El Conjunt de Mandelbrot

Fa temps vaig tractar els Conjunts de Julia. Aquests conjunts s'aconseguien aplicant reiteradament una funció sobre cada punt del pla i pintant d'un color o altre el punt en funció de com de ràpid sobrepassava un determinat valor.

D'aquest tipus de representació n'hi ha una que és la reina, que és sens dubte la més mediàtica. Aparentment inofensiva però a dia d'avui encara amaga moltes meravelles.

Em refereixo al Conjunt de Mandelbrot. Com el seu nom indica qui ens el va mostrar per primera vegada va ser el matemàtic Benoît Mandelbrot qui va batejar als fractals amb el seu nom actual.

Com en el cas dels Conjunts de Julia, aquest, necessita una gran quantitat de càlculs. De manera que va ser als anys 70 i 80 quan amb unes millors computadores es van atacar seriosament, obtenint molt bons resultats.

Per construir el Conjunt de Mandelbrot es parteix d'una simple equació quadràtica:

Com ja he comentat abans els nombres implicats són complexos i això complica (només una mica) els càlculs.

El que es fa és agafar diferents punts del pla (no tots perquè és impossible) i ficar-los en l'equació anterior de la manera següent:

Per definició el valor Z[0] és igual a 0 i el valor C és el punt que hem seleccionat anteriorment. Aplicant la fórmula ens queda que Z[1] = 0 + C = C. Ara s'ha de tornar a aplicar la fórmula substituint amb els valors de Z actualitzats; quedaria el següent Z[2] = Z[1]^2 + C. (el ^2 ens indica que estem elevant al quadrat). I es repeteix el procés...

Per exemple si s'agafem C= 0.5+0.8*I = (0.5, 0.8) què passa?

Z[0] = 0.5+0.8*I Z[1] = 0.11+1.60*I Z[2] = -2.048+1.152*I

Z[3] = 3.367-3.919*I Z[4] = -3.522-25.59*I Z[5] = -641.9+181.1*I

Z[6] = 3.792*10^5-2.325*10^5*I Z[7] = 8.974*10^10-1.763*10^11*I

Com ja es veu en els dos últims casos els números es comencen a disparar, aquest punt, el (0.5, 0.8) del pla dels complexos no forma part del Conjunt de Mandelbrot.

I si agafem el valor C = -0.5 +0.5*I = (-0.5, 0.5):

Z[0] = -0.5+0.5*I Z[1] = -0.5+0*I Z[2] = -0.25+0.5*I

Z[3] = -0.688+0.25*I Z[4] = -0.09+0.156*I Z[5] = -0.516+0.472*I

I podríem anar calculant... i veuríem que

Z[1000] = -0.409+0.275*I

Per aquest valor de C els mòduls** dels diferents valors de Z estan acotats. El punt pertany al Conjunt de Mandelbrot.

I ara què? El que es fa amb els ordinadors es fer aquests càluls amb molts punts del pla i pintar de negre els punts que pertanyen al Conjunt i ens apareix una representació gràfica com la següent:

I què té d'interessant? Doncs resulta que a la frontera del Conjunt hi ha el que el fa interessant.

Si el que es fa és canviar l'assignació dels colors i la regió del pla es poden obtenir veritables obres d'art. El que es fa és assignar una gradació de colors als punts que no pertanyen a la frontera, amb això vull dir que es marca una fita pel mòdul dels valors de Z i depenent de les iterecions necessàries per sobrepassar-la se li assigna un color diferent de la gradació.

El que de debò resulta curiós és fer ampliacions de la finestra del pla a diferents zones de la frontera

Després de veure aquest zoom al Conjunt es poden entendre dues grans coses, que la frontera és fractal (s'hi poden veure característiques dels fractals com l'autosimilitud) i que és enormement complex i molt més que immens.

Per tant a dia d'avui encara es rendible ser explorador del Conjunt de Mandelbrot, qui sap què hi trobarem.

Una altra cosa curiosa és que navegant per la frontera ens podem trobar de sobte amb Conjunts de Julia que hi estan atrapats.

La veritat és que s'hi poden trobar autèntiques meravelles, i no em cansaré de dir-ho, en el que alguns consideren l'objecte més complex que ha descobert la humanitat.

Si teniu ganes ja no només de saber-ne més sinó que simplement us agradaria submergir-vos-hi jo vaig fer servir un programa que em va agradar molt. Es tracta de l'Ultra Fractal que es pot trobar al web www.ultrafractal.com.

** Cal recordar que són números complexos i que tenen dues components, una de real i una altra d'imaginària i que el mòdul és l'arrel quadrada de cada component al quadrat