El mapa logístic i la duplicació del període

Fa uns mesos vaig escriure una breu introducció al caos i les contribucions que va fer Edward Lorenz arran de la seva mort als 90 anys.

Avui seguiré una mica des d'on em vaig quedar.

Quan sentim a parlar de l'Efecte Papallona i dels sistemes dinàmics no lineals ens ve al cap la idea de l'impredicció i gran complicació. Tanmateix, els qui estudien aquests fenòmens saben que es tracta d'un caos determinista. Com va dir J. Wagensberg: És determinista perquè hi ha unes equacions diferencials, de manera que si poses el numero de debò no té res de caòtic perquè dóna sempre la mateixa cosa. El problema en el cas de la meteorologia és que és impossible ficar els número exacte a les equacions perquè en el fons no deixen de ser mesures amb els seus corresponents errors.

Aquests caos és determinista i ordenat, cada acció és una conseqüència de l'anterior mitjançant una cadena ininterrompuda de causa-efecte, absolutament previsible a cada etapa -- en principi.

Un exemple molt clar del caos determinista és el mapa logísitic. Una equació molt utilitzada per mostrar fins a quin punt és possible obtenir comportaments caòtics a partir de models molt senzills però no lineals.

Aquest model el va donar a conèixer el 1976 el biòleg Robert May. És un model discret (no continu) en el temps que simplifica l'equació logísitica de Pierre François Verhultst.

Robert May va plantejar aquest model amb un exemple molt simplificat i clar. Imaginem una certa espècie animal els individus de la qual deixen els ous i moren completament. En cada període reproductiu només hi pot haver una generació que és la que deixa els ous que esdevindran la generació següent. Per quantificar el nombre d'individus es fa en tant per 1. De manera que 1 representa el màxim nombre d'individus en l'ecosistema. En aquest sistema els recursos alimentaris són limitats.

Tornant a l'equació: xn representa en tant per u la població en cada període reprodutiu n = 0, 1, 2, 3... I k és una constant positiva que combina el model de reproduccií i d'extinció. Per a cada valor de k obtindrem un model d'expansió (i possible extinció diferent). En el nostre cas representaria el nombre d'ous que deixa de mitjana cada individu.

Aquesta equació tracta de reflectir dos efectes:

• Primer, si la població ñes quantitativament reduïda el creixement serà aproximadament proporcional al nombre d'individus.


• Segon, si la població és elevada l'exés de competència pels recursos farà reduir la població fe forma directament proporcional a la diferència 1 - x.

Arribats a aquest punt una cosa ben senzilla és comenjar a jugar amb un full de càlcul.

Quan el valor de k és inferior a 1 els valors que pren x en cada generació disminueixen molt ràpidament. En aquest cas és molt entenedor si diem que de cada cinc individus només un deixa un descendent. L'espècie està condemnada a l'extinció. Encara que es canviï la població inicial.

Un altre valor curiós per a k és 1. La població també s'extingeix. El perquè és ben senzill: no tots els individus que neixen sobreviuen. N'hi pot haver que morin per la lluita amb els de la seva pròpia espècie, per depredadors, causes naturals...

Si anem augmentant el valor de k ens trobem que a partir d'unes quantes generacions la població es manté estable en un valor constant. Això és així amb valors més grans que 1 i més petits que 3.

Quan el valor de k és 3 ens trobem que la convergència al valor d'estabilització és molt lenta.

En els casos anteriors podem dir que el model té període 1, que es manté en un valor constant.

Quan introduïm valors de k compresos entre 3 i 3,45 el comportament de la funció és lleugerament diferent. La població oscila entre 2 valors. El període en aquest cas és 2.

Si es dóna un valor superior a 3,45 a k com ara 3,46 es repeteix el mateix procés d'abans, els valors constants es dupliquen. Per aquest valor de k la població es repeteix cada 4 generacions. El període passa a ser 4.

Amb 3,55 el període es torna a duplicar: la funció s'estabilitza en 8 valors diferents. Aquestes bifurcacions es coneixen com a duplicació del període.

Per a k = 3,565 el període és 16.

Com es veu el període es va duplicant a mesura que creix k i cada cop per a valors més propers de k.

De manera que quan fem k=3,7 no podem apreciar cap repetició. Per comprovar-ho he examinat valors separats per potències de dos que és on s'hauria de repetir. Es a dir, si comencem amb el 1.000 el següent és 1.000+2 que el segueixen el 1.000+4, el 1.000+8, el 1.000+16...

Amb aquest procediment es pot comprovar que no es troba cap pauta en les primeres 2^17 generacions. El sistema ha esdevingut caòtic ja que tot i haver-hi una pauta és massa gran per poder utilitzar-la fàcilment a l'hora de fer prediccions.

Tot i això encara guarda algunes sorpreses. Per exemple, per a valors de k propers a 3,83. Enmig del caos o més ben dit de períodes molt llargs, hi ha el que s'anomenen illes d'estabilitat. En aquest cas la funció s'estabilitza en un període de 3. I es torna a duplicar a mesura que k pren valors més grans.

L'última sorpresa que ens dóna és a partir de k = 4; la funció pren algun valor superior a 1 fet que provoca que la diferència 1-x sigui negativa i per tant en resultin valors negatius. De manera que llavors 1 - x pren valors més grans que la unitat i fan que la funció divergeixi ràpidament cap a menys infinit.

Tot i ser un exemple molt senzill el mapa logístic posa de manifest les dues grans caracterísitques dels sistemes dinàmics caòtcs: la sensibilita a les condicions inicials i la retroalimentació.

Aquest model representatiu es pot representar en funció dels valors que pot prendre k (eix x) i el o els punts en què s'estabilitza la funció. El resultat és el que es coneix amb el nom de mapa logístic o més concretament amb el nom de diagrama de Feigenbaum (recordo que a principis d'any es va atorgar un premi relacionat amb això). Aquest diagrama, a més a més, presenta una estructura fractal.