divendres, 17 d’octubre de 2014

Projectils aristotèlics

A l'ESO ens fan creue que si ens posem a disparar projectils; aquests seguiran una trajectòria parabòlica. Però fa uns anys es pensava diferent.

Durant el Renaixement, el llençament de projectils, va ser un dels temes estrelles en la recerca científica. El tema militar sempre apreta i, tot i que, al camp de batalla l'experiència és el que compta, que ells ja saben com han d'aixecar el canó perquè ho fan cada dia. Però donar un marc teòric al problema dels projectils podia servir per alguna cosa. I ara, com sempre abans de posar-nos en temes militars... Val la pena recordar que la culpa no només és dels científics que aporten el coneixement sinó de tot el poble qui recolza governs que decideix fer-ne ús.

Tornant al tema... Una trajectòria d'obús tenia aquesta pinta pels estudiosos del segle XV. Aquí parlaré d'un home que he descobert avui, en Daniel Santbech, aquest matemàtic va ser dels qui va enfrontar-se al problema i aquí hi ha un dels gràfics que feia:


Es pot veure que el projectil es mou en línia recta fins al punt més alt de la trajectòria i llavors cau mort fins al terra. Ara ens pot semblar més o menys absurd.. Però el coneixement científic de l'època estava assentat en la mecànica d'Aristotil, un dels clàssics.

El primer en desafiar aquests pensaments va ser Tartàglia qui va plantejar les paràboles com a figures que describien les trajectòries i posteriorment, la mecànica de Galileu va donar, de manera natural, les paràboles. Finalment, Newton ens va donar les matemàtiques per complicar tant com vulguessim el problema.

Quan dic que Newton dóna les eines és perquè ell va parir la segona llei i el càlcul diferencial. En altres paraules, la posició d'un cos $\vec{r}(t)$ ve donada per la següent equació diferencial:

$$ \vec{F}=m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}=m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$$


La segona llei de Newton ens relaciona la força, $\vec{F}$, que experimenta un cos amb la seva acceleració, $\vec{a}$. L'acceleració ens indica com varia la velocitat respecte del pas del temps, d'aquí el concepte de derivada. I finalment, la velocitat ens dóna com varia la posició respecte el temps.

Si agafem un canó i buidem tot l'aire del planeta estarem segurs que les forces que actuaran sobre el projectil seran només les de la gravetat $\vec{g}$. El que va deixar clar Galileu és que la gravetat només afecta als moviments verticals. I com més tard va matizar Newton, aquells que apunten cap al centre de la Terra.

Amb la força de la gravetat tindrem

$$ m\frac{d\vec{v}}{dt} = -m\vec{g} $$

Es a dir, en la direcció horitzontal, paral·lela al terra, el projectil no nota cap força i per tant $v_x$ es mantindrà constant. D'altra banda, en la direcció vertical hi ha la força de la gravetat que estira amb una força constant i farà que la velocitat inicial decreixi de forma constant fins arribar a zero (moment més alt de la trajectòria) i després començarà a créixer però amb magnitud negativa, és a dir, apuntant cap al terra.

$$ m\frac{d v_x}{dt} = 0, \quad m\frac{d v_y}{dt} = -m g $$

Amb aquestes condicions podem començar a disparar i recuperem els resultats de Tartaglia. L'abast màxim del projectil és dóna quan disparem amb un angle de $\phi=45^{\circ}$. Com es pot veure en la primera figura: en la direcció horitzontal la velocitat del projectil es manté constant ja que no hi actua cap força. D'altra banda, en la direcció vertical veiem com la velocitat decau de forma lineal. L'efecte de la gravetat és una desacceleració constant en la direcció vertical.





Però això ho podem anar complicant. Imaginem que ara tenim aire. L'aire oposarà resistència al moviment i, de la nostra experiència a la bicicleta, sabem que dependrà de la velocitat. Com més ràpid, més força ens fa l'aire.

Si fessim els calculets veuríem que un projectil a l'aire majoritàriament rep una força que és proporcional al quadrat de la velocitat, $\vec{F}_d = -\Gamma v^2 \frac{\vec{v}}{v}$. En física de fluids aquest és el resultat que es té a valors alts del nombre de Reynolds, $Re>1$. En aquesta expressió el primer terme és un coeficient que dependrà de les característiques del projectil i les propietats de l'aire, el segon terme indica la magnitud de la velocitat al quadrat i l'últim terme és el vector que indica la direcció del moviment. Amb el signe negatiu indiquem que el valor de la força sempre s'oposarà al moviment, serà sempre en la direcció oposada a la velocitat.

I l'equació del moviment és ara:

$$ \frac{d\vec{v}}{dt} = - \frac{\vec{g}}{m} - \frac{\Gamma}{m} v^2\frac{\vec{v}}{v} $$

I resolem per a diferents valors (fent $m=1$). La resolució, tant en aquest cas com en l'anterior l'he feta numèricament, ja que resoldre equacions porta el seu esforç i aquesta és de les lletges.



