Perdre per guanyar

Un dels resultats sorprenents de les matemàtiques és el següent:

Existeixen parelles de jocs, cada un amb probabilitat de perdre més alta que de guanyar, pels quals és possible de planejar una estratègia guanyadora jugant-hi de forma alternativa.

Aquest és l'enunciat de la coneguda paradoxa de Parrondo. Juan MR Parrondo, físic espanyol, va descriure una parella de jocs en què es donava aquest fenomen.

Imaginem el joc següent. Una moneda és perfecta si la llencem ens surt cara o creu amb la mateixa probabilitat: la probabilitat de guanyar ($P_g$) i la probabilitat de perdre ($P_p$) prenen el mateix valor $P_g=P_p=1/2$. En el joc de Parrondo la moneda està trucada de de manera que guanyem la partida amb probabilitat $p_g=1/2-\epsilon$ i perdem la partida amb probabilitat $p_p=1/2+\epsilon$.

Ara ens diuen que si guanyem una partida ens donen 1 € i si la perdem ens treuen 1 €. Amb aquest joc és fàcil veure que si perdem més vegades de les que guanyem estem condemnats al fracàs. Si hi juguem una estona ens adonem de com anem perdent diners a un ritme alarmant (tot i que lineal!!). A la gràfica es pot veure l'evolució del nostre capital partint de 500 €, jugant-hi 5000 vegades i imposant $\epsilon=0.1$.

De fet podem calcular la tendència aquesta:

$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \left[ \left(\frac{1}{2}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)\right] = D(0) -2\epsilon t$$

El valor mitjà dels nostres diners serà una recta amb coordenada a l'origen $D(0)=500 €$ i amb pendent $-2\epsilon$ €/tirada. Es a dir, comencem amb 500 € i n'anem perdent 0.2 després de cada tirada, o en altres paraules; de cada 5 tirades en guanyem dues i en perdem tres.

El segon joc al que juguem és una mica més complicat però ve a dir el següent. Si el valor dels nostres diners és múltiple de 3 guanyem la partida amb probabilitat $P_g=0.1 - \epsilon$ i la perdem amb $P_p=0.9 + \epsilon$. D'altra banda, si els nostres diners no són múltiples de tres guanyem amb $P_g=0.75-\epsilon$ i perdem amb $P_p=0.25 + \epsilon$.

D'entrada no podem dir si sortirem guanyant o perdent diners amb aquest joc. Si hi juguem una estona ens adonem que duu al mateix desastre. A continuació tenim el resultat de jugar al joc 1 i 2 amb $\epsilon=0.05$

No és que ens ho sembli.. Els dos jocs són estadísticament igual de dolents com podem veure si fem un càlcul ràpid, i incorrecte, dels diners en funció de la tirada:

$$\left\langle D(t) \right\rangle = D(0) + \frac{1}{3}\left[ \left(\frac{1}{10}-\epsilon\right) - \left(\frac{9}{10}+\epsilon \right)\right] t +$$  

$$\qquad+ \frac{2}{3}\left[ \left(\frac{3}{4}-\epsilon\right) - \left(\frac{1}{4}+\epsilon \right)\right]t = D(0) -2\epsilon t$$

I ara ve la genialitat de Parrondo. Què passa quan juguem als dos jocs alhora?? En el meu cas el que he fet ha estat intercalar dues partides d'un joc amb dues partides de l'altre joc. Els resultats.. Curiosos.

A la figura es pot apreciar que per a valors prou petits del paràmetre $\epsilon$ la combinació dels dos jocs perdedors donen lloc a un joc guanyador. Per a fer-ho ben fet hauríem de pintar el resultat de molts jocs i veure'n l'estadística.

Amb això ens queden clares dues coses. La primera és que la teoria de jocs ens amaga moltes sorpreses. La segona és que tot i que hi hagi jocs en què es dóna.. No passa sempre, en el nostre cas depèn del paràmetre $\epsilon$. Només hi ha beneficis per a $\epsilon$ prou petits.

La conclusió és que, tot i la Paradoxa de Parrondo, encara que es jugui al joc 1 i al joc 2 i els dos siguin clarament perdedors, el resultat d'anar-los combinant no té perquè tenir bones conseqüències.

No tot és el Higgs

Vaig molt tard.

