dimecres, 30 de desembre de 2009

L'anomalia de l'aigua (II)

Abans de començar m'agradaria dir que l'últim escrit sobre l'Udo d'Aachen va ser la meva contribució al Dia dels Innocents.

A principis d'octubre vaig parlar sobre què li passava a l'aigua sòlida quan se la sotmetia a pressions elevades. Si les condicions de pressió i temperatures són les adequades l'aigua sòlida (gel) canvia de fase i passa a líquid (aigua) a temperatures inferiors a 0ºC.

En aquella ocasió vaig fer un experiment en què es posava de manifest aquesta propietat. En resum:

Partint d'un bloc i penjant uns pesos del fil que passava per sobre del bloc aconseguia una zona de més pressió a la superfície del bloc. El gel que és just sota del fil es fon per sota dels 273.15 K (temperatura de fusió del gel a pressió atmosfèrica). A mesura que el fil va entrant la superfície de contacte disminueix (es pot veure a les imatges) i la temperatura de fusió també baixa. (Mitjançant la relació de Clausius-Clapeyron es poden fer càlculs i obtenir una temperatura de fusió).

En fondre's el gel l'aigua deixa passar el fil. Per sobre del fil la pressió disminueix (només hi ha la pressió atmosfèrica) i l'aigua es congela. D'aquesta manera el fil s'obre pas entre el sòlid.

Aprofitant que aquests dies fa una mica més de fresca que quan vaig fer per primera vegada l'experiment hi he tornat. Ara amb una temperatira ambiental lleugerament més baixa (entre 9 i 12 ºC) el gel ha resistit millor el pas de les hores. A diferència de l'altra vegada he vist el moment en què el fil sortia del gel per l'altre costat.

Ara bé, el temps total no l'he pogut calcular perquè no sé en quin instant ha començat a fondre's el gel a causa de la pressió i a més a més hi ha hagut instants en què he tingut una Màquina d'Atwood i un dels pesos ha estat reposant al terra durant no sé quanta estona. De totes maneres és un procés que requereix unes hores.










Aquesta última ha estat uns segons abans de passar. Si es mira bé es pot veure el fil que pràcticament ha acabat de creuar.

dilluns, 28 de desembre de 2009

Udo d'Aachen

Una de les coses bones que té el passat és que per més que ens hi esforcem no el podem canviar. Això fa que els fets succeïts puguin ser recopilats pel que anomenem Història.

Com va dir Richard Feynman:

Quan un historiador diu "Napoleó va existir" o "Napoleó va ser o "que la Revolució Francesa va ser l'any 1783", vol dir que si tu mires en un altre llibre sobre aquesta Revolució Francesa trobaràs la mateixa data... 1789 probablement.

Amb això el que vull dir és que el que entenem per història no és més que els fets que apareixen a la majoria de llibres. Per exemple, a les escoles sempre s'ensenya que Colom va ser el primer Europeu que va arribar a Amèrica. Però se sap que no va ser el primer, es diu que també hi havien arribat àrabs, víkings... I sens dubte els qui ja havien colonitzat la zona.

I la història n'està plena d'aquests episodis. En la majoria de casos es tracta de personatges que estaven molt més avançats als seus coetanis qui van impedir que aquest personatge deixés una bona empremta als llibres d'història.

Un d'aquests personatges és un monjo Benedictí que va viure, aproximadament, entre el 1200 i el 1270. Com a monjo va dedicar una bona part del seu temps d'estudi a la poesia, la teologia i a la còpia de manuscrits. Sembla ser que com a poeta és l'autor del famós Fortuna Imperatrix Mundi que Carl Orff va incloure ja en el segle XX a l'obra Carmina Burana.

I com ja va deixar ben clar Gregor Mendel, un monjo amb inquietuds pot fer molta feina pel progrés del coneixement. I Udo va ser un d'aquests monjos, en el seu cas el que el va cridar van ser les matemàtiques.

