dimarts, 2 de juny de 2009

El triangle de Sierpinski

Ara ja fa temps que no en parlo, però un dels temes que he tractat ja en alguna ocasió en aquest bloc és el dels fractals.

Tot i que els primers van matemàticament descrits com a monstres singulars i de gran bellesa a finals del segle XIX no van assolir massa protagonisme fins als anys 60 que amb l'ajuda de la computació Mandelbrot els va popularitzar.

Un dels fractals anteriors a Mandelbrot és el Triangle de Sierpinski, construït pel matemàtic polonès Waclaw Sierpinski.

La idea original per construir-lo era molt simple, com en la majoria de fractals. Es tracta d'un procés iteratiu, és a dir que es tracta d'aplicar una sèrie d'instruccions que poden o no ser senzilles.

En el cas del Triangle de Sierpinski el procés és molt senzill. Per a construir-lo es parteix d'un triangle, si és equilàter es visualitza millor el resultat.

Es marquen els punt mitjos de cada costat i s'uneixen per formar un triangle i aquest triangle es pinta d'un color diferent. Ara es fa la mateix operació als tres triangles que han quedat envoltant al central.

Ara es veu perquè he dit que es tractava d'una operació senzilla i iterativa.

Si es segueix operant sobre el triangle infinites vegades arribarem a obtenir el fractal. Malauradament el que busquem és una representació gràfica, de manera que mai podrem arribar a l'infinit sobre el paper.

Aquí es poden veure les primeres 5 iteracions sobre un triangle equilàter.

Veient aquestes 5 primeres iteracions ens podem plantejar una cosa curiosa. Quan s'arribi a l'infinit l'àrea total serà zero però en canvi hi haurà infinits punts. Aquesta és una de les coses més interessant dels fractals que els dóna una dimensió fractal. De la dimensió fractal, si no me n'oblido també n'escriuré alguna en els propers mesos.

Ara però m'agradaria canviar de triangle.

Un altre triangle amb un cognom famós és el Triangle de Tartàglia també conegut pel nom de Triangle de Pascal o de Yang Hui (a mi m'agrada més el primer nom).

El Triangle de Tartàglia es comença des del vèrtex superior amb un 1, a la segona fila dos uns (1 1) disposats a sota i a cada costat del primer. Les següents files són el resultat de la suma dels dos números immediatament superiors amb un 1 a cada extrem. Seguint aquest procés la segona fila serà (1 2 1) considerant que l'1 ocupa la fila 0, la tercera (1 3 3 1), i així successivament.

Com es veu en la imatge també es pot fer tan gran com es vulgui. A més a més en aquesta imatge es veu una de les característiques curioses que té. Aquests triangles contenen nombres que tenen una cosa en comú. En el primer el 2 és clarament múltiple de 2, al següent triangle el tres nombres són múltiples de 3, al de sota ho són tots de 5, el triangle de color blau clar conté múltiples de 7 i el lila múltiples d'11.

I què tenen en comú el 2, el 3, el 5, el 7 i l'11? Doncs que són números primers. Pot donar alguna pista sobre la seva distribució i infinitud?

Però bé, hi ha una altra cosa curiosa, què passa si delimitem els nombres parells del Triangle de Tartàglia i els donem un color diferent??

Suposo que es comença a veure alguna cosa... Pel que sembla dos dels triangles més famosos de les matemàtiques també estan relacionats.

Navegant per interntet m'he trobat amb aquesta pàgina, està molt bé.

2 comentaris:

Anònim ha dit...

gàcies per fer del procés del triàngle, una bona idea creativa i al hora molt idònea per l ´álgebra dels més petits 1º i 2º Eso

Alasanid ha dit...

Gràcies, també hi ha altres processos per construir-lo

http://alasanid.blogspot.com/2009/06/el-joc-del-caos.html

però són més aviat per veure'ls un cop ja s'ha construït a mà. La veritat és que aquest últim sorprèn molt.