dilluns, 18 de gener de 2010

Problema 2: La barca

Veient que el problema de la setmana passada va tenir prou èxit aquesta setmana en cau un altre. Aquest problema és una lleugera adaptació d'un problema que em vaig trobar a finals d'estiu.

Últimament l'Alasanid ha estat menjant molts bombons i necessita fer una mica d'exercici. Així doncs, decideix agafar la barca i una capsa de bombons i se'n va a remar riu a munt. Quan ja porta una bona estona remant es troba amb un pont que creua el riu i en passar-hi per sota la capsa cau a l'aigua se'n va riu aball arrossegada pel corrent. Quaranta minuts més tard s'adona de la pèrdua i sense pensar-s'ho un segon gira de cop i comença a remar altra vegada cap al pont. Com és costum en ell la velocitat respecte l'aigua en la pujada i la baixada és la mateixa (compte, primer anava contracorrent i ara a favor del corrent). Si troba la capsa de bombons surant a 2 km del pont, a quina velocitat baixa el riu?

6 comentaris:

matgala ha dit...

Per no ser jo la que sempre posa la solució...

No es pot saber quina distància ha pujat i a quina velocitat va. Però si que es pot saber el temps que triga a baixar i la velocitat del riu.

Si es considera el temps en hores (ejem... sense sistema internacional) i la velocitat en Km/h, el temps que triga a baixar i la velocitat són inversos. És correcte? :-D

matgala ha dit...

Després de deixar passar un temps prudencial i veient que ningú s'anima...

La velocitat de l'aigua del riu és de 1.5 Km/hora i l'Alasanid triga també 40 minuts a baixar.

Les equacions:

d: distància pujada (Km)
v: velocitat de l'Alasanid (Km/h)
vR: velocitat del riu (Km/h)
t: temps de baixada (h)

En pujada: d=2/3*(v-vR) (1)
En baixada: d+2=t*(v+vR) (2)
L'aigua del riu: 2=vR(t+2/3) (3)

Aïllant d d'(1) i (2) i igualant, i afegint (3) a l'equació que surt, s'obtè t=2/3 (40 min), i fent servir (3) s'obtè vR = 3/2.

De les dues equacions (1) i (2) no es pot treure el valor de d i v.

Alasanid ha dit...

És justament això, 1.5 km/h i la resta de coses no es poden determinar.

I la veritat és que fins ara l'he fet servir ben poc el sistema internacional, intentaré arreglar-ho.

Pel que fa a la resolució del problema en vaig llegir una de més intuïtiva en un llibre de George Gamow.

Es tracta de tenir un sistema de referència que segueixi la capsa de bombons des del moment en què aquesta cau a l'aigua, es a dir el sistema de referència baixa pel riu a velocitat constant a vR.

D'aquesta manera la barca es mou tant en la pujada com en la baixada a v. I si triga 40 minuts en girar sabem que per tornar a la capsa en trigarà 40 més. D'altra banda tenim que la capsa ha baixat 2 km en 80 minuts i això fa 2/(4/3)=1.5 km/h.

Joan Ayats ha dit...

Hola, he intentat, no ja resoldre-ho, si no tan sols entendre la solució, però hauré de deixar-ho per quan tingui el cap menys espès.


Salut!

Gerard ha dit...

Ara que tinc més temps lliure:

La velocitat de la barca sobre de l'aigua es "suma" o es "resta" en funció de la direcció, perquè l'aigua va a velocitat constant (ni s'accelera ni fa coses rares, ni aplica forces sobre la barca (s'hauria de justificar més bé però ja es veu que és així)). Per tant, podem considerar que el riu està quiet i la solució serà la mateixa. Si el barquer tarda 40 minuts a adonar-se de la pèrdua, com que el riu està "quiet", en necessitarà 40 més per tornar on estava (això fan 80 minuts). Ara, retornant al "moviment", la capsa, que es mou amb el riu, està a 2km del pont: i recórrer 2km en 80 minuts són 1,5 km/hora.

Alasanid ha dit...

Gerard Temps lliure... Em sembla que és un recurs força escaç.