dissabte, 30 de novembre de 2013

Perdre per guanyar

Un dels resultats sorprenents de les matemàtiques és el següent:

Existeixen parelles de jocs, cada un amb probabilitat de perdre més alta que de guanyar, pels quals és possible de planejar una estratègia guanyadora jugant-hi de forma alternativa.

Aquest és l'enunciat de la coneguda paradoxa de Parrondo. Juan MR Parrondo, físic espanyol, va descriure una parella de jocs en què es donava aquest fenomen.

Imaginem el joc següent. Una moneda és perfecta si la llencem ens surt cara o creu amb la mateixa probabilitat: la probabilitat de guanyar ($P_g$) i la probabilitat de perdre ($P_p$) prenen el mateix valor $P_g=P_p=1/2$. En el joc de Parrondo la moneda està trucada de de manera que guanyem la partida amb probabilitat $p_g=1/2-\epsilon$ i perdem la partida amb probabilitat $p_p=1/2+\epsilon$.

Ara ens diuen que si guanyem una partida ens donen 1 € i si la perdem ens treuen 1 €. Amb aquest joc és fàcil veure que si perdem més vegades de les que guanyem estem condemnats al fracàs. Si hi juguem una estona ens adonem de com anem perdent diners a un ritme alarmant (tot i que lineal!!). A la gràfica es pot veure l'evolució del nostre capital partint de 500 €, jugant-hi 5000 vegades i imposant $\epsilon=0.1$.


De fet podem calcular la tendència aquesta:
$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \left[ \left(\frac{1}{2}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right] = D(0) -2\epsilon t$$

El valor mitjà dels nostres diners serà una recta amb coordenada a l'origen $D(0)=500 €$ i amb pendent $-2\epsilon$ €/tirada. Es a dir, comencem amb 500 € i n'anem perdent 0.2 després de cada tirada, o en altres paraules; de cada 5 tirades en guanyem dues i en perdem tres.

El segon joc al que juguem és una mica més complicat però ve a dir el següent. Si el valor dels nostres diners és múltiple de 3 guanyem la partida amb probabilitat $P_g=0.1 - \epsilon$ i la perdem amb $P_p=0.9 + \epsilon$. D'altra banda, si els nostres diners no són múltiples de tres guanyem amb $P_g=0.75-\epsilon$ i perdem amb $P_p=0.25 + \epsilon$.

D'entrada no podem dir si sortirem guanyant o perdent diners amb aquest joc. Si hi juguem una estona ens adonem que duu al mateix desastre. A continuació tenim el resultat de jugar al joc 1 i 2 amb $\epsilon=0.05$


No és que ens ho sembli.. Els dos jocs són estadísticament igual de dolents com podem veure si fem un càlcul ràpid, i incorrecte, dels diners en funció de la tirada:

$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \frac{1}{3}\left[ \left(\frac{1}{10}-\epsilon\right) - \left(\frac{9}{10}+\epsilon \right)\right] t + $$ 
$$\qquad+ \frac{2}{3}\left[ \left(\frac{3}{4}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{4}+\epsilon \right)\right]t = D(0) -2\epsilon t$$

I ara ve la genialitat de Parrondo. Què passa quan juguem als dos jocs alhora?? En el meu cas el que he fet ha estat intercalar dues partides d'un joc amb dues partides de l'altre joc. Els resultats.. Curiosos.

A la figura es pot apreciar que per a valors prou petits del paràmetre $\epsilon$ la combinació dels dos jocs perdedors donen lloc a un joc guanyador. Per a fer-ho ben fet hauríem de pintar el resultat de molts jocs i veure'n l'estadística.

Amb això ens queden clares dues coses. La primera és que la teoria de jocs ens amaga moltes sorpreses. La segona és que tot i que hi hagi jocs en què es dóna.. No passa sempre, en el nostre cas depèn del paràmetre $\epsilon$. Només hi ha beneficis per a $\epsilon$ prou petits.

La conclusió és que, tot i la Paradoxa de Parrondo, encara que es jugui al joc 1 i al joc 2 i els dos siguin clarament perdedors, el resultat d'anar-los combinant no té perquè tenir bones conseqüències.

4 comentaris:

Sheldon Cooper ha dit...

Molt bona, Alasanid! Ja se't trobava a faltar, per aquí.

Fa un temps vaig estar estudiant una mica de teoria de jocs i té resultats sorprenents molt sovint. A veure per quan ens prepares alguna cosa sobre equilibri de Nash per algun joc curiós.

Fins la propera!

P.S: t'has deixat una 't' en cada fórmula (ja sabràs veure on falten).

Alasanid ha dit...

Intento tornar al món. Ara tinc la falsa sensació de tenir molt temps. Potser m'ajuda una mica passar per aquí.

Equilibri Nash.. Uhm.. Gràcies per la idea.

Ens veiem Shelly.

Xavier Viader ha dit...

Perdre + Perdre =/= Perdre

Visca la no linealitat!

Alasanid ha dit...

Bon resum!

Que visqui!! Però sempre fa por.