dijous, 28 d’agost de 2014

El que no va voler fer Bohr

Aquesta setmana la Laia ha publicat un parell d'articles que m'han agradat molt. En el primer es plantejava un experiment per a fer entre Barcelona i la Pica d'Estats i en el segon duia a terme l'experiment. Felicitats pels 3000!!

Aquest experiment m'ha fet venir al cap un d'aquells mites que corren entre els físics. Un mite que parla d'un jove amb un baròmetre i la missió de mesurar un edifici d'una certa alçada. 

A la pregunta d'examen l'alumne va respondre que era molt fàcil. Només s'havia de lligar una corda al baròmetre i deixar-lo anar de mica en mica fins al terra. La longitud de la corda més la del baròmetre serien ni més ni menys que l'alçada total de l'edifici.

Des de dalt estant deixava caure el baròmetre i cronometrava el temps de caiguda. D'aquesta manera era capaç de mesurar-ne l'alçada. El professor, mosquejat perquè la resposta, tot i que correcta, no responia la pregunta amb les eines de l'assignatura va demanar a l'alumne que repetís la qüestió.

Al segon intent l'alumne va ser encara més subtil i va plantejar nous mètodes. Podia mesurar l'alçada del baròmetre i, mentre pujava les escales des de la planta baixa, anar comptant el número de baròmetres que feia l'edifici. El professor encara més indignat.

Al tercer intent l'alumne respon que és molt fàcil. Es lliga el baròmetre amb un fil i es fa oscil·lar. D'aquesta manera es pot calcular el període d'oscil·lació. Un cop a dalt de l'edifici es repeteix l'experiment. Com que el període d'oscil·lació només depèn de l'acceleració de la gravetat i de la longitud del pèndol, es pot extreure quina es la diferència en la força de la gravetat al carrer i al terrat de l'edifici, d'aqui és trivial extreure'n l'alçada. Això és el que en física es coneix com a matar mosques a canonades, o simplement veure qui la té més grossa.

Al quart intent l'alumne va un pas més lluny i diu que oferiria el baròmetre com a moneda de canvi al porter de l'edifici a canvi de saber-ne l'alçada.

Aquesta història acaba amb l'alumne dient que també es podia fer  de la manera que el professor s'esperava la resposta, però que era massa òbvia. I al final es revela que l'alumne és ni més ni menys que Neils Bohr, un dels gegants. Un dels qui va demostrar tenir molta pólvora i artilleria i tenir-la ben gran. Tot i fer contribucions en temes nuclears i treballar amb coses petites tota la vida.

Doncs això.. Que la història de la Laia em recorda al mite que he explicat perquè d'això tractava el mètode que l'alumne es nega a aplicar.

La idea del mètode és considerar que la pressió de l'aire varia en funció de l'alçada ja que tenim gas a dalt que, a causa de la gravetat, apreta cap a terra. Si sabem com la pressió depèn de l'alçada respecte del terra, amb un baròmetre podrem fer càlculs d'alçada.

Què tenim? Què què tenim?? Tenim un baròmetre. Tenim gas en un recipient. Tenim la gravetat. I tenim el Principi d'Arquímedes i la Llei dels gasos ideals. (Tenim molt més però això ho puc explicar amb una Estrella al davant :P)

Si ens imaginem un contenidor d'aire podem dir que a una certa alçada $z$ la pressió serà $p(z)$ mentre que la capa que hi ha immediatament per sobre es trobarà a una pressió, inferior, de $p(z+dz)$. En el llenguatge del càlcul diferencial la diferència entre les dues pressions $p(z+dz)-p(z)=dp$. La pressió que està fent la capa de gruix $dz$ és $\rho g dz$. Per tant, podem escriure $dp=-\rho g dz$. Amb això ja hem escrit l'equació que descriu el sistema. En aquest punt hem d'expressar la densitat de l'aire en funció de les variables que coneixem (pressió i temperatura).

Tenim aquest aire que suposem que satisfà l'equació dels gasos ideals $pV=nRT$. On $n$ són mols. En dividir pel volum a ambdós costats obtenim la densitat de mols $p=\rho_{mol}RT$. En el cas que ens interessa voldrem aquesta densitat en massa i, per l'aire de l'atmosfera, podem considerar que té una massa molecular de $M_a=30 g/mol=0.03 kg/mol$ i per tant, $p=\rho \frac{RT}{M_a}$. I finalment, $\rho=\frac{p M_A}{RT}$. Això ho introduïm a l'equació diferencial:

$$\frac{dp}{dz} = - p\frac{g M_a}{RT}$$

I això ara es pot solucionar si suposem que la temperatura no varia amb l'alçada. (Em salto la resolució que no és important)

$$\frac{dp}{p} = -\frac{g M_a}{RT}dz \rightarrow p(z)=p(0)e^{-\frac{gM_a}{RT}z} $$


I d'aquí tindrem que el qüocient de la pressió a una alçada $h$ està relacionada amb la pressió arran de terra de la manera següent:

$$\frac{p(h)}{p(0)} = \exp\left(-\frac{gM_a}{RT}h\right) \rightarrow  h=-\frac{RT}{gM_a}\ln\frac{p(h)}{p(0)}$$

Aquí és on podríem aprofitar un experiment com el de la Laia i dir. Molt bé, ara tenim aquí el volum a Barcelona $V_B$ i aquí el de la Pica d'Estats $V_{PE}$. Volem saber $\frac{p_{PE}}{p_B}$... Amb l'equació dels gasos:  $\frac{p_{PE}}{p_B}=\frac{V_B}{V_{PE}}$. (Recordoo que estic obviant la diferència de temperatures al perfil de pressions, però podríem tenir-la en compte). Amb les dades que mencionava la Laia $p_B=1010 hPa$ i $p_{PE}=700 hPa$ obtenim:

$$ h=-\frac{8\cdot300}{10\cdot0.03}\ln\frac{700}{1010} \approx 2900 m$$

Per tant, quin error cometem?? Doncs un 6%. Certament no ho hem encertat massa... Però l'error relatiu és molt proper al que assumim al fer l'aproximació de temperatura constant (20 graus de diferència entre la ciutat i el cim respecte d'un valor de 300 K és també un 6%) Queda clar que el proper pas en el refinament es troba en l'afegir la tota aquuesta història.