dimarts, 28 de setembre de 2010

Dispercions i colors

Hi ha preguntes que es fa molta gent i que els científics han trigat molt de temps en explicar. Una d'elles és la següent: per què el cel és blau? (si més no quan és serè i de dia).

Si tractem el problema de manera racional ens adonem que la llum que prové del Sol hi juga un paper molt important. L'altre protagonista en aquest fenomen és l'atmosfera terrestre ja que si ens fixem en les fotografies fetes a la Lluna mai es veu el cel blau. Per tant, el que hem de mirar en detall és com interacciona la llum provinent del Sol amb l'atmosfera.

Una de les propietats de la llum és el color que es caracteritza amb una longitud d'ona ($\lambda$). Quan hi ha llum de diferents colors el color resultant és una combinació de tots ells. Els colors rojos tenen una longitud d'ona que va dels 600 als 700 nanòmetres (600 nm són 0.00006 centímetres) i els colors violetes se'n van als 400 nm. En la imatge següent podem veure com se sumen diferents colors i que el color blanc apareix quan se sumen tots els colors. Amb la llum provinent del Sol passa una cosa semblant i la veiem blanca.


Com ja he dit la longitud d'ona de la llum que podem veure és molt petita, prou petita com per no poder imaginar com n'és de petita. A finals del segle XIX el físic anglès Lord Raylegh va arribar a un resultat molt curiós. Si un feix de llum incideix sobre partícules molt més petites que la longitud d'ona de la llum es produeix dispersió de Rayleigh. Quines partíclues podem trobar d'aquestes dimensions? Doncs les molècules d'aire que fan entre 0.1 i 0.2 nm. Força més petites que els 400 nm dels violats.

Amb dispersió el que es vol dir és que quan el raig arriba a les molècules aquest es reemet en totes direccions i la intensitat en els diferents angles ve donada per aquesta expressió rematadament complicada, però, de la que en podem treure una informació molt rellevant. En ella apareix un terme que depèn del color de la llum, de la longitud d'ona. Aquest terme és un $\frac{1}{{\lambda}^4}$ és a dir, en les radiacions violetes ($\lambda$ petita) estarem dividint per un número més petit que en les radiacions roges. Es a dir, per la radiació violada obtindrem una intensitat de llum major que per la radiació roja. Per saber com influeix aquest factor podem veure que si tenim llum blanca amb les mateixes proporcions de llum roja que de violeta la intensitat de la violada dispersada és aproximadament 5 vegades superior a la roja.

El que passa entre la llum del Sol i l'atmosfera terrestre és molt semblant. Si no hi hagués atmosfera els únics raigs de llum que veuríem són els que ens vénen directament de l'estrella (en línia recta). En canvi al tenir l'atmosfera, els raigs de llum que passarien per sobre nostre es dispersen i com va predir Rayleight els rajos amb menor longitud d'ona són els que es dispersen més. Com que en la radiació solar hi ha molt més blau que violeta el color que més ens arriba d'aquesta dispersió és el blau i és per això que veiem el cel blau. En canvi, en els punts propers al Sol veiem un cel molt més blanc perquè ens arriba més roig, que no s'ha dispersat.


A la imatge es pot veure que raigs que passarien de llarg i no podríem veure es troben amb aire de l'atmosfera i es dispersen i el que veiem són els colors que més es dispersen, els blaus (el color de la imatge no té res a veure amb el color de la llum).

Aquesta teoria ens ajuda a explicar un altre color del cel, el roig. Quan el Sol està baix i proper a l'horitzó s'acostuma a veure un cel ben roig (en les proximitats del Sol). El que passa és que amb el Sol baix la llum ha de recórrer una gran distància per dins de l'atmosfera i a més a més ho fa per capes amb més partícules (entre pols i gas) amb la qual cosa mentre penetra en l'atmosfera els colors blaus es van dispersant i al final del recorregut, quan ens arriba, pràcticament només queden els colors rojos.


Solució al problema proposat a l'article anterior

Abans d'atacar el nostre problema considerem una funció $u=f^{\alpha}g^{\beta}h^{\gamma}$ on $f$, $g$ i $h$ són funcions de la mateixa variable i $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ són constants. Si derivem la funció aplicant les regles de derivació pel producte de funcions obtenim $u\prime={\alpha}f^{\alpha-1}f{\prime}g^{\beta}h^{\gamma}+f^{\alpha}\left(g^{\beta}h^{\gamma}\right)\prime$ si seguim derivnt podem igualar a$ {\alpha}f^{\alpha-1}f{\prime}g^{\beta}h^{\gamma}+{\beta}g^{\beta -1}g{\prime}f^{\alpha}h^{\gamma}+{\gamma}h{\gamma-1}h{\prime}f^{\alpha}g^{\beta}$. Una expressió força llarga però que si treiem $u$ factor comú obtenim $u{\prime}=u\left(\frac{\alpha f\prime}{f}+\frac{\beta g\prime}{g}+\frac{\gamma h\prime}{h}\right)$ que és una expressió de més bon tractar i que podem generalitzar a més funcions (no només les 3 que hem fet servir per la deducció).

Així doncs, veiem que la funció proposada al problema és d'aquest tipus i que tenim 6 funcions elevades a una constant. Si apliquem l'expressió anterior obtenim... Una expressió com la següent (que podríem simplificar però és força més pesat de fer):

$f(t) \left(\frac{2}{2 t+1}+\frac{3 (2t-1)}{t^2-t+2}+\frac{2 \cos(t)}{\sin (t)+1}-\frac{2 t+1}{3 \left(t^2+t-2\right)}-\frac{2}{t+1}-\frac{15t^4-\frac{2}{3}\sqrt{3}{t^2}}{4 \left(3 t^5-2\sqrt{3}{t}\right)}\right)} $

On $f(t)=\frac{(2 t+1) \left(t^2-t+2\right)^3 (\sin (t)+1)^2}{(t+1)^2 \sqrt[3]{t^2+t-2} \sqrt[4]{3 t^5-2\sqrt[3]{t}}} $

dimecres, 22 de setembre de 2010

El tercer

Amb aquesta entrada arribo als tres anys de blog. Per celebrar els tres anys l'Alasanid ha preparat 3 regals.

El primer és tret directament dels genis d'Abstruse Goose:


El segon regal s'assembla al que vam fer servir pel primer aniversari. En aquella ocasió vam ofegar una espelma i aquesta vegada ho hem tornat a fer però seguint un altre mètode.




Per apagar-la aquesta vegada hem fet que el $CO_2$ alliberat per una reacció química desplaci l'oxigen i que en conseqüència s'apagui l'espelma.

El tercer regal té a veure amb una nova categoria que vaig iniciar aquest any. Es tracta d'un problema però amb una mica de matemàtiques de batxillerat pel mig. Espero que us entretingui i només feu ús de l'ordinador per comprovar la resposta.

Fa un cert temps l'Alasnid es va trobar amb un resultat molt curiós en derivar certes funcions. Coneixedor d'aquest resultat ara deriva expressions aparentment farragoses molt més ràpid. Podríeu mirar de trobar com ho fa?? Aquí tenim un dels monstres amb què s'ha trobat.

$f(t)=\frac{(2 t+1) \left(t^2-t+2\right)^3 (\sin (t)+1)^2}{(t+1)^2 \sqrt[3]{t^2+t-2} \sqrt[4]{3 t^5-2 \sqrt[3]{t}}}$