Fa uns deu anys d'uns arxius alemanys en va sortir el que avui en dia es coneix com a Còdex d'Udo. Un còdex escrit en llatí i grec per Udo d'Aachen.

En el primer capítol Astragali (daus) destaquen les seves humils contribucions a la probabilitat. Udo havia derivat unes senzilles regles per a manejar probabilitats que resultaven pràctiques als jocs de daus i cartes.

Al segon capítol Fortuna et Orbis (Fortuna i cercle) Udo ens sorprèn amb una aproximació del número pi: 3.1418... (866/275) Si es té en compte la història d'aquest valor es pot veure que uns segles abans Ptolomeu n'havia fet ja una millor aproximació, però el que és realment interessant és el mètode. Udo va marcar una superfície (amb línies paral·leles amb la mateixa separació) i hi va dispersar unes branquetes (de la mateixa mida que la separació de les paral·leles). Fent ús de la probabilitat que havia desenvolupat i un indubtable toc de geni va arribar a la mateixa conclusió a la que arribaria Buffon segles més tard, Udo d'Aachen va concebre el que ara es coneix com Agulla de Buffon. Buffon va anunciar que si es feia aquest experiment, la probabilitat que una branqueta es creués amb una línia era de igual a pi/2, és a dir que a partir del número total de branquetes i les branquetes que creuaven les línies es pot obtenir una aproximació de la meitat de pi i, per tant, una aproximació del valor de pi.

Però la descoberta més gran d'Udo d'Aachen deixa aquestes una mica de banda. Com molta gent d'aquella època i encara més essent monjo tenia una veritable preocupació pels temes de cel i infern. I va idear un mètode molt curiós.

Udo va assumir que les ànimes de les persones estaven compostes per una part a la que va anomenar profana i una altra d'espiritual i com a home de números els va assignar un parell ordenat de números, a més a més, també va fer unes regles que li permetien d'operar amb ells i representar-los, el resultat final s'assembla molt al que avui es coneix com a números complexos, en què cada un té una part real i una d'imaginària (per ell una part profana i una altra d'espiritual).

I què en feia? Doncs una cosa molt interessant. Al naixement a cada persona se li assignaven una ànima (un parell de valors de profà i espiritual) i 70 anys de vida, cada any passava per un judici. Per representar el judici Udo el que feia era multiplicar l'ànima per ella mateixa i sumar-hi l'ànima primordial (la que se li havia assignat a l'inici). I curiosament hi havia ànimes que es mantenien a prop de l'origen i d'altres que de seguida marxaven, les primeres tenien lloc al cel, les segones no. Udo va marcar aquelles ànimes que es quedaven a prop del seu origen i la a figura resultant la va anomenar Divinitas. Tot i tirar del nou sistema de numeració, l'aràbic, Udo d'Aachen va trigar 9 anys en fer l'esquema de les ànimes. Però ja ho diuen: la fe mou muntanyes. I aquesta tasca va tenia una gran importància per determinar qui acabaria o no al cel.

Com es pot veure en aquesta il·lustració Udo va utilitzar el Divinitas per alguna cosa més que per determinar on anirien les ànimes. I sí, té una forma molt curiosa.

Si ens tornem a mirar com es calculaven les coses i passant als números complexos veiem que l'algorisme utilitzat per Udo és $Z_{i+1}=Z_i^2+Z_0$. I si com ell representem els valors que no divergeixen en el pla complex trobarem una figura que a dia d'avui és molt coneguda. Ni més ni menys que el Conjunt de Mandelbrot!!



Però perquè no va tenir èxit? A aquella època no era ben vist que es pogués determinar des de l'inici si algú anava al cel o a l'infern, llavors qui deixaria de cometre pecats per assegurar-se el cel? A més a més, utilitzar els números que havien portat els àrabs tampoc era massa ben vist, de manera que les idees del monjo més que d'alt valor teològic van ser considerades una heretgia. D'altra banda el que encara em pregunto és quin argument feia servir per assignar valors a cada ànima... Tot un misteri i de ben segur que un geni com ell va trobar la manera.