Fa mesos que no escric res i ja és hora de trencar el silenci. Hi ha moltes coses que m'hauria agradat escriure aquest últims mesos, o fins i tot anys. He vist que al blog no hi ha activitat contínua ben bé des de fa massa temps. Han passat moltes coses des que vaig deixar d'escriure de manera més o menys regular. Una de les que m'ha afectat directament és veure com, de tant en tant, alguna notícia física es propaga pels mitjans de comunicació. En aquest cas les dues notícies rellevants han estat els neutrins del CERN a l'OPERA i la descoberta del bosó de Higgs.

Primer va ser un neutrí (I i II) que es va escapar del CERN. Aquest neutrí, en Faustino (veure vídeo dels Beatlestones), va ser notícia i els mitjans de comunicació es van afanyar a fer dues coses: remarcar que uns científics havien descobert partícules taquiòniques (quan ells el que feien era demanar ajuda a la comunitat física per veure què hi havia malament); i la segona, dir que Albert Einstein i la Teoria de la Relativitat estaven obsolets. Però com podem comprovar, els neutrins segueixen anant a la velocitat que els correspon com a partícules amb massa no nul·la i els aparells de GPS encara funcionen.

Pel que fa al bosó de Higgs.. Se n'ha parlat molt i molt. Va ser notícia que ara algú pogués mesurar una predicció de fa quasi 50 anys. La feina que s'ha fet al CERN ha estat increïble i crec que en algun moment se'ls haurà de donar un Premi Nobel per reconèixer-ho (i que consti que tinc unes inclinacions més teòriques que no pas experimentals!!). Per la seva banda, Peter Higgs va matar el tema l'any 1964 amb un magnífic article de pàgina i mitja. Els càlculs són bàsics per algú amb nocions bàsiques d'electrodinàmica quàntica (QED) i el toc de genialitat està en la interpretació. D'altra banda, Englert i Brout, en el mateix volum de la revista, fan el camí pel dret i acaben fent una bona colla de càlculs (que tenen molt mala pinta) i acaben dient coses semblants tot i que no tan contundents com Higgs.

Amb el títol d'aquesta entrada podria voler dir dues coses. La primera és que a la física hi ha molt més que el Higgs, cosa que és totalment certa. La segona és que amb la descoberta del bosó de Higgs tenim confirmat el model que descriu aproximadament un 2% de la massa del nostre cos. I això queda lluny de la idea del 100% de la massa que, pel que he interpretat a la tele, hauria d'explicar.

Els humans, i en general tot el que podem veure al nostre voltant, estem fets d'àtoms. Els àtoms, per la seva banda, estan constituïts per protons, neutrons i electrons. Els electrons són partícules elementals del model estàndard. Els protons i neutrons, en canvi, són formats per quarks.

El model de Higgs s'aplica a les partícules del model estàndard. Per tant, confereix massa als quarks que constitueixen els protons i neutrons i directament als electrons.

Els electrons tenen una massa $m_e=0.511 MeV/c^2$ (que és la unitat que fan servir els particuleros o $9.1\cdot10^{-31} kg$ pels qui anem a comprar al mercat). Els quarks que formen els protons i neutrons són l'up (u) i el down (d) (Postulats per Murray Gell-Man també l'any 1964!!!!! Però guanyador del Nobel el 1969). La massa del quark up és $m_u=2.3 MeV/c^2$ i la del quark down és $m_d=4.8 MeV/c^2$.

Un protó constituït per tres quarks (uud) té una massa deguda al Higgs de $m_{p,H}=9.4 MeV/c^2$ i un neutró constituït per tres quarks (udd) té una massa deguda al Higgs de $m_{n,H}=11.9 MeV/c^2$. La diferència de masses és de l'ordre del 20% i en canvi sempre ens diuen que si fa no fa un protó i un neutró tenen la mateixa massa. Per arreglar-ho fem el que s'ha de fer. Fem un experiment i mesurem la massa dels protons i neutrons i obtenim que el protó té una massa $m_p=938.3 MeV/c^2$ i el neutró $m_n=939.6 MeV/c^2$, les diferències de massa estan al 0.15%!! Què ha passat aquí??? Pel que podem veure un nucleó té una massa que és de l'ordre de 100 vegades superior als seus constituents.

