dissabte, 25 de desembre de 2010

El caminar del borratxo

Ara que s'acosten les festes molta gent aprofita els dies de festa per sortir de nit i beure una mica. Un cop ben beguts succeeixen coses molt interessants i una d'elles és el caminar del borratxo.

Imaginem que tenim un borratxo caminant pas a pas i que com a conseqüència de la seva embriaguesa fa cada passa en una direcció aleatòria. En matemàtiques aquesta manera errant de caminar és un cas particular del que es coneix com a random walk i ha estat molt estudiat durant aquest últim segle.

D'entrada un espera que si el borratxo es mou guiat per l'atzar el pobre acabarà sempre més o menys allà on ha començat. Però he vist un exemple molt interessant que porta a pensar el contrari.

Si el nostre subjecte es mou sobre una recta guiat per una moneda i avança cap a la dreta si surt cara (H) o cap a l'esquerra si surt creu (T) i llença 5 vegades la moneda pot obtenir aquests moviments. Mirant totes les opcions tenim que cau una vegada a -5, una a 5, cinc vegades a 3, cinc vegades a -3 i 10 vegades a -1 i a 1.

Si en calculem el que es coneix com a valor eficaç obtenim que la distància mitjana recorreguda és de l'ordre de $\sqrt{n}$ on $n$ és el nombre total de passos. Aquest resultat ens fa malpensar i en aquestes situacions el millor sempre és posar-ho a prova.

Enlloc de borratxos he fet servir un petit programa que em calcula els punts per on passa el borratxo en 3D (ara que està de moda). El punt marcat en vermell és el punt d'origen i els que estan el blau els punts per on va passant la nostra víctima. El que veiem és el resultat d'haver fer un total de 7.000 passes. I el camí és cada vegada diferent però pràcticament sempre s'allunya de l'origen aproximadament en 80 unitats de distància ($\sqrt{7000}=83.7$).









I a part d'estudiar borratxos serveix per alguna cosa més?? Doncs quan anem a la petita escala passen coses molt semblants. Quan tenim grans de pol·len en aigua podem veure que descriuen un moviment erràtic que té les mateixes característiques i es que les partícules que constitueixen el fluid interaccionen amb el pol·len!! I aquest moviment (anomenat brownià) va ser descrit matemàticament l'any 1905 per un dels grans, per Albert Einstein.

dijous, 16 de desembre de 2010

Humor científic

De tots o pràcticament tots els aspectes de la vida se'n pot arribar a fer humor. Fer servir situacions hipotètiques per tal d'arrencar un somriure o una rialla a algú. I com no podia ser d'altra manera els científics també hi tenen un lloc.

És un tòpic molt estès que els científics són gent massa seriosa per acceptar un bon acudit. Un altre tòpic molt estès és el del científic dient que realment tenen un gran sentit de l'humor. I veient aquesta contradicció un acostuma a fer cas dels científics.

I es que per internet corren unes quantes tires còmiques amb un marcat humor científic: The Scientific Cartoonist, Abstruse Goose, XKCD, PHDComics... El que passa és que per entendre'ls s'ha d'entendre o si més no conèixer la ciència que hi ha al darrere.

D'acudits també n'hi ha moltíssims. Cada camp té els seus acudits i els seus rivals. És sabut que als matemàtics no els agraden els matemàtics aplicats ni els físics i per tant aquestes deuen ser les seves víctimes preferides. Els blancs dels acudits dels físics acostumen a ser químics i enginyers. I així anar fent.

Una altra cosa interessant són els actes públics. A dia d'avui un dels més coneguts i respectats arreu del món és la cerimònia dels Premis Ig Nobel que es concedeixen a principis d'octubre a la Universitat de Harvard. I en general els qui estan contents d'anar-lo a recollir són els científics. I d'altra banda hi ha altres científics galardonats amb el Nobel que hi assisteixen regularment.

I tot això a què ve? Doncs perquè la setmana que ve tornarem a viure una altra mostra d'aquest sentit de l'humor.

