diumenge, 28 de març de 2010

Problema 4: Un problema de pes

Aquí ve el 4t problema, de moment encara no sé quin patró seguir i per tant, els vaig deixant anar a mesura que em van passant pel cap. Que vagi bé.

A l'Alasanid li agrada viatjar i de tant en tant agafa l'avió. Un cop a l'avió l'avorriment fa que es fixi més del normal en les converses del voltant. I l'última era realment curiosa. Va ser en un vol de Nova York (NY) a Barcelona molt peculiar, el pilot va seguir el paral·lel.

Un parell de noies comentaven uns fets molt estranys. Sembla ser que una d'elles s'havia pesat durant el viatge d'anada (el vol de BCN a NY) i la bàscula havia deixat de pujar just als 60 kg; havia de procurar no sobrepassar aquesta xifra. Però tot i el règim en terres americanes en aquell moment tornava de pesar-se i s'havia engreixat mig quilo! Després de pensar-hi una mica l'Alasanid no va poder evitar de deixar anar una bona rialla. I es va tornar a concentrar en les vistes de l'oceà que oferia aquell meravellós vol a 10.000 metres i 900 km/h.

Què se'ls escapava a les noies?

Una possible resposta:
Aquest problema necessitava conèixer la física del problema (i dubto que cap de le snoies ho fos) i és aconsellable de mirar-se'l des de fora de la Terra per veure quines forces actuen sobre els cossos (principalment sobre la noia).

Com es pot veure al gif la Terra gira cap a l'Est (bé, el gif és fet a partir de les evidències experimentals, no al contrari).

En un vol BCN-EUA la velocitat del planeta (d'un punt de la superfície) i de l'avió estan en sentit contrari. En canvi en el vol EUA-BCN les dues tenen el mateix sentit. Aquesta diferència de velocitats de gir respecte del centre de la Terra farà que un observador a l'avió noti unes forces fictícies, una d'elles la centrífuga. I la bàscula mesura el pes de la noia (la famosa component normal $N$).

Així doncs ataquem el problema. El pilot fa una cosa molt estranya, i és passar pel paral·lel 42 (que ens facilita els càlculs), quan el més curt seria seguir una geodèsica, un cercle màxim. Per tant treballarem amb un radi $R = R_T cos(\frac{\pi}{2}-\theta) = 4.73 \cdot 10^{6} m$

L'expressió de la velocitat angular per la Terra i l'avió són les següents:

$\omega_T=\frac{2\pi}{24 \cdot 3600} = 7.27 \cdot 10^{-5} rad/s$, és l'angle que recórre la Terra en una rotació (en un dia).
$\omega_a=\frac{v_{avio}}{R} = 5.28 \cdot 10^{-5} rad/s$ les unitats en SI.

Per tant la velocitat angular resultant $\omega_R$ serà. I
$\omega_R = \omega_T + \omega_a = 1.26 \cdot 10^{-4} rad/s$ Pel viatge NY-BCN
$\omega_R = \omega_T - \omega_a = 1.99 \cdot 10^{-5} rad/s$ Pel viatge BCN-NY

I l'acceleració centrífuga (força fictícia) serà $a_c=\omega^2R$ i per tant la força sobre la noia $N=m(g-a_c)$, la força de la rotació tendeix a allunyar la noia de la Terra, l'aixeca de la bàscula. Es poden menysprear els 10 km de l'avió enfront dels més de 4.000 del radi que prenem.

$a_{c1}=0.08 m/s^2; a_{c2}=0.002 m/s^2$

Així doncs en el viatge d'anada va mesurar 60 kg. Cal tenir en compte que les bàscules són el principal problema pels qui intentem diferenciar massa i pes. Ja que pesuren pes i donen la massa equivalent a la Terra. Es pot desfer el canvi multiplicant per $g$ i llavors s'obté, altra vegada el pes.

La noia es va pesar al primer vol i per tant si va otenir 60 kg:
$60 \cdot 9.8=m(9.8-0.002); m = \frac{60 \cdot 9.8}{9.8-0.002} \simeq 60 kg$

I al viatge de tornada es va tornar a pesar i va marcar 60.5 kg:
$60.5 \cdot 9.8=m(9.8-0.08); m = \frac{60.5 \cdot 9.8}{9.8-0.08} \simeq 61 kg$

La noia s'havia engreixat més del que deia la màquina!!! Quina sorpresa es deuria endur quan ho va tornar a fer a casa, segur que va donar les cúlpes als de l'aerolínia. I es que viatjar és perillós!!

6 comentaris:

matgala ha dit...

No he acabat d'entendre una cosa: les dues vegades es va pesar a dalt de l'avió? O la vegada dels 60 Kg era a dalt de l'avió i la dels 60.5 a terra?

Alasanid ha dit...

Es va pesar una vegada en el vol d'anada (60 kg) i una altra al de tornada (60.5 kg).

matgala ha dit...

Mmm... Doncs jo em rendeixo. No sé per què. A mi també se m'escapa alguna cosa...

Diràs la solució si d'aquí uns dies ningú la dóna?

Gerard ha dit...

La meva proposta: la terra no és esfèrica (com a mínim no del tot :D)

Alasanid ha dit...

matgala. Donaré la solució si ningú la dóna, de moment esperaré una mica.

gerard. Sí, la Terra no és esfèrica. Però les pesades es fan sobre el mateix paral·lel i dubto que afecti tant.

El problema de la noia està més relacionat en on es pesa i com pesa la bàlsula d'aquell avió, suprosem que és electrònica.

Alasanid ha dit...

Problema resolt.