Els fractals i Benoît Mandelbrot

Aquesta setmana ha estat notícia la mort del matemàtic Benoît B. Mandelbrot. Bé, a Catalunya no ha estat notícia però ho hauria d'haver estat.

A finals de segle XIX diferents matemàtics (Sierpinski, Koch, Peano...) es van començar a trobar amb unes construccions geomètriques que no tenien massa sentit. Corbes que tanquen una superfície limitada però que tenen un perímetre infinit, unes altres corbes que es rebreguen de tal manera que arriben a ocupar un pla... Com va dir Poincaré: eren uns autèntics monstres matemàtics.

Al mateix temps, un matemàtic francès treballava amb un altre tipus de monstres. Gaston Julia va començar amb el que més tard serien coneguts com a conjunts de Julia. Tot i que Julia no va poder disposar d'ordinadors per estalviar-li la feina calculística sí que va poder influir en com a mínim un dels seus alumnes: Benoît Mandelbrot.

Tot i que els treballs de Felix Hausdorff ja havien definit on viurien els fractals i també havien plantejat el concepte de dimensió de Hausdorff no va ser fins als anys 50 que Mandelbrot va començar a veure la importància que tenien els fractals en ni més ni menys que en la descripció de la realitat.

Feia 2.000 anys que la geometria estava governada per Euclides i canviar-ho era difícil, però Mandelbrot ho va dir tot en una sola frase.

Els núvols no són esferes, les muntanyes no són cons, la línia de la costa no són cercles, les escorces no són llises ni els llamps viatgen en línia recta.

Hi havia tants objectes tan quotidians que Mandelbrot va ficar la comunitat matemàtica, sempre crítica amb les seves idees, a lloc amb el títol La geometria fractal de la naturalesa (The fractal geometry of nature). Mandelbrot va resucitar els montres que 50 anys enrere havien dut de corcoll als matemàtics i els va ficar nom: fractals.

Vull acabar aquest breu escrit dedicat a Mandelbrot recordant un parell de moments seus: el primer és en l'entrega dels premis Ig Nobel de 2008 (Mandelbrot i Lipscomb estaven posant a prova les qualitats espermicides o no espermicides de la CocaCola) i l'altre és una TED Talk que va donar.

Dispercions i colors

Hi ha preguntes que es fa molta gent i que els científics han trigat molt de temps en explicar. Una d'elles és la següent: per què el cel és blau? (si més no quan és serè i de dia).

Si tractem el problema de manera racional ens adonem que la llum que prové del Sol hi juga un paper molt important. L'altre protagonista en aquest fenomen és l'atmosfera terrestre ja que si ens fixem en les fotografies fetes a la Lluna mai es veu el cel blau. Per tant, el que hem de mirar en detall és com interacciona la llum provinent del Sol amb l'atmosfera.

Una de les propietats de la llum és el color que es caracteritza amb una longitud d'ona ($\lambda$). Quan hi ha llum de diferents colors el color resultant és una combinació de tots ells. Els colors rojos tenen una longitud d'ona que va dels 600 als 700 nanòmetres (600 nm són 0.00006 centímetres) i els colors violetes se'n van als 400 nm. En la imatge següent podem veure com se sumen diferents colors i que el color blanc apareix quan se sumen tots els colors. Amb la llum provinent del Sol passa una cosa semblant i la veiem blanca.

Com ja he dit la longitud d'ona de la llum que podem veure és molt petita, prou petita com per no poder imaginar com n'és de petita. A finals del segle XIX el físic anglès Lord Raylegh va arribar a un resultat molt curiós. Si un feix de llum incideix sobre partícules molt més petites que la longitud d'ona de la llum es produeix dispersió de Rayleigh. Quines partíclues podem trobar d'aquestes dimensions? Doncs les molècules d'aire que fan entre 0.1 i 0.2 nm. Força més petites que els 400 nm dels violats.