Per a veure-hi més enllà en tenim prou amb una frase. El tot és la suma de les parts més les interaccions. En el cas dels nucleons el que manté confinats els quarks són unes partícules sense massa, els gluons. Aquests gluons són els intermediaris de la força nuclear forta. La cromodinàmica quàntica (QCD) és la teoria que descriu la interacció entre quarks i gluons, coloquialment, la interacció de color. L'energia per a mantenir confinats els quarks és la principal responsable de l'alta massa dels protons i neutrons. Si tornem a Einstein tenim: $E=mc^2$. I d'aquí podem veure que quantitats prou grans d'energia tenen una certa contribució en massa tal que $m=E/c^2$. D'aquí provenen les unitats de massa que fan servir els físics de partícules (i nuclears) ja que un MeV és una unitat d'energia. Pel que fa als electrons, ara podem veure que la seva massa és pràcticament menyspreable (un 0.2% respecte la del nucleó).

Una altra energia que també es nota a la massa és la de lligam dels nuclis. Sempre ens ensenyen que les càrregues d'igual signe senten repulsió i al nucli només hi ha protons (càrrega +) i neutrons (càrrega 0). Una manera una mica patillera de dir com s'aguanta és dir que els confina una interacció residual de la força nuclear que està unint els trios de quarks a cada nucleó. En un àtom de carboni amb 6 protons i 6 neutrons l'energia de lligam del nucli és d'uns 90 MeV (Aquest valor indica que un nucli que carboni-12 té una massa equivalent a uns 200 electrons menys que la que tenen 6 protons i 6 neutrons independents). 

Aquesta energia de lligam ha estat tocant els nassos durant anys a la física nuclear per culpa dels químics. Una unitat que agrada molt als químics és el dàlton (Da) o unitat de massa atòmica (uma). La uma es defineix a partir de la massa del carboni-12 i dividint entre 12 ja que el carboni-12 conté 6 protons i 6 neutrons. Una uma equival a una massa d'uns  $931 MeV/c^2$, la desviació entre aquesta massa i la massa dels nucleons és essencialment una 12 part de l'energia de lligam. Per tant, la uma és una unitat que s'ha d'evitar si et dediques a la física nuclear (però que va bé a la física atòmica (altrament anomenada química)).

I ara tornem al tema del Higgs!! Un humà estàndard està constituït essencialment per carboni (6 protons, 6 neutrons i 6 electrons per àtom), per nitrogen (7 protons, 7 neutrons i 7 electrons per àtom), oxigen (8, 8 i 8) i altres elements lleugers que contenen, aproximadament el mateix nombre de protons que de neutrons i electrons. L'hidrogen és l'únic que se n'escapa i en general està format per un protó i el seu electró.

Així doncs, l'humà estàndard està format pel doble de nucleons (neutrons+protons) que d'electrons. Hi ha alguna excepció, però ja hem dit que tractem l'humà estàndard. Hem vist que el mecanisme de Higgs explica aproximadament un 1% de la massa de protons i neutrons i que la massa d'un electró és unes dues mil vegades inferior a les dels electrons. Així doncs, després de tantes notícies dient que el Higgs explicava la massa, veiem aquesta contribució és només d'entre 500 i 1000 grams en una persona ordinària.

I per acabar... Felicitats a tots els qui han fet possible aquesta història i en especial els guanyadors del Nobel d'aquest any.

El llenguatge de la naturalesa

A l'article passat vam veure com a partir d'un model ben senzill i intuïtiu podíem reproduir estructures de gran complexitat com les que ens planteja la naturalesa dels processos d'agregació. Però com podem relacionar les simulacions amb la realitat?? Per a fer-ho farem cas a un dels grans, Galileu va dir una vegada que les matemàtiques són l'alfabet amb el qual Déu ha escrit l'Univers. Tot i que en ciència fer cas a una autoritat no vol dir res, és una d'aquelles frases que amb els anys s'ha anat veient que era encertada.

