b>Newton.ufm</b>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">9.- I a explorar!</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">En un dels comentaris de l'article anterior en Sheldon va preguntar cap a on convergia cada punt ja que els dibuixos els vaig fer en funció de la velocitat de convergència. He estat explorant l'Ultra Fractal i aquí ve el resultat. Les zones estan pintades en funció de la solució a la que convergeixen.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Per la funció $f(z)=z^3+2z^2+z+1$ teníem clarament 3 zones de convergència i una frontera fractal, per tant obtenim aquestes figures:</div><div style="text-align: justify;"><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjC7IgPvBQXa_HFcnHzwsUVbYbQU-NLF_jIBmKkWm6TuqtKUYgfD6TlSkX7GRCRyFyoX_miM8lSBT0cAA8ScN20Gd76nkUhlX_kp5Wvg3BIYSxwYUIcV5tN11VAz7NRDjHUqLUcmP-jrKw/s1600/x3.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 240px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjC7IgPvBQXa_HFcnHzwsUVbYbQU-NLF_jIBmKkWm6TuqtKUYgfD6TlSkX7GRCRyFyoX_miM8lSBT0cAA8ScN20Gd76nkUhlX_kp5Wvg3BIYSxwYUIcV5tN11VAz7NRDjHUqLUcmP-jrKw/s320/x3.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560148999638819874" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifmDmjjJ08hmKb7932a7KZf6SqmBr4i6mQZQK9JrLVrz-P9Tk1-bjGguBCeKpm6HMUV3hGjZGDLMUXKjaufIGHnKU9w964oa4lOn8P7kXfu0vR8jDnzh_s7ico6yUakjC2uo7P6bS_qU8/s1600/x32.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 240px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifmDmjjJ08hmKb7932a7KZf6SqmBr4i6mQZQK9JrLVrz-P9Tk1-bjGguBCeKpm6HMUV3hGjZGDLMUXKjaufIGHnKU9w964oa4lOn8P7kXfu0vR8jDnzh_s7ico6yUakjC2uo7P6bS_qU8/s320/x32.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560149107649190466" /></a><br /></div><div style="text-align: justify;">Per $f(z)=z^3+2z^2+\sqrt{z}+1$:</div><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0txVsZ9UOZppE50hCPF20kWuVX-YQjryYj_7Xw9xseJhPH2gavbK5iq_m9VqkcPDonI0s1VyPVZNuvjdI0nDslFloA4OIYFc-ez_761aOcvJDmfPEJykr_Gurxm3AUjv3h3CQD2a3rIw/s1600/arrel.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 239px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi0txVsZ9UOZppE50hCPF20kWuVX-YQjryYj_7Xw9xseJhPH2gavbK5iq_m9VqkcPDonI0s1VyPVZNuvjdI0nDslFloA4OIYFc-ez_761aOcvJDmfPEJykr_Gurxm3AUjv3h3CQD2a3rIw/s320/arrel.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560149276582621186" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS-e89YfVBQawuTQbh1kZksPrhYt06yqA6DjgpoQa5LNc9PCvgwLWtIlJZtg-NoRqCfWnKDmFuQQdR7yEb8kuuEkGQfJbMcGQR2oyXShyWNiclAefGyaRTi9M3LORdku2SNvhpoSgLinU/s1600/arrel2.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 239px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiS-e89YfVBQawuTQbh1kZksPrhYt06yqA6DjgpoQa5LNc9PCvgwLWtIlJZtg-NoRqCfWnKDmFuQQdR7yEb8kuuEkGQfJbMcGQR2oyXShyWNiclAefGyaRTi9M3LORdku2SNvhpoSgLinU/s320/arrel2.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560149194211013378" /></a><br /><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I per $f(z)=z^3+2z^2+ln(z)+1$:</div><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf9ry3BCxl7FKHl-zxfUpWXSR8dhRN3tYi57stzEifxQ20qV12I3O5MmmXRIysCUNwdll_IRD2wwQh88oMkebARzAGMSoGlphI2yNTUvk4Lbs7iRYLt0JF7OHN_MxR0U3yDaN5JChDc5M/s1600/log.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 240px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjf9ry3BCxl7FKHl-zxfUpWXSR8dhRN3tYi57stzEifxQ20qV12I3O5MmmXRIysCUNwdll_IRD2wwQh88oMkebARzAGMSoGlphI2yNTUvk4Lbs7iRYLt0JF7OHN_MxR0U3yDaN5JChDc5M/s320/log.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560149499858540690" /></a><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEillUajHt88rmOXncfN9fnpLt5AQvENLXVW56onKua7fbAP17MWG0_QF2uaPiOcJhW-8AydLaVaiZ_0KrVk0eGsue55cgPVArX5Or-dMCArjqfs9H0uL2e9VfQYNyq5CXkRRogQbpKLrkA/s1600/log2.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 239px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEillUajHt88rmOXncfN9fnpLt5AQvENLXVW56onKua7fbAP17MWG0_QF2uaPiOcJhW-8AydLaVaiZ_0KrVk0eGsue55cgPVArX5Or-dMCArjqfs9H0uL2e9VfQYNyq5CXkRRogQbpKLrkA/s320/log2.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560149401918862018" /></a><br /><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I ara un dibuix fet amb $f(z)=z^3+2z^2+tan(z)+1$:</div><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg45dteMt78CxrXirq0SssV6e4HRBtRBU5Sqd1JfKRjtaYzf1nAQi-A_izGTMC-sMHzSH1-f5jK0ANiu4QlQd8eCKQE5KcXKmmQhCeQWg-cSDnY80GhxNWsp_5aon7aXafbi7jsQQdNBGg/s1600/tan.png" onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 239px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg45dteMt78CxrXirq0SssV6e4HRBtRBU5Sqd1JfKRjtaYzf1nAQi-A_izGTMC-sMHzSH1-f5jK0ANiu4QlQd8eCKQE5KcXKmmQhCeQWg-cSDnY80GhxNWsp_5aon7aXafbi7jsQQdNBGg/s320/tan.