Ciència als concursos

L'altre dia a Gaussianos mencionaven que als concursos de la tele les matemàtiques n'estan completament excloses. I que un programa que fa gala de preguntes altament sofisticades en temes artístics, de literatura i d'història com és Saber y Ganar les matemàtiques les deixin únicament a sumar, restar, multiplicar i dividir.

I aquest migdia ho he entès. Al bocamoll, a TV3. En aquest programa la prova final és d'un camp qualsevol del coneixement i s'ha de classificar un total de 7 conceptes en 3 camps diferents. Quan es tracta de cinema, literatura, llengua, geografia... Sembla que el límit de dificultat desaparegui. En el d'avui, per contra, s'havia de classificar 7 conceptes en 3 grans personatges de la història de la ciència: Galileu, Newton i Einstein. Com era d'esperar no eren complicats (en temes de ciència sempre busquen el més bàsic). Enllaç al video.

Al minut 26:30 hi ha l'explicació de perquè no cal fer ús d'un nivell alt de ciència als concursos (al minut 3:30 també hi ha somriures de completa ignorància amb alguns elements i compostos químics). La cara de les noies ho diu tot, no en saben n'hi una. L'únic que podem dir és que entre la "sort" i en Roger de Gràcia obtenen una molt bona combinació, 5/7 (0.4 % de probabilitats d'aconseguir-ho, felicitats!) .

L'única crítica que tinc pel Bocamoll és que han agafat els conceptes més senzills però alhora els que podien donar lloc a més confusió ja que eren compartits, és a dir, iniciats per uns i culminat pels altres. La relativitat és dels tres i la gravetat d'Einstein i Newton. Però bé, per deixar tan malament les ciències potser seria millor seguir com fins ara, sense concursos amb preguntes de ciències... Tot i que segurament no és culpa del concurs sinó dels concursants i la solució, sens dubte, és mirar d'aconseguir que les ciències deixin d'estar marginades al típic "es que és molt difícil" i/o "no serveix per res".

Les equacions de Maxwell (I)

Tal com vaig dir l'altre dia el bloc reprèn l'activitat i començaré una sèrie d'articles sobre fenòmens elèctrics i magnètics.

Una manera de veure la física és escrivint 4 equacions i dir que tots els fenòmens que s'hi relacionen es poden deduir a partir de la correcta manupulació de les expressions. Aquest punt de vista és cert, es poden extreure els fenòmens, però sempre he preferit fer-ho a l'inrevés, anar veient fenòmens i acabar escrivint expressions per acabar entenent què vol dir cada símbol al món real.

Ja fa més d'un mil·lenni que els Antics Grecs van observar fanòmens curisos que es podien experimentar fregant un fragment d'àmbar. Tales va observar que fregant un fragment d'àmbar amb drap, el fragment, adquiria propietats atractives respecte d'alguns objectes lleugers. El mateix fenomen es pot experimentar a casa amb una pinta de plàstic o un bolígraf Bic. Si el freguem amb els cabells podem aconseguir que la pinta desviï un rajolí d'aigua o que el bolígraf capturi petits fragments de paper.

Aquests experiments ens porten a pensar que hi ha algun tipus d'interacció, de força, entre els dos objectes. Anys més tard es va proposar una entitat fisicomatemàtica per explicar-ho els camps. Ens quedarem amb la paraula camp però no és per aquí per on seguirem.

Quan parlem d'un camp el que hem d'imaginar és que a cada punt de l'espai se li assigna una propietat. Per exemple, un camp de temperatures és el que obtindríem si a cada punt d'una habitació se li assignés el seu valor de temperatures. Quan parlem del camp elèctric podríem parlar, per exemple, del valor que prendria, en cada punt, la força entre el nostre bolígraf i un trosset de paper determinat.

Els científics del segle XVIII es van adonar que les propietats que adquireix un objecte quan es frega i l'objecte amb què ha estat fregat són lleugerament diferents. Els dos tenen la capacitat d'atreure trossets de paper i els dos s'atrauen mútuament. Ara bé, si s'apropen els objectes fregats entre ells es repel·leixen. Això va fer que es pensés que la causa de les forces eren dues (ara parlem de càrregues positives i negatives).

Amb aquestes idees Coulomb va fer experiments amb càrregues i amb una balança de torsió va establir la relació entre la força de les càrregues ($F$), la càrrega elèctrica ($Q_1$ i $Q_2$) i la distància ($d$) que les separava.

\[F=k\frac{Q_1Q_2}{d^2}\]

L'expressió anterior és també vàlida per la gravetat (Gravitació Universal de Newton) canviant $Q_1$ i $Q_2$ per $m_1$ i $m_2$ i la constant $k$.

