divendres, 3 de desembre de 2010

Problemes amb les velocitats

Fa gairebé dos mesos que no publico res i de ben segur que no és bo. Com que no vull que el blog acabi mort aquí teniu una entrada.

Una cosa que sorprèn és que la gent té molt interioritzat el concepte de mitjana aritmètica. I pot portar problemes en situacions tan quotidianes com el càlcul de velocitats mitjanes.

La velocitat mitjana d'un cotxe, per exemple, que recorre una distància $l$ en un temps $t$ és $v=l/t$.

El problema apareix quan tenim el vehicle recorrent aquesta distància $l$ a una velocitat $v_1$ i que quan torna ho fa a $v_2$. El més normal és dir que la velocitat mitjana del viatge ha estat $\frac{v_1+v_2}{2}$. Per sort (o per desgràcia) no és així. Per fer-ho ben fet hem d'agafar el problema amb més detall i seguir la definició de la velocitat mitjana.

En el nostre problema el cotxe recorre dues vegades la mateixa distància $l$. La primera vegada ho fa invertint un temps $t_1$ i la segona un temps $t_2$ de manera que la velocitat mitjana del viatge és $v=\frac{2l}{t_1+t_2}$. Però aquesta expressió no ens serveix! Nosaltres sabíem les velocitats i ara necessitem temps i distàncies. Si dividim el numerador i denominador de l'expressió anterior per la distància $l$ tindrem el resultat expressat amb les velocitats $v_1$ i $v_2$.

$v=\frac{2}{t_1/l+t_2/l}=\frac{2}{1/v_1+1/v_2}$.

Aquesta expressió dóna el valor de la mitjana (harmònica) de les velocitats. Si l'expressió resulta incòmoda sempre es poden sumar les fraccions per tal d'arreglar-la i queda $v=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}$.

Si volem ficar números els podem provar. Si tenim algú que va de Barcelona a Girona a 40 km/h i torna a 120 km/h la seva velocitat no és de 80 km/h com indica la mitjana aritmètica si no que és de 60 km/h.

Ara que sóc aquí aprofito per comentar un petit detall. Imaginem que al personatge que anava de Barcelona a Girona li han demanat de fer el viatge d'anada i tornada a una velocitat $v$ i que ha fet la primera part a $v_1$ quina seria la velocitat a què ha de tornar?

Amb l'expressió anterior (i després d'alguns intents frustrats) podem mirar d'aillar la $v_2$.

Si ho fem bé arribem a què $v_2=\frac{v_1v}{2v_1-v}$

Si tenim una mica de pràctica amb les fraccions veiem que la cosa no va massa bé si la velocitat d'anada és la meitat de la velocitat total (el denominador es fa 0). En aquest gràfic es pot veure una representació de com puja la velocitat de tornada a mesura a mesura que creix la velocitat $v$ que hem d'assolir en total. Es pot veure que a 2 la cosa peta ja que està tot expressat en proporció a $v_1$.

De manera que si ens diuen que ha pujat a 40 i la velocitat total ha estat de 80 no ens ho hem de creure de cap de les maneres.