Jugant amb el joc del caos

En el post anterior vaig parlar del joc del caos i un dels comentaris em va convidar a jugar-hi una mica, en fer proves i petits canvis en la manera de construir el joc, he canviat alguna de les normes.

Aquest joc és un cas particular del que es coneix com a Iterated Function System (sistema de funcions iterades). L'IFS ja el tractaré en escrits futurs.

De les preguntes de la matgala només n'he pogut resoldre algunes, les que són més matemàtiques les deixo per més endavant, ara m'he centrat en les experimentals. Totes les imatges que hi ha penjades són agafant 100.000 punts (segurament en alguna d'elles n'hi ha algun menys).

1.- Què passa quan hi ha punts que tenen més probabilitats de sortir quan es fa la tria aleatòria? En la imatge següent el vèrtex 1 és al punt (-1, 0), el 2 a (1, 1) i el 3 a la part superior.

Aquí les probabilitats de sortir els punts 1, 2 o 3 eren del 66, 22 i 11 % respectivament. Com es pot veure els punts s'han acumulat a la part esquerra inferior dels triangles.

2.- Què passa si a algun dels tres vèrtex se li aplica una reducció superior? Es a dir si enlloc de reduir-se la distància a la meitat es redueix 2.5 vegades?

En aquest cas el que té el factor 2.5 és el vèrtex 2. Es veu clarament que els altres dos segueixen fent el mateix mentre que aquest fa que la figura es contragui una mica més cap al vèrtex 2.

I si s'aplica a tots els vèrtex una reducció de 3 el resultat és aquest:

En aquesta imatge les reduccions són de 2, 2 i 1.5 pels vèrtex 1, 2 i 3 respectivament:
El fet que les reduccions del vèrtex 3 siguin inferiors a la meitat fan que alguns triangles se superposin.

3.- I si el triangle no és equilàter?

Doncs cap problema.

4.- I si inicialment partim d'un quadrat què passa?
Doncs tenim un problema que es pot solucionar canviant les reduccions de cada vèrtex.
Si la reducció és de 2.1 ja desapareix el mar de punts anterior.

Com en el cas del triangle també podem aplicar reduccions diferents a cada vèrtex i ens queda:
Si fem 2.5, 2, 2, 2 els vèrtex els compto en sentit contrari a les agulles del rellotge començant des del punt (0, 0) que és el primer.

5.- I què passa amb 5 vèrtex? Doncs més del mateix:

Aquesta reducció és de 2 per tots els vèrtex però si la fem de 3.5 queda el que ens podíem esperar:
I podríem seguir. El que ens mostra això és que si es troba la reducció adequada la figura resultant és una còpia de l'original feta a escala en cadascun dels vèrtex i passa el mateix per cadascuna de les còpies a escala.

I per acabar us animo a proposar preguntes d'aquestes, què passa si...?