Amb dispersió el que es vol dir és que quan el raig arriba a les molècules aquest es reemet en totes direccions i la intensitat en els diferents angles ve donada per aquesta expressió rematadament complicada, però, de la que en podem treure una informació molt rellevant. En ella apareix un terme que depèn del color de la llum, de la longitud d'ona. Aquest terme és un $\frac{1}{{\lambda}^4}$ és a dir, en les radiacions violetes ($\lambda$ petita) estarem dividint per un número més petit que en les radiacions roges. Es a dir, per la radiació violada obtindrem una intensitat de llum major que per la radiació roja. Per saber com influeix aquest factor podem veure que si tenim llum blanca amb les mateixes proporcions de llum roja que de violeta la intensitat de la violada dispersada és aproximadament 5 vegades superior a la roja.

El que passa entre la llum del Sol i l'atmosfera terrestre és molt semblant. Si no hi hagués atmosfera els únics raigs de llum que veuríem són els que ens vénen directament de l'estrella (en línia recta). En canvi al tenir l'atmosfera, els raigs de llum que passarien per sobre nostre es dispersen i com va predir Rayleight els rajos amb menor longitud d'ona són els que es dispersen més. Com que en la radiació solar hi ha molt més blau que violeta el color que més ens arriba d'aquesta dispersió és el blau i és per això que veiem el cel blau. En canvi, en els punts propers al Sol veiem un cel molt més blanc perquè ens arriba més roig, que no s'ha dispersat.

A la imatge es pot veure que raigs que passarien de llarg i no podríem veure es troben amb aire de l'atmosfera i es dispersen i el que veiem són els colors que més es dispersen, els blaus (el color de la imatge no té res a veure amb el color de la llum).

Aquesta teoria ens ajuda a explicar un altre color del cel, el roig. Quan el Sol està baix i proper a l'horitzó s'acostuma a veure un cel ben roig (en les proximitats del Sol). El que passa és que amb el Sol baix la llum ha de recórrer una gran distància per dins de l'atmosfera i a més a més ho fa per capes amb més partícules (entre pols i gas) amb la qual cosa mentre penetra en l'atmosfera els colors blaus es van dispersant i al final del recorregut, quan ens arriba, pràcticament només queden els colors rojos.

Solució al problema proposat a l'article anterior

Abans d'atacar el nostre problema considerem una funció $u=f^{\alpha}g^{\beta}h^{\gamma}$ on $f$, $g$ i $h$ són funcions de la mateixa variable i $\alpha$, $\beta$ i $\gamma$ són constants. Si derivem la funció aplicant les regles de derivació pel producte de funcions obtenim $u\prime={\alpha}f^{\alpha-1}f{\prime}g^{\beta}h^{\gamma}+f^{\alpha}\left(g^{\beta}h^{\gamma}\right)\prime$ si seguim derivnt podem igualar a$ {\alpha}f^{\alpha-1}f{\prime}g^{\beta}h^{\gamma}+{\beta}g^{\beta -1}g{\prime}f^{\alpha}h^{\gamma}+{\gamma}h{\gamma-1}h{\prime}f^{\alpha}g^{\beta}$. Una expressió força llarga però que si treiem $u$ factor comú obtenim $u{\prime}=u\left(\frac{\alpha f\prime}{f}+\frac{\beta g\prime}{g}+\frac{\gamma h\prime}{h}\right)$ que és una expressió de més bon tractar i que podem generalitzar a més funcions (no només les 3 que hem fet servir per la deducció).

Així doncs, veiem que la funció proposada al problema és d'aquest tipus i que tenim 6 funcions elevades a una constant. Si apliquem l'expressió anterior obtenim... Una expressió com la següent (que podríem simplificar però és força més pesat de fer):

$f(t) \left(\frac{2}{2 t+1}+\frac{3 (2t-1)}{t^2-t+2}+\frac{2 \cos(t)}{\sin (t)+1}-\frac{2 t+1}{3 \left(t^2+t-2\right)}-\frac{2}{t+1}-\frac{15t^4-\frac{2}{3}\sqrt{3}{t^2}}{4 \left(3 t^5-2\sqrt{3}{t}\right)}\right)} $

On $f(t)=\frac{(2 t+1) \left(t^2-t+2\right)^3 (\sin (t)+1)^2}{(t+1)^2 \sqrt[3]{t^2+t-2} \sqrt[4]{3 t^5-2\sqrt[3]{t}}} $

El tercer

Amb aquesta entrada arribo als tres anys de blog. Per celebrar els tres anys l'Alasanid ha preparat 3 regals.