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5560149604735314946" /></a>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com5tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-13865699628218371102011-01-07T13:00:00.001+01:002011-01-07T13:06:02.276+01:00Fractals i mètode de Newton<div style="text-align: justify;"><a href="http://alasanid.blogspot.com/2011/01/el-metode-de-newton.html">En l'entrada anterior</a> vaig parlar del mètode de Newton per tal de trobar zeros de funcions i resoldre equacions. Com a exemple vaig trobar la solució real de $x^3+2x^2+x+1=0$. A més a més, vaig comentar que n'hi havia dues més i que eren complexes. Per tant, el més raonable és ficar-se a treballar amb els nombres complexos.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Per tenir una idea aproximada d'on es troben les solucions he anat avaluant la funció polinòmica en diferents punts del pla complex (propers a l'origen) i he pintat cada punt depenent del valor del seu mòdul. Els punts més foscos es corresponen als valors més alts. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimvQtOrPFXAviEGrFlFmiXWN6rSgxj7K_6-uaD-ZauAo7f64MYBI4UGLFOPlDYFhgvadZVvrRDRrOKNTigYXVnL85pR92F-F_TS-pNj0_zPeq6SOTjDu81DY95lgU5NweAo4ulbp034kw/s1600/zerosx3.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 319px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimvQtOrPFXAviEGrFlFmiXWN6rSgxj7K_6-uaD-ZauAo7f64MYBI4UGLFOPlDYFhgvadZVvrRDRrOKNTigYXVnL85pR92F-F_TS-pNj0_zPeq6SOTjDu81DY95lgU5NweAo4ulbp034kw/s320/zerosx3.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5558792863330668610" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Els tres zeros es corresponen a les zones blanques i són $x_1=-1.755$ (a l'esquerra), $x_2=-0.123+0.745i$ (a la part superior) i $x_3=-0.123-0.745i$ (a la part inferior). Fins aquí l'únic que s'ha hagut de fer és fer ús del mètode de Newton. El mètode de Newton necessita un punt d'inici, cap a quina solució anem depenent d'aquest punt? O són tots els punts igual de bons??</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El que he fet a continuació és anar aplicant el mètode de Newton a diferents punts del pla complex i pintar-los en funció del nombre d'iteracions que necessiten per convergir a una solució.</div><div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbLaaE_GJxZC316vpyDeAw_hD8vtknfDRhjuYUcLJDufNKr5P2Nh3ys_jjfcMKCrM1MZ-MUleyfrXRUXunh3bEogkoxx0sLzRu3fNSd9TzbIyTJ5dyZ2PpaH9VBDmC1YroztQbDdln-VA/s1600/x3.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 319px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgbLaaE_GJxZC316vpyDeAw_hD8vtknfDRhjuYUcLJDufNKr5P2Nh3ys_jjfcMKCrM1MZ-MUleyfrXRUXunh3bEogkoxx0sLzRu3fNSd9TzbIyTJ5dyZ2PpaH9VBDmC1YroztQbDdln-VA/s320/x3.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5558795861966000802" /></a><div style="text-align: justify;">Pintades de colors més foscos (lila) es mostren les zones per les quals la convergència és més ràpida. Com era d'esperar el pla queda clarament dividit en 3 regions els punts de les quals convergeixen cap a cada un dels zeros. El més interessant, però, és la frontera! Si ampliem una mica la imatge a prop de la frontera que separa les arrels imaginàries ens trobem amb formes molt curioses:</div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwn6mUljg_xfOlBKsjEVS0Dja17ok0tPRfKMN9SWzTFvKn6B3Je3_XG5cLBjW5uX1U5v5BL4TTmtYU9WTR5m5W8OBPYrg4FPFBCfNT-zzG-Km8tJdou-nCku_CLuTh0xuNuhD3O4bBPec/s1600/x32.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 133px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwn6mUljg_xfOlBKsjEVS0Dja17ok0tPRfKMN9SWzTFvKn6B3Je3_XG5cLBjW5uX1U5v5BL4TTmtYU9WTR5m5W8OBPYrg4FPFBCfNT-zzG-Km8tJdou-nCku_CLuTh0xuNuhD3O4bBPec/s320/x32.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5558797261499838466" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicxQVYw8lX9ATPY2LtTnP1Gfxum7bOqdi7GwzTVQmxzSFJhz5r4uldM4lM8K8Lkc76AmX0jmR33095JtgucmFIDw1nYtGxor2nzMp69S_Wg3LbWJMWMbEEyPukadELSMVj8YLmHr_M6zk/s1600/x33.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 131px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicxQVYw8lX9ATPY2LtTnP1Gfxum7bOqdi7GwzTVQmxzSFJhz5r4uldM4lM8K8Lkc76AmX0jmR33095JtgucmFIDw1nYtGxor2nzMp69S_Wg3LbWJMWMbEEyPukadELSMVj8YLmHr_M6zk/s320/x33.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5558797357709903650" /></a><div style="text-align: justify;">Podem apreciar l'autosimilitud que caracteritza moltes estructures fractals. Aquestes figures es coneixen com els <a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Newton_fractal"><b>fractals de Newton</b></a>. Ara doncs, l'únic que fa falta és trobar una equació i provar de resoldre-la.