dimecres, 17 de juny de 2009

El Joc del Caos

De jocs n'hi ha de molts tipus, tot i que la majoria requereixen més d'un jugador, n'hi ha que amb una sola persona poden donar per moltes hores d'entreteniment.

Un d'aquests casos és el joc del caos. Un joc orientat a un sol jugador però que pot ser multijugador.

Es necessita un full de paper, un llapis, un regle, un dau i una calculadora (pels més mandrosos).

Es tracta d'agafar un full de paper i marcar-hi tres punts (si pot ser els tres vèrtex d'un triangle equilàter) i a cada un se li assignen dos números de l'1 al 6, un cop marcats es pinta un punt en qualsevol punt del paper. Ara ja tenim el "tauler" preparat.

Com es pot veure en la imatge jo m'he permès el luxe de creuar unes línies pels vèrtex perquè es pugui veure prou bé.

Comencem tirant el dau i valor que surt identifica a un dels 3 vèrtex (a cada vèrtex li hem assignat dos valors). Ara amb el regle s'ha de marcar el punt que es troba a la meitat entre el punt inicial i el vèrtex que ens ha tocat.

Ara tornem a tirar el dau i partint de l'últim punt pintat marquem el punt mig entre el punt i el vèrtex que ha determinat la tirada. I tornem a tirar el dau repetint el procés de marcar el punt mig...

I repetim i repetim...

En arribar als 10 punts ens trobem amb una cosa com aquesta, he canviat el tamany dels punts perquè aviat començaran a acumular-se. Per tant per veure millor les imatges podeu obrir-les.

Si es segueix el procés es pot arribar fins a 50 i els resultats són els següents:

Encara no s'hi veu massa cosa però i als 100?
Ara ja comença a veure's cap a on va la cosa, sembla doncs que hi ha unes zones lliures de punts, per comprovar que és així arribarem fins als 500 punts.
Ara la cosa ja es força clara, aquí hi passa alguna, els punts eviten unes àrees triangulars. Per tant, podem seguir, per exemple fins als 1000:
Més? Doncs 5000
Ara sí que es veu clarament, els punts se situen a sobre del Triangle de Sierpinski que resultaria del triangle delimitat pels tres vèrtex.

10.000 punts prenen la forma següent
I 50.000Però tot té un límit i el meu ha estat (per falta de ganes) 350.000 punts:Com que no vivim en un món matemàtic no podrem arribar mai al fractal, només en podem donar aproximacions que ens permeten de comprovar l'autosemblança a diferents escales.OUn joc curiós...

Bé, com es pot comprovar a mi em va fer mandra fer-ho sobre paper i ho vaig encarregar a l'ordinador qui molt amablement després de donar-li les ordres pertinents em va calcular els punts en fraccions de segon i després me'ls va representar.

Això ajuda a entendre perquè el món dels fractals i del caos s'han començat a desenvolupar de debò amb l'arribada dels ordinadors, fer coses d'aquestes a mà requereix petites eternitats per una sola persona.

7 comentaris:

matgala ha dit...

Oh, oh, ostres!!!

No coneixia aquest "joc". M'ha encantat. És genial!!! Quan he vist la imatge dels 500 m'he emocionat i tot!!! Però més endavant, encara més!!!

Ostres! Ho he de provar! N'hi ha més? D'on ho has tret? Algun llibre que segur que m'agradarà llegir?

Molt xul.lo!!!

Per cert, el gnuplot va de conya :-D

McAbeu ha dit...

Un caos força organitzat, no?

I, podries passar-nos el software del joc que si ho he de fer a ma no em veig en cor d'arribar ni al centenar de punts. ;-)

matgala ha dit...

Al cotxe pensava en qüestions de convergència... Estic fatal :-D

Tu has començat amb un punt fora del triangle, més enllà de la línia lila. Està clar que, en el moment en què el "dau" et doni un 1, el punt entrarà al triangle i ja no en sortirà mai.

L'altra pregunta que em ve al cap és: què passa si comences en un dels punts "blancs" del final? Quantes iteracions triga, en mitjana, en entrar en la zona "vermella"? Un cop entra en un punt de la zona vermella, ja no en surt mai, no? Hi ha zones vermelles amb més densitat de punts que altres? Si s'esborren, per exemple, els 100 o 1000 primers punts i es continua a partir d'allà, es veu algun tipus de moviment del punt que no sigui caòtic? Què passaria si per exemple l'1 tingués 1/2 de probabilitat de sortir i el 2 i el 3, 1/4?

Jaja, que perepunyetes que sóc!!! I tinc més preguntes... Només és curiositat :-D

Asimetrich ha dit...

Impressionant. Sembla que no pugui ser. No coneixia aquesta propietat, m'he quedat de pasta de boniato :). Un post genial!

Alasanid ha dit...

Matgala. A mi em va meravellar quan el vaig descobrir!!
La veritat és que el gnuplot encara m'amaga molts secrets però intentaré anar-li arrencant.

Referent al segon comentari: m'acabes de donar prou material per un altre escrit i em sembla que quedarà millor que en un comentari.

Pel que fa a un llibre, després dels exàmens jo tenia pensat en anar a buscar a la biblioteca de la facultat de matemàtiques el llibre següent: Fractals Everywhere de Michael Barnsley, però no sí si està bé.

McAbeu. Jo el que vaig fer va ser calcular-me per un costat els punts i per l'altre representar-los amb un programa que fa representacions.

El programa que dóna els punts el puc penjar escrit en FORTRAN que és el llenguatge que sé o puc enviar el programa per windows o linux.

Asimetrich. Les matemàtiques tenen aquestes subtileses, et penses que pot quedar una cosa simple i et queda una meravella d'aquestes que, si te la mires d'aprop, veus que realment era simple.

Ah, i gràcies a tots pels comentaris.

PepQuímic ha dit...

Realment sorprenent, meravellós!

Alasanid ha dit...

Benvingut Pep,

Tenia aquest tema una mica oblidat, perquè tenia previst seguir-lo, ara que l'he recordat a veure si escric alguna cosa.