Tornant al problema de l'agregació recupero una de les imatges que ja vaig penjar ja que és molt il·lustrativa: 

Matemàticament podem definir la probabilitat que en l'instant N (es a dir que després de N passos) la partícula estigui al punt X (si està en un pla, X serà una parella de nombres, les coordenades del punt (x,y)). $P(N,X)$ és aquesta probabilitat. Aquesta probabilitat dependrà només d'on era la partícula en l'instant anterior. A més a més serà equiprobable que vingui de qualsevol de les cel·les que li són veïnes. Matemàticament s'expressa com:

$$P(N,x,y)=\frac{1}{4}P(N-1,x-1,y)+\frac{1}{4}P(N-1,x+1,y)$$

$$\ \ \ \ +\frac{1}{4}P(N-1,x,y-1)+\frac{1}{4}P(N-1,x,y+1)$$

Fent l'aproximació que aquests increments són molt petits matemàticament podem suposar que $P(N,X)$ és una funció que podem desenvolupar amb sèrie de potències (en sèrie de Taylor). És a dir, la funció a prop d'un punt és la funció en el punt més una petita correcció.

$$P(N-1,X)=P(N,X)-\frac{\partial P(N,X)}{\partial N}+...$$

$$P(N,x-1,y)=P(N,x,y)-\frac{\partial P(N,x,y)}{\partial x}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(N,x,y)}{\partial x^2}+...$$

$$P(N,x+1,y)=P(N,x,y)+\frac{\partial P(N,x,y)}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(N,x,y)}{\partial x^2}+...$$

I el mateix per la y. Veiem que les derivades primeres espaials (x i y) es cancel·len i per tant hem d'anar a mirar què passa amb les derivades segones. Si ho fiquem tot en ordre i ben sumat obtenim una equació diferencial per a la probabilitat. Per simplificar-ho tot una mica les derivades segones s'agrupen en l'operador laplacià (per comoditat i per escriure-ho en un llenguatge modern i per generalitzar a més dimensions).

$$\frac{\partial{P(N,X)}}{\partial N}=\frac{1}{2}\nabla^2 P(N,X)$$

Aquesta és l'equació que governa la probabilitat d'una partícula. Les condicions de contorn seran les que definiran cada problema. Ara podem fer l'aproximació que el procés és lent i que, per tant, la derivada respecte del temps és petita (i com que és petita... Bum!! La fem 0). El nostre problema obeeix l'equació de Laplace:

$$\nabla^2 P(N,X)=0$$

L'equació de Laplace governa els processos de difusió (com acabem de veure). Això no ens diu més que el que ja hem vist fins ara. Els fenòmens d'agregació de metalls són deguts a una diferència de potencial electrostàtic sense dependències temporals. Si anem a veure quines lleis els governen (primera equació de Maxwell) resulta que el potencial elèctric satisfà l'equació de Poisson. La càrrega elèctrica està confinada en una regió de l'espai, l'agregat. Per tant, en la dissolució tenim:

$$\nabla^2 \phi(x)=0$$

I vinga, l'últim ja és més sofisticat i agafat pels pèls. La inestabilitat de Saffman-Taylor es produeix en un medi en què una de les dimensions és molt més petita que les altres dues (per exemple, en l'espai confinat entre dues plaques de metacrilat). En física de fluids aquesta configuració es coneix com a cel·la de Hale-Shaw i les equacions que governen el moviment del fluid són..

$$\vec{v}=c\nabla p \overset{\nabla\cdot\vec{v}=0}{\longrightarrow} \nabla^2 p =0$$

On hem hagut de suposar que el fluid és incompressible, que no incomprensible, amb $\nabla\cdot\vec{v}=0$. Veiem que la pressió és també harmònica (és harmònica perquè satisfà l'equació de Laplace).

D'aquesta manera podríem anar buscant sistemes fora de l'equilibri que obeeixin l'equació de Laplace. Aquests sistemes tenen molts números (per no dir tots!!) de formar unes estructures espectaculars. No és del tot rigorós però veiem que s'hi ensuma alguna cosa. De ben segur que algun dia algú tindrà una idea genial i aconseguirà explicar amb detall el DLA i per què forma les estructures que forma. S'ha intentat de renormalitzar però encara ningú prou llest o (astut o que hagi aconseguit de sobornar o fer xantatge a Déu per tal que li doni la resposta) per obtinir els valors exactes de la dimensió fractal (propera entrega) que es poden mesurar en un agregat.

Món microscòpic i simplicitat

Després d'iniciar-nos en les ramificacions anem a mirar d'entendre alguna cosa. Per a fer-ho construirem un model microscòpic per mirar d'explicar l'electrodeposició de la plata. Tal i com podem veure al bloc d'en PepQuímic podem obtenir fàcilment fractals de plata al laboratori. En Pep ens dóna una recepta (és increïble de fer i veure que surt!!).