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'equació $sin(x)+x=0$ només té un zero real ($x=0$). Ara bé el sinus d'un nombre complex pot prendre valors més grans que 1 (cosa que no passa amb els reals). Si es representa el valor de la funció per a diferents punts del pla podem veure el zero real i els zeros complexos (sempre aparellats amb el seu complex conjugat):</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-EGbOhXipiSHybZ-1gXRK3tCRqsWPAm4rFASHAe-xyAqQzTs4wvIYVPezUL2y1IyM56uKnx2aVqqZPTeB0s_ZUwTe1d6ugxDNao73ulHxRLKjU36iIG1IthV7hutGY7avfG5ryJTJpDw/s1600/sinusx0.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 121px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-EGbOhXipiSHybZ-1gXRK3tCRqsWPAm4rFASHAe-xyAqQzTs4wvIYVPezUL2y1IyM56uKnx2aVqqZPTeB0s_ZUwTe1d6ugxDNao73ulHxRLKjU36iIG1IthV7hutGY7avfG5ryJTJpDw/s320/sinusx0.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559020805161394850" /></a><div style="text-align: justify;">Els primers 4 zeros complexos es troben a $x_1=4.212+2.251i$, $x_2= 4.212-2.251i$, $x_3=-4.212+2.251i$ i $x_4=-4.212-2.251i$. Un cop localitzats els zeros pintem els punts en funció de la convergència a les arrels i ampliem algunes zones.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjr-DMOOZAfBnG5A2v7C5c0LQPBQGRaJ9yvSf8A-cxxdsH0ag9Aj8KvwDJ8DgXFWUgVrvH8w-8REW9j3XC0-MDqNvx0lYb8OdgXfkcznwaa5vXPUQwTxqnAtr0KoRhvQtskoOlfM2K1sCc/s1600/sin1.jpg"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 152px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjr-DMOOZAfBnG5A2v7C5c0LQPBQGRaJ9yvSf8A-cxxdsH0ag9Aj8KvwDJ8DgXFWUgVrvH8w-8REW9j3XC0-MDqNvx0lYb8OdgXfkcznwaa5vXPUQwTxqnAtr0KoRhvQtskoOlfM2K1sCc/s320/sin1.jpg" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559022179094205298" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_HLcBGMiz9y-CH-3J9I9jA41miC76DDtcMGn0DEGMCBzck674aqKyd_dKU0TqfABsIlv-__SuTzCvx342CRZLHP4V94vFUAOjO_L_TTMJrcuf5OM36eRh-YxybZtdORdTpdqfDVu04q8/s1600/sin3.jpg"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 268px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_HLcBGMiz9y-CH-3J9I9jA41miC76DDtcMGn0DEGMCBzck674aqKyd_dKU0TqfABsIlv-__SuTzCvx342CRZLHP4V94vFUAOjO_L_TTMJrcuf5OM36eRh-YxybZtdORdTpdqfDVu04q8/s320/sin3.jpg" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559022661485551410" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKDqqce-4KJmQaz1BW3HsvNZNjnkxI7p-FYcXlUT8cHafNXDXLr7_W4IujCoexHlauqGJAFZ4TLOEq_GozXZ7JUt-AN9Pg2ZAW1AO2k6OIz0ADeKtGrN3qdV6mY_GHxseDAlVbvTIu1hs/s1600/sin4.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 258px; height: 320px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKDqqce-4KJmQaz1BW3HsvNZNjnkxI7p-FYcXlUT8cHafNXDXLr7_W4IujCoexHlauqGJAFZ4TLOEq_GozXZ7JUt-AN9Pg2ZAW1AO2k6OIz0ADeKtGrN3qdV6mY_GHxseDAlVbvTIu1hs/s320/sin4.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559022748374928898" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si canviem la funció per $f(x)=sin(x)+x^2$ obtenim altres estructures:</div><div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJmAtk3WQiJVpYbFVin875MaiTJFM4z-KGid_6fkRdtakelf_uPpKRStG0bf9OZaV80ja_Jj-zearkp5iz904BtK2rShz6TdHjN0JKztC8hTGmpvmM1ECjXk3F9PZYdIHBTNq1RmhQ4wY/s1600/sinx2.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 262px; height: 320px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJmAtk3WQiJVpYbFVin875MaiTJFM4z-KGid_6fkRdtakelf_uPpKRStG0bf9OZaV80ja_Jj-zearkp5iz904BtK2rShz6TdHjN0JKztC8hTGmpvmM1ECjXk3F9PZYdIHBTNq1RmhQ4wY/s320/sinx2.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559027986418856130" /></a><div style="text-align: justify;">Si ens fixem amb funcions més complicades com les arrels quadrades i els logaritmes podem trobar-nos amb estructures més problemàtiques. Per exemple, si a l'equació inicial de tercer grau substituïm la $x$ per $\sqrt{x}$ obtenim una nova funció $f(x)=x^3+2x^2+\sqrt{x}+1$ que porta a un fractal de Newton molt diferent.</div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqgFw71NYIRRyFNn_bcttUwcTCvFYCt-4bwVqnHyKqVzrZbYewwTzztiRKZU0BULGo35ehBisiucIabX0uoY92mb3S3vqW5JlR2yUZpUWtVvo1HL2wUXjWpYDV7pw8pWWcFGIe_BukIP4/s1600/arrel2.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 268px; height: 320px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqgFw71NYIRRyFNn_bcttUwcTCvFYCt-4bwVqnHyKqVzrZbYewwTzztiRKZU0BULGo35ehBisiucIabX0uoY92mb3S3vqW5JlR2yUZpUWtVvo1HL2wUXjWpYDV7pw8pWWcFGIe_BukIP4/s320/arrel2.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559029361996856082" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPJ1L3pP1afhBliCtTvzTF4XBiExYgJFbc4Rt7r0dpVdkHQqg4ILu5_Dk6r_WufSreePRSc29jCbpxX5rYJhXCNt_lGKrGbM-aYfbgCweKn-4dWvFLi2P1bRiKAyT-LzXm16neZy8_Tr4/s1600/arrel.