Notícia de John Allen Paulos
Un altre link (en anglès)

Publicat el dia dels Innocents ;-)

dimecres, 23 de desembre de 2009

Jocs de Nadal

Fa uns dies a Fogonazos (de visita molt recomanable) ens presentaven un video amb 10 idees més o menys bones per entretenir a la gent durant els dinars/sopars força comuns en aquesta època de l'any.

Jo per la meva part he trobat un altre joc d'aquests que és entretingut i curiós.

Ara donaré les instruccions i en faré un exemple, en paral·lel.

Es demana a un dels participants que triï un número de 3 xifres i que en un paperet l'escrigui dues vedades per formar un número de 6 xifres.

El meu número és el 136 per tant hauria d'escriure 136136.

Ara es passa el paperet a un altre dels jugadors i se li demana que el divideixi per 7 i apunti el resultat en un altre paperet (la gràcia seria que ho fes a mà... però també pot fer ús de la calculadora).

136136/7 = 19448

Aquest quocient es passa al següent jugador i l'haurà de dividir entre 11 i apuntar el resultat en un altre paper.

19448/11 = 1768

Aquest paper ha d'arribar a l'últim jugador i l'haurà de dividir entre 13.

1768/13 = 136

Ara aquest últim paper es demana que es doblegui i es passi al mag (es a dir a qui està dirigint el problema) el mag hauria de dir algunes paraules màgiques (això és opcional però al públic li sol agradar una mica de màgia) i retornar el paper a qui a triat el número.

Com es pot veure a l'exemple el resultat obtingut coincideix amb el número inicial.

Vinga, bones festes i a veure si trobeu perquè funciona el joc.

dijous, 17 de desembre de 2009

Vint anys de Simpsons

Avui ha fet 20 anys de la primera emisió de The Simpsons. Vint anys després tenen el rècord de temps per una sèrie d'animació, felicitats!!

He estat buscant per Youtube algun video interessant però m'ha costat de trobar per tant us deixo amb un dels molts inicis que s'han fet i un recull dels millors moments de la 4ta temporada.





divendres, 4 de desembre de 2009

Un professor diferent

Tots els qui hem passat per l'ensenyament obligatori hem hagut de soportar unes quantes assignatures que no eren del nostre gust i que d'haver pogut no hauríem fet.

En molts casos una d'aquestes matèries és la de física i química, la química com que acostuma a anar acompanyada amb una mica de laboratori es fa més entretinguda en canvi la física es converteix en el turment de molts ja que s'acaba convertint en una assignatura de fe cega en les fórmules i matemàtiques que proposa el professor.

Per tant, el més important d'aquesta assignatura no és el temari si no com l'enfoca el professor (sí, sé que passa a totes les matèries... però tenir gràcia explicant la natura fa que la gent recordi més endavant que la Terra rota sobre ella mateixa (cosa que no sempre tenen clara els qui han acabat l'ESO)).

I com és un bon professor de física?? Doncs buscant per internet m'he trobat amb Walter Lewin, del MIT, que combina a la perfecció la teoria amb l'experimentació. I a més a més les seves lectures estan penjades a Internet, per tant si sabeu anglès (tampoc és massa difícil de seguir) i ganes d'aprendre o veure les coses més clares és molt recomanable.

Perquè no és el mateix deduir expressions matemàticament i creure-se-les que deduir-les i després experimentar-les.

Una de les coses que sorprèn és que el període d'un pèndol simple no depèn de la seva massa massa sinó de la seva llargada i de la gravetat, fent les matemàtiques la cosa surt; però sempre fa falta veure-ho per quedar-ne convençut del tot i això és el que fa Walter Lewin. Ara doncs, us deixo amb un parell de vídeos en què surt això del pèndol i altres experiments.