El primer és tret directament dels genis d'Abstruse Goose:

El segon regal s'assembla al que vam fer servir pel primer aniversari. En aquella ocasió vam ofegar una espelma i aquesta vegada ho hem tornat a fer però seguint un altre mètode.

Per apagar-la aquesta vegada hem fet que el $CO_2$ alliberat per una reacció química desplaci l'oxigen i que en conseqüència s'apagui l'espelma.

El tercer regal té a veure amb una nova categoria que vaig iniciar aquest any. Es tracta d'un problema però amb una mica de matemàtiques de batxillerat pel mig. Espero que us entretingui i només feu ús de l'ordinador per comprovar la resposta.

Fa un cert temps l'Alasnid es va trobar amb un resultat molt curiós en derivar certes funcions. Coneixedor d'aquest resultat ara deriva expressions aparentment farragoses molt més ràpid. Podríeu mirar de trobar com ho fa?? Aquí tenim un dels monstres amb què s'ha trobat.

$f(t)=\frac{(2 t+1) \left(t^2-t+2\right)^3 (\sin (t)+1)^2}{(t+1)^2 \sqrt[3]{t^2+t-2} \sqrt[4]{3 t^5-2 \sqrt[3]{t}}}$

Sant Roc (II)

Amb l'entrada anterior vaig anunciar la festivitat de Sant Roc a la vila d'Arenys de Mar. Passades un parell de setmanes en penjo un parell de vídeos. El primer és de la Pesta que tot i ser la primera vegada que es feia Arenys va quedar petit. El segon és dels macips i es veu una mica el que van anar fent al llarg del dia.

Sant Roc

Finals del segle XVI i la gran plaga torna a castigar la població d'Arenys de Mar. Enmig de la desesperació el poble va fer un vot de vila a Sant Roc. Per la seva part, Sant Roc, ens va deslliurar de la Pesta i per això, durant generacions, cada 16 d'agost surten els macips amb les seves almorratxes a remullar els arenyencs amb aigua de colònia i així poder aguantar un any més sense la Pesta.

Aquest any però alguna cosa no ha anat bé del tot i es va caçar el següent avís de l'emisora de la policia:

Passats uns dies sembla ser que la cosa ha anat a més i s'ha rebut alguna trucada estranya:

I es que aquest any ha tornat la Pesta pels carrers d'Arenys:

Així doncs, el proper 16 d'agost els macips haurem de ruixar el poble amb més ganes que mai.

SANT ROOOOCC!!!!

Premis Ig Nobel de Biologia (1991 - 2000)

1991: A Robert Klark Graham, sel·lector de llavors i profeta de la propagació, pel desenvolupament del Repository for Germinal Choice, un banc d'esperma que només acceptava donacions de guanyadors del Premi Nobel i Olimpíades.

1992: Al doctor Cecil Jacobson, implacable i generós donador d'esperma, i patriarca prolífic dels bancs d'esperma, per disenyar un simple mètode de control de qualitat d'una sola mà.

1993: A Paul Williams Jr. i Kenneth W. Newel de l'Oregon State Health Division i del Liverpool School of Tropical Medicine, pel seu estudi pioner Salmonella Excretion in Joy-Riding Pigs.

1994: A W. Brian Sweeney, Brian Krafte-Jacobs, Jeffrey W. Britton i Wayne Hansen pel seu brillant estudi The Constipated Serviceman: Prevalence Among Deployed US Troops i especialment per l'anàlisi numèrica de la freqüència dels moviments intestinals.

1996: A Anders Barheim i Hogne Sandvik de la Universitat de Bergen (Noruega) pel seu informe Efecte de la cervesa, l'all i la salsa amarga en l'apetit de les sangoneres.