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 131px; height: 320px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiPJ1L3pP1afhBliCtTvzTF4XBiExYgJFbc4Rt7r0dpVdkHQqg4ILu5_Dk6r_WufSreePRSc29jCbpxX5rYJhXCNt_lGKrGbM-aYfbgCweKn-4dWvFLi2P1bRiKAyT-LzXm16neZy8_Tr4/s320/arrel.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559029697979662690" /></a><div style="text-align: justify;">I fent $f(x)=x^3+2x^2+ln(x)+1$ obtenim aquestes figures:</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR236QDLS2p548Vidbsd5TpH2iG0-v_JBrUGVnUOZjQMN37gkFJZ2OhHP-Ntl82xej8p0gK_LVwjE0mxL7whIzL7tgRyXdSHmbg8pAPef5xA9UmEzTutKfQjB7l47saNfrWrOczVsXuyo/s1600/log.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 136px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhR236QDLS2p548Vidbsd5TpH2iG0-v_JBrUGVnUOZjQMN37gkFJZ2OhHP-Ntl82xej8p0gK_LVwjE0mxL7whIzL7tgRyXdSHmbg8pAPef5xA9UmEzTutKfQjB7l47saNfrWrOczVsXuyo/s320/log.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559050169222789234" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoKqOe1etLA0fcyQ6pZRaledxCRUeryBxGQTZH3nss0wo8IMCaKs2ZNA_pQhTDuoQRSAq73dFf6QDWQkX-uXq2Q2457AFMnaJHADHs-MrYWoUeqbv5K0TL3AMX0vfoDI_2QndscUuEHcc/s1600/log2.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 319px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoKqOe1etLA0fcyQ6pZRaledxCRUeryBxGQTZH3nss0wo8IMCaKs2ZNA_pQhTDuoQRSAq73dFf6QDWQkX-uXq2Q2457AFMnaJHADHs-MrYWoUeqbv5K0TL3AMX0vfoDI_2QndscUuEHcc/s320/log2.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559050234955608066" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtbRlhxKk6Q-DTzORpnOjGJYLOLgvOdmebaoy-Suv2f_kEbY2FueKmg8KEwRNPk178vcCj2mmoM5dhNcQ60cXty9Z8kzb2XfFkUcdwZV3cmGbYPxhEdBdbx9wkPo8qYVmHiQ1RXELA8eE/s1600/log3.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 197px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhtbRlhxKk6Q-DTzORpnOjGJYLOLgvOdmebaoy-Suv2f_kEbY2FueKmg8KEwRNPk178vcCj2mmoM5dhNcQ60cXty9Z8kzb2XfFkUcdwZV3cmGbYPxhEdBdbx9wkPo8qYVmHiQ1RXELA8eE/s320/log3.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559050601899505506" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8UVY9xDhyphenhyphenytr1N3859k78aai9WOJoDxAy63ueraQZoEVhAxL_FeXlM1poDhkYt9hWUqsSThJQbtpCLkLUsPwxLKB_ByIitf5lmmH8vgcLaMl6YuDtB0M0vw1REXnRDuBhKKpxMWddmxg/s1600/log4.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 174px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8UVY9xDhyphenhyphenytr1N3859k78aai9WOJoDxAy63ueraQZoEVhAxL_FeXlM1poDhkYt9hWUqsSThJQbtpCLkLUsPwxLKB_ByIitf5lmmH8vgcLaMl6YuDtB0M0vw1REXnRDuBhKKpxMWddmxg/s320/log4.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559050546860118594" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCPAndNOFUTuJonXOtNh4Pw1j4G9pGxuetXmmWmf8R0VdUp-lmJt-eSMqeasKwPhb7kwVvmoW4qOuJhZt5Pq65vnR1JWo_KKVNjDezXK2h-JaRapAs-7pnUD8jYQCMka5vN9_ayo_U6l0/s1600/log5.png"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 310px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCPAndNOFUTuJonXOtNh4Pw1j4G9pGxuetXmmWmf8R0VdUp-lmJt-eSMqeasKwPhb7kwVvmoW4qOuJhZt5Pq65vnR1JWo_KKVNjDezXK2h-JaRapAs-7pnUD8jYQCMka5vN9_ayo_U6l0/s320/log5.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5559050473457644722" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Ara només és qüestió de trobar funcions interessants i anar-les representant. I encara hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides!! És una llàstima que les matemàtiques les pugui gaudir tan poca gent...</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com4tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-18284799734384450402011-01-04T18:00:00.007+01:002011-01-11T15:46:55.199+01:00El mètode de NewtonUn dels capítols importants de les matemàtiques als instituts és la resolució d'equacions. Allà s'ensenyen <a href="http://upload.wikimedia.org/math/8/c/5/8c58ae2d322a33f3036800d96db0e91a.png">fórmules</a> per poder arribar a resoldre equacions de segon grau del tipus $ax^2+bx+c=0$.<div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si un es fica a inventar-se equacions veu que de seguida passen a ser més complicades de fer. Per exemple, per una equació de tercer grau la fórmula ja és <a href="http://upload.wikimedia.org/math/7/f/1/7f19af779a9bea4db300039405693001.png">espantosa</a>. Com que recordar aquests desenvolupaments (o saber-los deduir) és feixuc els matemàtics han buscat i trobat camins alternatius.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El que ens interessa és trobar el que s'anomenen zeros d'una funció. Es a dir els valors de $x$ pels que la funció s'anul·la ($f(x)=0$) aquesta és la nostra equació). Per fer això hi ha mètodes força elementals (anar provant valors (més o menys com la loteria de Nadal)) i d'altres de més refinats com el de Newton-Raphson (també anomenat de la tangent).