Amb la idea de camp elèctric (força a cada punt, de fet $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$) i de càrrega ja es pot començar a experimentar. Un altre experiment interessant és la gàbia de Faraday. Si col·loquem una font o receptor electromagnètic dins d'un recipient metàl·lic tancat veiem que l'aïllem de nosaltres. Per exemple si agafem una olla, li fiquem un mòbil a dins, la tapem i el truquem.. Podem veure que el telèfon no respon, passa alguna cosa (ho he provat amb diferents olles i amb algunes, les més hermètiques funciona, no hi ha senyal a l'interior).

El senyal que arriba al telèfon no són més que oscil·lacions (vibracions) de camps elèctrics i magnètics. Al ficar el telèfon dins del recipient metàl·lic (conductor) l'hem aïllat de la resta de l'espai elèctricament parlant. Aquest fet és el que enuncia la primera llei de Maxwell de l'electromagnetisme (Llei de Gauss (també vàlida per la gravetat)). La llei diu que el nombre total de línies de camp elèctric que entren o surten d'una superfície tancada és proporcional a la càrrega que hi està continguda $\rho$ és la distribució de càrrega.

\[\overrightarrow\nabla\cdot \overrightarrow{E}= 4\pi\rho \]

I de forma integral:

\[\oint _S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi{Q}\]

Les càrregues de la figura tenen les línies de camp dibuixades. En el cas de l'esquerra si envoltem amb una circumferència una de les dues càrregues podem comptar el nombre de línies que la creuen. Si envoltem les dues alhora veurem que el nombre es duplica. D'altra banda, si envoltem la positiva i la negativa de l'esquerra veurem que el nombre total de línies que entren menys les que surten és 0. A l'interior no hi ha càrrega neta $1+(-1)=0$.

Copenhagen i Niels Bohr

Fa no massa en PepQuímic va escriure 4 ratlles de l'obra de teatre Copenhagen, gràcies a elles aquest dissabte la vaig poder gaudir a Tarragona. Els actors que van interpretar els 3 personatges ho van fer magistralment (tot i la infinitat de noms de físics alemanys que havien d'anar recitant al moment oportú) i d'aquesta manera van aconseguir traslladar al públic els dilemes que plantejava Heisenberg i les sortides que plantejava Bohr. Realment fa pensar, i molt.

Al principi de la segona part Heisenberg i Bohr intenten explicar una anècdota en què el jove Bohr havia disparat a un dels seus estudiants, el punt còmic és que Bohr deia que havia matat a Casimir i Heisenberg deia que Gamow li havia dit que l'havia matat a ell. Això deixava entreveure que Niels Bohr és un personatge carregat d'anècdotes més o menys còmiques.

Per tal de conèixer-ne alguna i veure una mica més com era un gran teòric com Bohr transcriuré uns quants fragments del llibre de George Gamow Biografia de la física.

És pràcticament impossible descriure a Niels Bohr a una persona que mai hagi treballat amb ell. Probablement la seva qualitat més característica era la seva lentitud en el pensament i la comprensió. [...] Al vespre, quan un grup de deixebles de Bohr treballaven a l'Institut Paa Blegdamsvejen discutint els últims problemes de la teoria dels quants o jugant al ping-pong a la taula de la biblioteca amb tasses de cafè en ella per fer-ho més difícil, apareixia Bohr dient que estava molt cansat i que volia fer alguna cosa. Fer alguna cosa significava anar al cine i les dues úniques pel·lícules que li agradaven eren Lluita a trets en el ranxo Lazy Gee o El genet solitari i una mossa síoux. Però era penós anar amb Bohr al cine. No podia seguir l'argument i ens preguntava constantment, amb gran enuig del públic, coses com "Es aquesta la germana del cawboy que va matar d'un tiro l'indi que intentava de robar un ramat de bestiar que pertanyia al seu cunyat??"

La mateixa lentitud de reacció la mostrava a les reunions científiques. Moltes vegades, un jove físic visitant (la majoria dels joves que visitaven Copenhagen eren joves) parlava brillantment dels seus càlculs sobre algun problema de física quàntica enrevessat; tothom, del públic, entenia clarament el raonament menys Bohr. Tots començàvem llavors a explicar-li la senzilla qüestió que no havia entès, i enmig del sidral tothom acabava per no entendre res. Finalment, després de força estona, Bohr començava a comprendre i resultava que el que ell havia comprès del problema presentat pel visitant era absolutament diferent al que apuntava el jove físic i la seva interpretació era la correcta mentre que la del visitant no.