1997: A T. Yagyu i els seus col·legues de l'Hospital Universitari de Zurich (Suïssa), la Universitat Mèdica Kansai d'Osaka (Japó) i el Neuroscience Technology Research de Praga (República Txeca), per mesurar els patrons d'ones cerebrals de persones mentre mastegaven xiclets de diferents sabors.

1998: A Peter Fong del Gettysburg College (Estats Units) per contribuir en la felicitat de les cloïsses donant-los Prozac.

1999: Al doctor Paul Bosland director del The Chili Pepper Institute (Estats Units) per cultivar bítxos de Jalapeño que no piquen.

2000: A Richard Wassersug de la Universitat de Dalhousie per l'informe La comparativa de palabilitat d'alguns capgrossos durant l'estació seca de Costa Rica.

Més Harry Bosch

L'última vegada que vaig parar del detectiu de ficció Harry Bosch va ser després de llegir Pasaje al paraiso des de llavors ha plogut força i he llegit els 5 següents. El vuelo del Ángel, Más oscuro que en la noche, Ciudad de Huesos, Luz Perdida i Cauces de Maldad.

A El vuelo del Ángel Bosch s'enfronta a l'assassinat d'un advocat negre (Howard Elias) que acostumava a portar casos contra el departament de policia. Amb tots els policies que volien a Ellias mort i amb els disturbis de 1992 presents en la comunitat negra de Los Angeles, Bosch ha de buscar culpables dins del cos de policia i investigar el cas que portava l'advocat per mirar de buscar possibles culpables.

A Más oscuro que la noche Harry Bosch coincideix amb Terry McCaleb, un altre dels personatges de Connelly. En aquesta ocasió Bosch participa en un judici com a detectiu contra un director de cinema. D'altra banda, a McCaleb li fan arribar una escena del crim molt estranya. Amb els elements presents a l'escena McCaleb la relaciona amb el pintor flamenc Hieronymus Bosch (El Bosco) i això amb Bosch, amb qui havia treballat en alguna ocasió. Harry Bosch intentarà fer tancar al director i per una altra banda demostrar la seva innocència.

El cas de Ciudad de Huesos torna a ser un d'aquells que no agrada a ningú. El dia d'any nou un gos va trobar un os enterrat i l'amo, metge jubilat, denuncia la trobada d'un os humà. Hores després troben un nen de 12 anys que havia estat enterrat aproximadament 20 anys. Absorbit pel cas, Bosch revisa els arxius de desapareguts per mirar de lligar caps, havent passat 20 anys tot es complica.

Després de molts anys de tensions amb els caps del departament Bosch abandona el cos i Luz Perdida és el primer llibre amb Harry Bosch com a investigador privat. Tot i això, la veritable passió de Bosch segueix sent la de resoldre casos i en revisa un d'antic. Es tracta de l'assassinat d'una jove que treballava en una productora de cine. Pocs dies després del crim roben (deixant un mort i un ferit) 2 milions de dòlars que s'estaven fent servir en el rodatge d'una pel·lícula. Bosch que no creu en aquestes casualitats i convençut de la relació entre els dos crims decideix seguir la pista dels diners. Seguint la pista es fica enmig d'una investigació de l'FBI relacionada amb el terrorisme. Amb tot aquest merder es veu obligat a distanciar-se de la investigació però la seva tossuderia fa que es retrobi amb la seva ex dona, Eleanor Wish.

A Cauces de Maldad Bosch rep la petició de Graciela McCaleb d'investigar la mort del seu marit Terry. Paral·lelament a això, Rachel Walling és cridada des de Quantico: han trobat més víctimes del Poeta a qui l'FBI considerava mort (públicament). El Poeta segueix matant. Entre els arxius de McCaleb Bosch troba pistes que el portaran a pensar que el Poeta segueix viu i que ha matat a Terry perquè li estava seguint la pista.

I el perquè aquesta entrada? Doncs resulta que la setmana passada vaig trobar-me una estàtua que em va cridar molt l'atenció. És la següent i es troba al costat de la porta principal de la Basílica de Sant Esteve de Budapest.

Ja torno a estar actiu, a veure fins quan dura. Piles carregades!!