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">El mètode de Newton necessita una funció $f(x)$ (que descriu una corba en el pla) i un valor qualsevol $x_1$. El que hem de fer és trobar la recta tangent a la corba en $x_1$ i mirar on talla l'eix de les x: aquest punt de tall serà el valor $x_2$. Amb el segon valor de x hem de fer el que hem fet amb $x_1$ per tal de trobar punt $x_3$. I així successivament.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'expressió que es fa servir per calcular el punt de tall amb l'eix de les x és la següent:</div><div style="text-align: center;">$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f\prime(x_n)}$. </div><div style="text-align: justify;">On $f'(x_n)$ és la derivada de la funció en el punt $x_n$ (la derivada d'una funció en un punt dóna el pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt, es a dir, com de ràpid creix).</div><br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/NewtonIteration_Ani.gif"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 450px; height: 320px;" src="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e0/NewtonIteration_Ani.gif" border="0" alt="" /></a><div style="text-align: justify;">En l'animació es mostra com donada una corba se'n troba el zero. La gràcia del mètode és que és ràpid i el podem fer servir en moltes situacions.</div><div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si volem resoldre una equació de tercer grau com la següent $x^3+2x^2+x+1=0$ el primer que hem de fer és construir la funció $f(x)$ i la seva derivada:</div></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">$f(x)=x^3+2x^2+x+1$</div><div style="text-align: justify;">$f\prime(x)=3x^2+4x+1$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si representem la funció podem veure que el zero es troba al voltant de -1.8.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfDsmj1R8aYiKi2AEzjgoXRhyRG5s0_1Kg1dvS8T2VcP9fpCjIfvptbftSD28U9zY19LVzDPM8vFxESXC3Gd2WrPZAxQy3y-YJ87a_Y12LBNEY5WFMKgzN5HoiaFPHse8ESMUgwO_WixM/s1600/x3.png"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 300px; height: 185px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfDsmj1R8aYiKi2AEzjgoXRhyRG5s0_1Kg1dvS8T2VcP9fpCjIfvptbftSD28U9zY19LVzDPM8vFxESXC3Gd2WrPZAxQy3y-YJ87a_Y12LBNEY5WFMKgzN5HoiaFPHse8ESMUgwO_WixM/s320/x3.png" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5558707026597014978" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Començarem amb $x_1=2$ per veure com funciona el mètode i anirem avaluant la funció després de cada pas.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">$x_1=2$</div><div style="text-align: justify;">$f(x_1)=19$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">$x_2=1.09523$</div><div style="text-align: justify;">$f(x_2)= 5.80805$</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div style="text-align: justify; ">$x_3=0.44842$</div><div style="text-align: justify; ">$f(x_3)=1.94075$</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; "><div style="text-align: justify; ">$x_4=-0.12290$</div><div style="text-align: justify; ">$f(x_4)= 0.90545$</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; "><div style="text-align: justify; ">$x_5=-1.75814$</div><div style="text-align: justify; ">$f(x_5)= -0.0105$</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; "><div style="text-align: justify; ">$x_6=-1.75489$</div><div style="text-align: justify; ">$f(x_6)= 0.00004$</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; ">Com podem veure amb pocs passos hem obtingut un nombre que fa f(x) molt propera a 0. El punt $x_6$ és una bona aproximació de la solució de l'equació.</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; ">Tanmateix, les equacions de tercer grau tenen sempre 3 solucions tot i que poden no ser entre els nombres reals. La que tenim nosaltres només presenta un punt de tall amb l'eix x i, per tant, només té una solució real (les altres dues es troben en els nombres complexos). Per trobar les dues restants també es pot fer ús del mètode de Newton. Depenent de quin sigui el punt inicial anirem cap a zeros diferents!</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; ">Les preguntes que un sempre s'ha de fer amb els mètodes numèrics són les següents:</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; ">1.- Realment dóna el valor que volem??</div><div style="text-align: justify; ">2.- En cas de donar el valor correcte quan triga a arribar-hi?