Ara ens centrarem en els agregats de plata. Com diu en Pep els ions de plata van a l'elèctrode on hi ha electrons per tal de guanyar càrrega elèctrica negativa i comencen a agregar-se formant una estructura fractal. Què està passant?? Els ions de plata estan dissolts en aigua. D'altra banda, sabem que les molècules d'aigua i ions de plata estan en constant moviment. Hi ha xocs de tots amb tots. Per tant, podem considerar que els ions de plata segueixen un moviment erràtic.

Quan encenem la pila tots els ions de plata que hi impactin contra l'elèctrode negatiu (on hi ha els electrons) s'hi quedaran units en forma de plata metàl·lica. Com que la plata és conductora qualsevol io de plata que hi interaccioni guanyarà un electró i s'hi unirà en forma metàl·lica. L'agregat pot anar creixent.

Si el moviment dels ions és prou aleatori llavors podem entendre (de manera qualitativa) que els serà més fàcil d'enganxar-se als dits que vagi formant l'agregat enlloc de penetrar-lo i unir-se als estadis primerencs de l'agregat. Si els ions viatgessin de forma balística la cosa seria diferent però les trajectòries que recorren són recargolades i, per tant, és molt difícil que puguin passar per llocs estrets com ara entre els dits que anirà formant l'agregat. Amb aquest procés de creixement aniran apareixent branques i l'agregat anirà adquirint més i més complexitat.

Hem fet una hipòtesi per tal d'explicar el resultat. La ciència és el que ve a posteriori, hem d'examinar si amb aquestes hipòtesis som capaços d'aconseguir els resultats que esperem si no.. No serà més que xarlataneria i blablablà.

Per comprovar-ho hauríem de fer experiments i veure què en pensa la natura. Però si jo fes un experiment tampoc seria massa fiable, els qui em coneguin tindran motius per dubtar-ne. Per tant, he anat al món computacional on permet tenir tots els paràmetres sota control. 

Per a fer l'experiment he fet simulacions sobre un espai pla discretitzat, es a dir, he fet les simulacions a sobre d'un tauler d'escacs. Inicialment tenim tot el tauler en blanc i pintem la casella central de color negre (serà la llavor del nostre agregat). Posteriorment, deixem anar una partícula en un punt aleatori del tauler. Abans hem demanat que els ions viatgessin aleatòriament. En aquest moment imposem el moviment aleatori. Cada pas que farà la partícula que hem deixat anar serà random, es  a dir, podrà desplaçar-se a una de les 4 caselles veïnes amb la mateixa probabilitat (25 % d'anar endavant, endarrere, a la dreta o a l'esquerra). Tenim un caminant aleatori (no és ben bé un moviment brownià). Eventualment el caminant aleatori (o borratxo com també se'l coneix) es trobarà amb la llavor central (sabem que es trobaran perquè una trajectòria d'un random walk té dimensió 2 i, per tant, en un temps finit el podem trobar a una distància arbitràriament petita de qualsevol punt del pla). Quan es trobi amb la llavor central s'hi enganxa (pintem la casella anterior a col·lisionar amb la llavor de color negre). Ja tenim un agregat de dues partícules. Deixem anar una tercera partícula al tauler i deixem que es vagi movent aleatòriament fins a trobar-se amb l'agregat. I així fins a l'infinit!!

Aquí tenim un esquema del procés. Deixem anar una partícula des d'una circumferència centrada en la llavor i de radi més gran que l'agregat i deixem que es difongui (paralula clau) aleatòriament fins que eventualment arriba a b i s'hi enganxa. Aquest model es coneix com a DLA (Agregació Limitada per Difusió). És una agregació que ve donada única i exclusivament per la difusió de parícules, res més. Un model extremadament simple pel que es van fer famosos Witten i Sander a principis dels anys 80 i que va generar un gran interès durant uns anys. El resultat de les simulacions es pot veure a continuació (o buscant DLA a internet).

Aquesta imatge es correspon a un agregat de 40.000 partícules. Podem veure l'estructura de ramificacions que comentàvem. Podem veure en color les diferents etapes de creixement. Veiem que els punts més exteriors es converteixen en atractors de partícules, són els que capten les partícules que es difonen en el medi. Per un caminant aleatori és molt difícil d'avançar en línia recta i quan s'aproxima a una zona que s'estreny acaba enganxant-se a les parets. D'aquesta manera l'estructura de branques aconsegueix que la part interna de l'agregat esdevingui pràcticament inexpugnable.