L'afició de Bohr pels westerns es va traduir en una teoria desconeguda per a tots tret dels seus companys de cine d'aquells temps. Tothom sap que a totes les pel·lícules de l'oest el dolent sempre dispara de segida, però l'heroi és més ràpid i sempre mata l'enemic. Niels Bohr va atribuir aquest fenomen a la diferència entre les accions deliberades i les accions condicionades. El dolent ha de decidir quan ha de desenfundar, fet que retarda l'acció, mentre que l'heroi dispara sense pensar just en el moment en què el dolent va a desenfundar. Tots vam discrepar de la teoria i l'endemà al matí l'autor [George Gamow] va anar a una botiga de joguines a comprar un parell de pistoles de cawboy. Nosaltres disparàvem a Bohr, que feia d'heroi, però ens va matar a tots.

Un altre exemple de la lentitud de pensament de Bohr era la seva poca habilitat per trobar una solució ràpida als mots encreuats. Una tarda, l'autor [Gamow] va anar a la casa de camp de Bohr a Tisvileleje (al nord de Jutlàndia), on Bohr havia estat treballant tot el dia amb el seu ajudant, León Rosenfeld (de Bèlgica), en un important treball sobre les relacions d'indeterminació. Els dos estaven exhausts per la feina feta i, després de sopar, Bohr va indicar que per descansar farien uns mots encreuats d'alguna revista anglesa. La cosa no va anar massa bé i, una hora més tard, Fru Bohr (fru és la dona en danès) va suggerir que seria millor anar tots a dormir. Qui sap quina hora era que Rosenfeld i jo, que compartíem l'habitació dels convidats, vam ser despertats per uns cops a la porta. Val saltar del llit preguntant "Qui hi ha?? Què passa?". Llavors vam sentir una veu apagada a través de la porta "Soc jo, Bohr. No vull pertorbar-vos, però vull dir-vos que la ciutat industrial anglèsa amb set lletres, que acaba per ich, és Ipswich".

Una vegada, ja era tard, a la nit (cap a les onze segons els rellotges de Copenhagen), l'autor tornava amb Bohr, Fru Bohr i un físic holandès, Cas Casimir, d'un sopar a casa d'un membre de l'institut de Bohr. Casimir era un expert escalador de façanes a qui moltes vegades es podia veure a la biblioteca de l'Institut enfilat a dalt de tot de les estanteries amb un llibre a les mans i les cames estirades. Anàvem per un carrer desert i vam passar pel costat de l'edifici d'un banc. La façana del banc, formada per grans blocs de ciment, va cridar l'atenció a Casimir i n'escalà 2 pisos. Quan va ser a terra, Bohr va voler igualar la gesta i pujar lentament per la façana. Una mica confosos, Fru Bohr, Casimir i jo, estàvem a sota observant la lenta ascensió de Bohr per la paret. En aquell moment, dos guàrdies de la ronda de nit es van aproximar ràpidament per darrere, disposats a l'acció. Van mirar a Bohr, que penjava entre el primer i el segon pis i un d'ells va dir "Oh, no és més que el professor Bohr" i ja completament tranquils van reprendre la ronda nocturna.

I aquest és el gran teòric i un dels pares de la física quàntica.

Reobrim per vacances

Després d'una bona temporada completament absent de la blogsfera l'Alasanid torna a córrer per aquests indrets. Fins i tot m'he trobat que el LaTeX ha tocat el dos i només queden els $ que acompanyen les expressions. Miraré d'arreglar-ho però no prometo res.

Aquest estiu procuraré d'anar omplint aquest espai amb Ig Nobels, experiments, pseudociència, alguna anècdota i una mica de física. A veure si puc animar això una mica que està ben mort.

Fins ara!!

latex arreglat

First Orbit

Fa mesos que no penjo res i cada cop escric el mateix. Tinc idees però vaig just de temps. Ara penjo un video que evoca un dels grans moments de la Cursa Espacial. El primer vol.



Perquè va ser increïble enviar-lo i, a més a més, fer-lo baixar. Felicitats Yuri

Fes el teu fractal de Newton

Les imatges dels fractals de Newton de l'entrada passada els vaig fer amb el Mathematica. Ara bé, hi ha mètodes alternatius que són més ràpids, i còmodes de fer anar. L'únic inconvenient que té és que s'ha d'introduir la derivada a mà.