</div><div style="text-align: justify; "><br /></div><div style="text-align: justify; ">Per tal de respondre aquestes preguntes ara que disposem d'ordinadors la resposta és òbvia. Agafem una regió i anem provant diferents nombres i ens anotem els passos que fan falta per obtenir un valor determinat. Però això ja és del proper article.</div></div></div></div></div></div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-74575627824969754872010-12-25T23:00:00.000+01:002010-12-25T23:07:10.087+01:00El caminar del borratxo<div style="text-align: justify;">Ara que s'acosten les festes molta gent aprofita els dies de festa per sortir de nit i beure una mica. Un cop ben beguts succeeixen coses molt interessants i una d'elles és el <i>caminar del borratxo</i>. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><div style="text-align: justify;">Imaginem que tenim un borratxo caminant pas a pas i que com a conseqüència de la seva embriaguesa fa cada passa en una direcció aleatòria. En matemàtiques aquesta manera errant de caminar és un cas particular del que es coneix com a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Camino_aleatorio"><i>random walk</i></a> i ha estat molt estudiat durant aquest últim segle.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">D'entrada un espera que si el borratxo es mou guiat per l'atzar el pobre acabarà sempre més o menys allà on ha començat. Però he vist un exemple molt interessant que porta a pensar el contrari.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si el nostre subjecte es mou sobre una recta guiat per una moneda i avança cap a la dreta si surt cara (H) o cap a l'esquerra si surt creu (T) i llença 5 vegades la moneda pot obtenir <a href="http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/05/Flips.svg">aquests</a> moviments. Mirant totes les opcions tenim que cau una vegada a -5, una a 5, cinc vegades a 3, cinc vegades a -3 i 10 vegades a -1 i a 1.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Si en calculem el que es coneix com a <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_eficaz">valor eficaç</a> obtenim que la distància mitjana recorreguda és de l'ordre de $\sqrt{n}$ on $n$ és el nombre total de passos. Aquest resultat ens fa malpensar i en aquestes situacions el millor sempre és posar-ho a prova.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Enlloc de borratxos he fet servir un petit programa que em calcula els punts per on passa el borratxo en 3D (ara que està de moda). El punt marcat en vermell és el punt d'origen i els que estan el blau els punts per on va passant la nostra víctima. El que veiem és el resultat d'haver fer un total de 7.000 passes. I el camí és cada vegada diferent però pràcticament sempre s'allunya de l'origen aproximadament en 80 unitats de distància ($\sqrt{7000}=83.7$).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2334xEs3bMHtgI5vW7XiIC_eC68FwInVqH_z2EmhQ2fBVQO1ZL310FbemXEcUQJKEFZQgbox7HF0e671htFco5yKDyUFtMK9mr1OLWLpMjcdcwIOu8NglCOznFxonBd0QmctGYFQFrIk/s1600/randomwalk7.jpg"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 260px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2334xEs3bMHtgI5vW7XiIC_eC68FwInVqH_z2EmhQ2fBVQO1ZL310FbemXEcUQJKEFZQgbox7HF0e671htFco5yKDyUFtMK9mr1OLWLpMjcdcwIOu8NglCOznFxonBd0QmctGYFQFrIk/s320/randomwalk7.jpg" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5554593769037992322" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieBW_wPxsSIZBr8btvRHUBxr8HGhkSbS5UyDkC1wWxw4WJ2LigGGqiAEKfQJKsusRTLs3FJ7xt5Is4wLHy2cZH5ExpNLb4LmW7HRFU-UflT9dR4aWncS3k5zkvo6CRw1FMIZmdF4xpL_s/s1600/randomwalk3.jpg"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 261px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEieBW_wPxsSIZBr8btvRHUBxr8HGhkSbS5UyDkC1wWxw4WJ2LigGGqiAEKfQJKsusRTLs3FJ7xt5Is4wLHy2cZH5ExpNLb4LmW7HRFU-UflT9dR4aWncS3k5zkvo6CRw1FMIZmdF4xpL_s/s320/randomwalk3.jpg" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5554593615451478962" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWAJckNJP5x6aRm0hkFxlPCalz6lAWEeASzLXY-NJKpSpamoui4Rue2-wsj9xuOaFKkA4VW_YhvkMbxfJWZs2S0qQ-dwuBg7bNfyG4ik5okp2drVbvmuB_h5UPqzxoHPZw-ZcDKG1BA04/s1600/randomwalk2.jpg"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 262px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWAJckNJP5x6aRm0hkFxlPCalz6lAWEeASzLXY-NJKpSpamoui4Rue2-wsj9xuOaFKkA4VW_YhvkMbxfJWZs2S0qQ-dwuBg7bNfyG4ik5okp2drVbvmuB_h5UPqzxoHPZw-ZcDKG1BA04/s320/randomwalk2.jpg" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5554593390538278818" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXBw9hUOZof3KQseB3-0hKb5upDvRWPuvKo7pcR-t5kbKfMj_pZRs0868F5jIidR5Rwgiw67lTumwP2371bOtA9MDCv6GYWxnnwNAHsKTSRXyOjy0TBLyxZU5f61_52udd7fOpp8G8Hr0/s1600/randomwalk1.jpg"><img style="text-align: justify;display: block; margin-top: 0px; margin-right: auto; margin-bottom: 10px; margin-left: auto; cursor: pointer; width: 320px; height: 260px; " src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXBw9hUOZof3KQseB3-0hKb5upDvRWPuvKo7pcR-t5kbKfMj_pZRs0868F5jIidR5Rwgiw67lTumwP2371bOtA9MDCv6GYWxnnwNAHsKTSRXyOjy0TBLyxZU5f61_52udd7fOpp8G8Hr0/s320/randomwalk1.jpg" border="0" alt="" id="BLOGGER_PHOTO_ID_5554593319157290242" /></a><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I a part d'estudiar borratxos serveix per alguna cosa més?? Doncs quan anem a la petita escala passen coses molt semblants. Quan tenim grans de pol·len en aigua podem veure que descriuen un moviment erràtic que té les mateixes característiques i es que les partícules que constitueixen el fluid interaccionen amb el pol·len!! I aquest moviment (anomenat brownià) va ser descrit matemàticament l'any 1905 per un dels grans, per <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein">Albert Einstein</a>.</div></div></div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-7803658789649423392010-12-16T19:15:00.007+01:002010-12-16T20:08:51.727+01:00Humor científic<div style="text-align: justify;">De tots o pràcticament tots els aspectes de la vida se'n pot arribar a fer humor. Fer servir situacions hipotètiques per tal d'arrencar un somriure o una rialla a algú. I com no podia ser d'altra manera els científics també hi tenen un lloc.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">És un tòpic molt estès que els científics són gent massa seriosa per acceptar un bon acudit. Un altre tòpic molt estès és el <a href="http://centpeus.blogspot.com/2010/03/comics.html">del científic</a> dient que realment tenen un gran sentit de l'humor. I veient aquesta contradicció un acostuma a fer cas dels científics.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I es que per internet corren unes quantes tires còmiques amb un marcat humor científic: <a href="http://www.thescientificcartoonist.com/">The Scientific Cartoonist</a>, <a href="http://abstrusegoose.com/">Abstruse Goose</a>, <a href="http://www.xkcd.com/">XKCD</a>, <a href="http://www.phdcomics.com/">PHDComics</a>... El que passa és que per entendre'ls s'ha d'entendre o si més no conèixer la ciència que hi ha al darrere.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">D'acudits també n'hi ha moltíssims. Cada camp té els seus acudits i els seus rivals. És sabut que als matemàtics no els agraden els matemàtics aplicats ni els físics i per tant aquestes deuen ser les seves víctimes preferides. Els blancs dels acudits dels físics acostumen a ser químics i enginyers. I així anar fent.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Una altra cosa interessant són els actes públics. A dia d'avui un dels més coneguts i respectats arreu del món és la cerimònia dels <a href="http://alasanid.blogspot.com/search/label/Ig%20Nobel">Premis Ig Nobel</a> que es concedeixen a principis d'octubre a la Universitat de Harvard. I en general els qui estan contents d'anar-lo a recollir són els científics. I d'altra banda hi ha altres científics galardonats amb el Nobel que hi assisteixen regularment.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">I tot això a què ve? Doncs perquè la setmana que ve tornarem a viure una altra mostra d'aquest sentit de l'humor. </div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'any passat un grup d'estudiants de física de la UB van escriure una versió dels <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Els_Pastorets">Pastorets</a> de <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Josep_Maria_Folch_i_Torres">Folch i Torres</a>. La nova versió <i><b>L'adveniment de l'equació d'Schröginger</b></i> ens mostra les aventures d'en Lluquet i en Rovelló de camí a Zuric. I pel camí es troben amb personatges de la talla de Satanàs, Llucifer i el gran <a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Albert_Einstein">Albert Einstein</a>.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">L'obra té com a final el naixement de l'<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_de_Schr%C3%B6dinger">equació de Schrödinger</a>. Sobre el d'adveniment real d'aquesta equació hi ha tota una història, però <a href="http://www.historiasdelaciencia.com/?p=332">això ja ho van escriure fa temps</a>. Una equació que ha marcat un abans i un després en l'estudi de la matèria (a nivell microscòpic). Tot i que la que buscaven quan la van trobar era l'<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Equaci%C3%B3_de_Dirac">equació de Dirac</a> (trobada per Dirac poc després).