Podem veure les diferents capes que es formen. Tenim unes desenes de milers de parícules.

En aquest gràfic hi ha 85.000 parícules. Podem veure les branques clarament.

Aquesta simulació es correspon a un autèntic moviment brownià. L'espai en què corren les partícules és "contínu" i 2-d. La longitud de cada pas que efectua el caminant té una distribució gaussiana (com es correspon al moviment brownià). Tenim dues trajectòries pintades. Per a ser realistes hauríem d'haver fet ús d'una constant de difusió coherent amb la natura però me n'he preocupat poc.

Des d'un punt de vista natural aquesta és una molt bona estratègia pels organismes vius. Un ésser viu busca intimar al màxim amb la naturalesa (com deia Wagensberg en una entrevista). Amb les ramificacions s'aconsegueix ocupar un gran espai. Deixar espais buits en l'estructura permetrà que amb el mateix nombre de partícules es tingui una superfície més gran, no s'estan malgastant esforços ni recursos i, al final del dia, acabem recollint més nutrients o el que sigui que busquem.

Amb certes condicions de nutrients i substrats els biòlegs són capaços d'aconseguir meravelles amb colònies de cèl·lules. Aquestes imatges em fascinen.

Al proper article farem ús del llenguatge de les matemàtiques per establir una relació entre els diferents agregats que es veuen a la natura. És amb les matemàtiques que podem veure-hi més enllà.

Ramificacions i la bellesa de la natura

Fa uns dies en Dani va parlar dels llamps i un dels videos que va enllaçat em va deixar fascinat. A continuació tenim el video en qüestió.

El vídeo mostra el procés de caure un llamp a una velocitat de captura a la que no estem acostumats. Al vídeo apreciem fenòmens que vistos directament ens passen desapercebuts. La descàrrega elèctrica es dóna en una sèrie de ramificacions. Aquest fet em recorda sempre la mateixa frase de Mandelbrot: 

Els núvols no són esferes, les muntanyes no són cons, les línies de costa no són cercles i les escorces no són suaus ni els llamps viatgen en línia recta.

I es que els humans estem sempre simplificant les coses al màxim. Als nens se'ls ensenya les figures geomètriques més elementals de la geometria euclidiana (Òbviament no se'ls ha d'ensenyar certes coses) i per sort alguns professors introdueixen els fractals als més petits. Amb els fractals es trenca amb el concepte de classe de geometria i apareix tot un ventall d'interacció amb els alumnes.

Amb aquest article vull començar una petita sèrie d'articles amb què pretenc unir unes quantes idees que tinc pel cap amb l'objectiu de comprendre per quin motiu els llamps no viatgen en línia recta (no seré ni rigorós ni el resultat a què arribi serà del tot lícit, però es podrà sospitar que hi ha d'haver alguna cosa al darrere).

Si googlejem una estona podem trobar imatges com les següents:

Aquesta és la imatge d'una mineral que ha format una dendrita

Aquesta imatge mostra un experiment en què s'ha injectat un fluid dins d'un altre fluid de forma sobtada (inestabilitat de Safman-Taylor).

Aquesta imatge mostra el trencament d'un dielèctric. Es a dir, s'ha forçat a passar corrent elèctric per un material aïllant.

Aquesta imatge mostra el creixement de cristalls de gel. També formen una estructura de dendrites.

Podem veure que trobem estructures molt similars en fenòmens aparentment molt diferents. Què té a veure el corrent elèctric amb un fluid injectat a pressió?? O amb la deposició d'un mineral?? O amb la congelació de l'aigua?? Així d'entrada un tendeix a pensar que res, però les formes que assoleixen ens porten a pensar que hi ha algun detall en comú, hi ha quelcom bàsic, fonamental, en tot plegat.

Aquest és punt en què el físic fa vàlida la frase d'Ernest Rutherford Tota la ciència és física o col·leccionisme de segells. Enlloc de mirar què diferencia les quatre imatges i començar a classificar intentem tractar-les amb el que tenen en comú. El que és més evident és la forma final que donen lloc. Les ramificacions i la complexitat ens criden l'atenció per sobre de tot. Nosaltres, però, veurem el que no és obvi, veurem què tenen en comú a nivell microscòpic.

Al proper article atacaré des d'un punt de vista microscòpic, i qualitatiu, la formació de dendrites i ho il·lustraré amb experiments fets al laboratori.