L'any passat un grup d'estudiants de física de la UB van escriure una versió dels Pastorets de Folch i Torres. La nova versió L'adveniment de l'equació d'Schröginger ens mostra les aventures d'en Lluquet i en Rovelló de camí a Zuric. I pel camí es troben amb personatges de la talla de Satanàs, Llucifer i el gran Albert Einstein.

L'obra té com a final el naixement de l'equació de Schrödinger. Sobre el d'adveniment real d'aquesta equació hi ha tota una història, però això ja ho van escriure fa temps. Una equació que ha marcat un abans i un després en l'estudi de la matèria (a nivell microscòpic). Tot i que la que buscaven quan la van trobar era l'equació de Dirac (trobada per Dirac poc després).




Com es diu al final del tràiler l'obra es representarà el dimarts dia 21 a les 13:00 i el dijous 23 a les 17:00. Ambdues representacions tindran lloc a la Facultat de Física i les entrades ja han sortit a la venda.

divendres, 3 de desembre de 2010

Problemes amb les velocitats

Fa gairebé dos mesos que no publico res i de ben segur que no és bo. Com que no vull que el blog acabi mort aquí teniu una entrada.

Una cosa que sorprèn és que la gent té molt interioritzat el concepte de mitjana aritmètica. I pot portar problemes en situacions tan quotidianes com el càlcul de velocitats mitjanes.

La velocitat mitjana d'un cotxe, per exemple, que recorre una distància $l$ en un temps $t$ és $v=l/t$.

El problema apareix quan tenim el vehicle recorrent aquesta distància $l$ a una velocitat $v_1$ i que quan torna ho fa a $v_2$. El més normal és dir que la velocitat mitjana del viatge ha estat $\frac{v_1+v_2}{2}$. Per sort (o per desgràcia) no és així. Per fer-ho ben fet hem d'agafar el problema amb més detall i seguir la definició de la velocitat mitjana.

En el nostre problema el cotxe recorre dues vegades la mateixa distància $l$. La primera vegada ho fa invertint un temps $t_1$ i la segona un temps $t_2$ de manera que la velocitat mitjana del viatge és $v=\frac{2l}{t_1+t_2}$. Però aquesta expressió no ens serveix! Nosaltres sabíem les velocitats i ara necessitem temps i distàncies. Si dividim el numerador i denominador de l'expressió anterior per la distància $l$ tindrem el resultat expressat amb les velocitats $v_1$ i $v_2$.

$v=\frac{2}{t_1/l+t_2/l}=\frac{2}{1/v_1+1/v_2}$.

Aquesta expressió dóna el valor de la mitjana (harmònica) de les velocitats. Si l'expressió resulta incòmoda sempre es poden sumar les fraccions per tal d'arreglar-la i queda $v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.

Si volem ficar números els podem provar. Si tenim algú que va de Barcelona a Girona a 40 km/h i torna a 120 km/h la seva velocitat no és de 80 km/h com indica la mitjana aritmètica si no que és de 60 km/h.

Ara que sóc aquí aprofito per comentar un petit detall. Imaginem que al personatge que anava de Barcelona a Girona li han demanat de fer el viatge d'anada i tornada a una velocitat $v$ i que ha fet la primera part a $v_1$ quina seria la velocitat a què ha de tornar?

Amb l'expressió anterior (i després d'alguns intents frustrats) podem mirar d'aillar la $v_2$.

Si ho fem bé arribem a què $v_2=\frac{v_1v}{2v_1-v}$

Si tenim una mica de pràctica amb les fraccions veiem que la cosa no va massa bé si la velocitat d'anada és la meitat de la velocitat total (el denominador es fa 0). En aquest gràfic es pot veure una representació de com puja la velocitat de tornada a mesura a mesura que creix la velocitat $v$ que hem d'assolir en total. Es pot veure que a 2 la cosa peta ja que està tot expressat en proporció a $v_1$.

De manera que si ens diuen que ha pujat a 40 i la velocitat total ha estat de 80 no ens ho hem de creure de cap de les maneres.