</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div><br /></div><object width="640" height="385"><param name="movie" value="http://www.youtube.com/v/fYNwaK63GnE?fs=1&hl=en_US"><param name="allowFullScreen" value="true"><param name="allowscriptaccess" value="always"><embed src="http://www.youtube.com/v/fYNwaK63GnE?fs=1&hl=en_US" type="application/x-shockwave-flash" allowscriptaccess="always" allowfullscreen="true" width="460" height="278"></embed></object><br /><br /><div style="text-align: justify;">Com es diu al final del tràiler l'obra es representarà el dimarts dia 21 a les 13:00 i el dijous 23 a les 17:00. Ambdues representacions tindran lloc a la <a href="http://www.ub.edu/fisica/">Facultat de Física</a> i les entrades ja han sortit a la venda.</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-6630948123285487051.post-43394218684044241002010-12-03T21:30:00.004+01:002010-12-05T15:57:25.372+01:00Problemes amb les velocitatsFa gairebé dos mesos que no publico res i de ben segur que no és bo. Com que no vull que el blog acabi mort aquí teniu una entrada.<div><br /></div><div>Una cosa que sorprèn és que la gent té molt interioritzat el concepte de mitjana aritmètica. I pot portar problemes en situacions tan quotidianes com el càlcul de velocitats mitjanes.</div><div><br /></div><div>La velocitat mitjana d'un cotxe, per exemple, que recorre una distància $l$ en un temps $t$ és $v=l/t$. </div><div><br /></div><div>El problema apareix quan tenim el vehicle recorrent aquesta distància $l$ a una velocitat $v_1$ i que quan torna ho fa a $v_2$. El més normal és dir que la velocitat mitjana del viatge ha estat $\frac{v_1+v_2}{2}$. Per sort (o per desgràcia) no és així. Per fer-ho ben fet hem d'agafar el problema amb més detall i seguir la definició de la velocitat mitjana. </div><div><br /></div><div>En el nostre problema el cotxe recorre dues vegades la mateixa distància $l$. La primera vegada ho fa invertint un temps $t_1$ i la segona un temps $t_2$ de manera que la velocitat mitjana del viatge és $v=\frac{2l}{t_1+t_2}$. Però aquesta expressió no ens serveix! Nosaltres sabíem les velocitats i ara necessitem temps i distàncies. Si dividim el numerador i denominador de l'expressió anterior per la distància $l$ tindrem el resultat expressat amb les velocitats $v_1$ i $v_2$. </div><div><br /></div><div>$v=\frac{2}{t_1/l+t_2/l}=\frac{2}{1/v_1+1/v_2}$.</div><div><br /></div><div>Aquesta expressió dóna el valor de la mitjana (<a href="http://ca.wikipedia.org/wiki/Mitjana_harm%C3%B2nica">harmònica</a>) de les velocitats. Si l'expressió resulta incòmoda sempre es poden sumar les fraccions per tal d'arreglar-la i queda $v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.</div><div><br /></div><div>Si volem ficar números els podem provar. Si tenim algú que va de Barcelona a Girona a 40 km/h i torna a 120 km/h la seva velocitat no és de 80 km/h com indica la mitjana aritmètica si no que és de 60 km/h.</div><div><br /></div><div>Ara que sóc aquí aprofito per comentar un petit detall. Imaginem que al personatge que anava de Barcelona a Girona li han demanat de fer el viatge d'anada i tornada a una velocitat $v$ i que ha fet la primera part a $v_1$ quina seria la velocitat a què ha de tornar?</div><div><br /></div><div>Amb l'expressió anterior (i després d'alguns intents frustrats) podem mirar d'aillar la $v_2$.</div><div><br /></div><div>Si ho fem bé arribem a què $v_2=\frac{v_1v}{2v_1-v}$</div><div><br /></div><div>Si tenim una mica de pràctica amb les fraccions veiem que la cosa no va massa bé si la velocitat d'anada és la meitat de la velocitat total (el denominador es fa 0). En aquest gràfic es pot veure una representació de com puja la velocitat de tornada a mesura a mesura que creix la velocitat $v$ que hem d'assolir en total. Es pot veure que a 2 la cosa peta ja que està tot expressat en proporció a $v_1$. <br /><a onblur="try {parent.deselectBloggerImageGracefully();} catch(e) {}" href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJa5DVvXyWywln93W0zAOwXlHDs59tR_4mExZq19H0J6GU0NHJOFHG1NjNz3s5LH25dOKhIATShMUgPwDzr1sGZGelzvdFG0B40Wq7TBR6PEbKQ4czOWE1Z6KxQlxrx8gtBIw5PkeDN3A/s1600/velocitat.JPG"><img style="display:block; margin:0px auto 10px; text-align:center;cursor:pointer; cursor:hand;width: 320px; height: 203px;" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhJa5DVvXyWywln93W0zAOwXlHDs59tR_4mExZq19H0J6GU0NHJOFHG1NjNz3s5LH25dOKhIATShMUgPwDzr1sGZGelzvdFG0B40Wq7TBR6PEbKQ4czOWE1Z6KxQlxrx8gtBIw5PkeDN3A/s320/velocitat.JPG" border="0" alt=""id="BLOGGER_PHOTO_ID_5547212331511731218" /></a><br /></div><div>De manera que si ens diuen que ha pujat a 40 i la velocitat total ha estat de 80 no ens ho hem de creure de cap de les maneres.</div>Alasanidhttp://www.blogger.com/profile/05437985716878983513noreply@blogger.com0