dilluns, 28 de desembre de 2009

Udo d'Aachen

Una de les coses bones que té el passat és que per més que ens hi esforcem no el podem canviar. Això fa que els fets succeïts puguin ser recopilats pel que anomenem Història.

Com va dir Richard Feynman:

Quan un historiador diu "Napoleó va existir" o "Napoleó va ser o "que la Revolució Francesa va ser l'any 1783", vol dir que si tu mires en un altre llibre sobre aquesta Revolució Francesa trobaràs la mateixa data... 1789 probablement.

Amb això el que vull dir és que el que entenem per història no és més que els fets que apareixen a la majoria de llibres. Per exemple, a les escoles sempre s'ensenya que Colom va ser el primer Europeu que va arribar a Amèrica. Però se sap que no va ser el primer, es diu que també hi havien arribat àrabs, víkings... I sens dubte els qui ja havien colonitzat la zona.

I la història n'està plena d'aquests episodis. En la majoria de casos es tracta de personatges que estaven molt més avançats als seus coetanis qui van impedir que aquest personatge deixés una bona empremta als llibres d'història.

Un d'aquests personatges és un monjo Benedictí que va viure, aproximadament, entre el 1200 i el 1270. Com a monjo va dedicar una bona part del seu temps d'estudi a la poesia, la teologia i a la còpia de manuscrits. Sembla ser que com a poeta és l'autor del famós Fortuna Imperatrix Mundi que Carl Orff va incloure ja en el segle XX a l'obra Carmina Burana.

I com ja va deixar ben clar Gregor Mendel, un monjo amb inquietuds pot fer molta feina pel progrés del coneixement. I Udo va ser un d'aquests monjos, en el seu cas el que el va cridar van ser les matemàtiques.

Fa uns deu anys d'uns arxius alemanys en va sortir el que avui en dia es coneix com a Còdex d'Udo. Un còdex escrit en llatí i grec per Udo d'Aachen.

En el primer capítol Astragali (daus) destaquen les seves humils contribucions a la probabilitat. Udo havia derivat unes senzilles regles per a manejar probabilitats que resultaven pràctiques als jocs de daus i cartes.

Al segon capítol Fortuna et Orbis (Fortuna i cercle) Udo ens sorprèn amb una aproximació del número pi: 3.1418... (866/275) Si es té en compte la història d'aquest valor es pot veure que uns segles abans Ptolomeu n'havia fet ja una millor aproximació, però el que és realment interessant és el mètode. Udo va marcar una superfície (amb línies paral·leles amb la mateixa separació) i hi va dispersar unes branquetes (de la mateixa mida que la separació de les paral·leles). Fent ús de la probabilitat que havia desenvolupat i un indubtable toc de geni va arribar a la mateixa conclusió a la que arribaria Buffon segles més tard, Udo d'Aachen va concebre el que ara es coneix com Agulla de Buffon. Buffon va anunciar que si es feia aquest experiment, la probabilitat que una branqueta es creués amb una línia era de igual a pi/2, és a dir que a partir del número total de branquetes i les branquetes que creuaven les línies es pot obtenir una aproximació de la meitat de pi i, per tant, una aproximació del valor de pi.

Però la descoberta més gran d'Udo d'Aachen deixa aquestes una mica de banda. Com molta gent d'aquella època i encara més essent monjo tenia una veritable preocupació pels temes de cel i infern. I va idear un mètode molt curiós.

Udo va assumir que les ànimes de les persones estaven compostes per una part a la que va anomenar profana i una altra d'espiritual i com a home de números els va assignar un parell ordenat de números, a més a més, també va fer unes regles que li permetien d'operar amb ells i representar-los, el resultat final s'assembla molt al que avui es coneix com a números complexos, en què cada un té una part real i una d'imaginària (per ell una part profana i una altra d'espiritual).

I què en feia? Doncs una cosa molt interessant. Al naixement a cada persona se li assignaven una ànima (un parell de valors de profà i espiritual) i 70 anys de vida, cada any passava per un judici. Per representar el judici Udo el que feia era multiplicar l'ànima per ella mateixa i sumar-hi l'ànima primordial (la que se li havia assignat a l'inici). I curiosament hi havia ànimes que es mantenien a prop de l'origen i d'altres que de seguida marxaven, les primeres tenien lloc al cel, les segones no. Udo va marcar aquelles ànimes que es quedaven a prop del seu origen i la a figura resultant la va anomenar Divinitas. Tot i tirar del nou sistema de numeració, l'aràbic, Udo d'Aachen va trigar 9 anys en fer l'esquema de les ànimes. Però ja ho diuen: la fe mou muntanyes. I aquesta tasca va tenia una gran importància per determinar qui acabaria o no al cel.

Com es pot veure en aquesta il·lustració Udo va utilitzar el Divinitas per alguna cosa més que per determinar on anirien les ànimes. I sí, té una forma molt curiosa.

Si ens tornem a mirar com es calculaven les coses i passant als números complexos veiem que l'algorisme utilitzat per Udo és $Z_{i+1}=Z_i^2+Z_0$. I si com ell representem els valors que no divergeixen en el pla complex trobarem una figura que a dia d'avui és molt coneguda. Ni més ni menys que el Conjunt de Mandelbrot!!



Però perquè no va tenir èxit? A aquella època no era ben vist que es pogués determinar des de l'inici si algú anava al cel o a l'infern, llavors qui deixaria de cometre pecats per assegurar-se el cel? A més a més, utilitzar els números que havien portat els àrabs tampoc era massa ben vist, de manera que les idees del monjo més que d'alt valor teològic van ser considerades una heretgia. D'altra banda el que encara em pregunto és quin argument feia servir per assignar valors a cada ànima... Tot un misteri i de ben segur que un geni com ell va trobar la manera.

Notícia de John Allen Paulos
Un altre link (en anglès)

Publicat el dia dels Innocents ;-)