I ara ho veiem!!! Quan tenim fregament ens costa més de llençar el projectil i carai, el projectil deixa de descriure una trajectòria parabòlica!! Ara ja és diabòlica, acudit dolent però proveu de resoldre ara l'equació diferencial :P

Podem veure que amb $\Gamma=2$ necessitem uns valors de $v_0=340$ per assolir un abast comparable. En els càlculs he pres $m=1$. Com a primera aproximació, podem considerar que la $\Gamma$ aquesta va com $L^2$, és proporcional a la superfície (i alguns factors geomètrics). Aquest fet ens ajuda a entendre perquè quan llencem un full de paper el resultat depèn de si l'arruguem o no. El paper arrugat és més compacte i presenta una menor superfície de contacte amb l'aire i, per tant, un $\Gamma$ més petitet.

I en esports podem veure que també tenim coses semblants. Picar un volant de bàdminton amb totes les forces de les que es disposa és divertit.

I finalment m'he preguntat, quin és l'angle pel qual obtenim un abast més llarg per un projectil de $m=1$, $v_0=340$ i $\Gamma=2$??? Doncs he començat a llençar amb diferents angles i la corba m'ha mostrat la següent sorpresa:


Un resultat que ens podíem esperar, o no.

dilluns, 6 d’octubre de 2014

I tu què fas??

Una pregunta innocent però en el cas dels qui ens dediquem a la ciència resulta subtilment complicada de respondre. És una d'aquelles preguntes que al llarg dels anys hem de mirar d'aprendre a respondre.

Depenent de la impressió que es vulgui causar, depenent de a qui li diguis o de l'energia que un estigui disposat a gastar la resposta pot ser més o menys elaborada. En aquest article llistaré unes quantes de les respostes que he anat donant o pensant.

Si vull donar una resposta jocosa (paraula que m'agrada especialment (feta amb la primera síl·laba del meu nom complet))
"Doncs jo faig servir ordinadors molt potents per veure amb quina força es fan les meves boles."

Així d'entrada pot resultar molt estrany. Però amb el pas dels mesos la ment se m'esbiaixa i el problema passa a ser una part més de mi.

Si vull donar una resposta ràpida:
"Estic fent el doctorat de nanociències i nanotecnologia."

De fet és un dels que tenia una menció d'excel·lència per part del Ministerio i això sempre dóna punts quan es va a buscar dinerus. Tot i que sigui dels electrònics i amb els pelacables electrònics no ens fem massa.

Si vull donar una resposta a la família o semblant:
"Faig classes a Barcelona. Ah, i quan no sóc a classe faig coses amb l'ordinador."

Ja fa un temps que me'n deixen fer... A més a més, faig coses amb l'ordinador. Certament.

Si he de parlar amb un company físic:
"I tu què fas??"

En general serveix per desviar l'atenció i t'expliquen les coses meravelloses que fan. Algunes vegades en més de 4 dimensions, altres a temperatures extremadament properes al zero absolut, alguns miren per telescopis.. Hi ha de tot.

Si insisteixen, o gent que sap aproximadament al que em dedico:
"Uhmm.. Faig simulacions en un sistema que m'he muntat de partícules microscòpiques en un règim sobreesmorteït, autopropulsades (que saben nedar) i que tenen interaccions d'alineació a parelles. Un cop tinc el tinglado muntat m'interessa veure com aquestes partícules afecten dinàmicament a partícules inertes de majors dimensions o com es comporten en règims de confinament. Per cert, tot en dues dimensions :P"

I finalment, també puc impressionar al personal:
"Estudio l'aparició de fenòmens col·lectius i autoorganització en suspensions de bacteris i en caracteritzo l'estructura dinàmica i les propietats mecàniques, per així, aplicar-ho a dispositius microfluídics que facilitaran el diagnòstic de... o que permetran fer mesures de la qualitat de..."

M'he de treballar la part final encara... Però alguna aplicació mèdica li trobarem.

I la gent què pensa de mi???? Doncs aquí ve la impressió que dec donar.

Des del punt de vista de l'ordinador:
"És un malparit i aquesta ja és la... 5ena vegada que es carrega canvia el sistema operatiu. Ja torna a tocar el que no sona. NaN!!"

Des del punt de vista d'algun company:
"És el que es passa part del dia assegut davant de l'ordinador. Fa dibuixets guais"

Des del punt de vista dels del bar:
"És un dels molts físics que baixa al bar amb el pretext de discutir sobre física i acaba discutint del landscape, sobretot a prop d'on hi ha químiques."

He de dir a favor meu que el terme d'energy landscape es fa servir en àmbits propers al meu...A més, en general toquem temes de físics.

Per uns quants:
"És el desgraciat que ens va suspendre les mates"

Pel Ministerio i totes aquesta gent que es fa estimar a les Universitats:
"Mira.. Aquell desgraciat que busca ser mileurista... Què farem?? Ah!! Per què no li donem els diners d'una vegada?? Vale, però no tots, retallem-li aquest mig anyet que hem de gastar diners en.. (portar l'Ebola a la Península, per exemple)"
I així podria seguir amb la llista...

I ara com diria un físic quàntic.. No és que faci una d'aquestes coses o una altra. Ni les faig totes.. Simplement jo em puc definir com la superposició quàntica de totes aquestes, i algunes més.

Un altre dia ja pujaré fotos i pelis de les meves boles i de com es mouen!!!!