El mètode alternatiu implica el programa Ultra Fractal 5. Aquest és un programa que cal comprar o intal·lar-ne una versió de prova. La meva recomanació és que instal·leu la versió de prova ja que quan acaba el termini es pot seguir utilitzant. L'únic problema és que té inhabilitades algunes opcions de renderització i que deixa marques d'aigua a les exportacions d'imatges. Tanmateix és el programa ideal per jugar amb el pla complex.

Si us decidiu per intal·lar el programa podreu navegar pels conjunts de Julia i Mandelbrot i crear-vos els conjunts de Newton que vulgueu. I no només navegar ja que podreu jugar amb les opcions de coloració dels fractals, capes de colors, etc. Amb ell surt la vena artística de la gent de ciències!!

Acabada la publicitat (ara és quan aquella gent m'hauria de donar una llicència gratuïta pel programa) toca començar a fer fractals.

Si teniu ja el programa (i després d'obrir-lo i explorar el conjunt de Mandelbrot) es pot provar de fer fractals de Newton. Per a fer-ho només cal seguir les instruccions següents.

1.- Aneu a File, New, Fractal Formula File.

2.- Entreu a Insert, New Formula..

3.- Introduïu el nom de l'arxiu "Newton", per exemple. Després d'accepta apareix un text base amb comentaris. Ara només caldrà donar algunes instruccions bàsiques.

4.- A l'apartat init: s'ha d'introduir la intrucció z=#pixel. Això dóna a la variable z el valor del píxel en què es troba (punt inicial pel mètode de Newton).

5.- A l'apartat loop: s'ha d'introduir l'expressió del mètode de Newton per exemple z=z-(z^3+2*z^2+z+1)/(3*z^2+4*z+1). Això generarà el fractal de Newton corresponent a la funció $f(z)=z^3+2*z^2+z+1$.

6.- A l'apartat bailout: s'hi ha d'introduir la condició que atura el loop:. En el nostre cas volem que deixi de calcular quan f(z) sigui proper a zero. |x^3+2*z^2+z+1|>0.005 farà que el mètode deixi d'aplicar-se quan f(z) sigui més petita que 0.005.

7.- Ara només cal guardar la fórmula File, Save as, Formulas, My Formulas.

8.- Per obrir el fractal File, New, Fractal, My Formulas, Newton.ufm.

9.- I a explorar!

En un dels comentaris de l'article anterior en Sheldon va preguntar cap a on convergia cada punt ja que els dibuixos els vaig fer en funció de la velocitat de convergència. He estat explorant l'Ultra Fractal i aquí ve el resultat. Les zones estan pintades en funció de la solució a la que convergeixen.

Per la funció $f(z)=z^3+2z^2+z+1$ teníem clarament 3 zones de convergència i una frontera fractal, per tant obtenim aquestes figures:

Per $f(z)=z^3+2z^2+\sqrt{z}+1$:

I per $f(z)=z^3+2z^2+ln(z)+1$:

I ara un dibuix fet amb $f(z)=z^3+2z^2+tan(z)+1$:

Fractals i mètode de Newton

En l'entrada anterior vaig parlar del mètode de Newton per tal de trobar zeros de funcions i resoldre equacions. Com a exemple vaig trobar la solució real de $x^3+2x^2+x+1=0$. A més a més, vaig comentar que n'hi havia dues més i que eren complexes. Per tant, el més raonable és ficar-se a treballar amb els nombres complexos.

Per tenir una idea aproximada d'on es troben les solucions he anat avaluant la funció polinòmica en diferents punts del pla complex (propers a l'origen) i he pintat cada punt depenent del valor del seu mòdul. Els punts més foscos es corresponen als valors més alts.

Els tres zeros es corresponen a les zones blanques i són $x_1=-1.755$ (a l'esquerra), $x_2=-0.123+0.745i$ (a la part superior) i $x_3=-0.123-0.745i$ (a la part inferior). Fins aquí l'únic que s'ha hagut de fer és fer ús del mètode de Newton. El mètode de Newton necessita un punt d'inici, cap a quina solució anem depenent d'aquest punt? O són tots els punts igual de bons??

El que he fet a continuació és anar aplicant el mètode de Newton a diferents punts del pla complex i pintar-los en funció del nombre d'iteracions que necessiten per convergir a una solució.

Pintades de colors més foscos (lila) es mostren les zones per les quals la convergència és més ràpida. Com era d'esperar el pla queda clarament dividit en 3 regions els punts de les quals convergeixen cap a cada un dels zeros. El més interessant, però, és la frontera! Si ampliem una mica la imatge a prop de la frontera que separa les arrels imaginàries ens trobem amb formes molt curioses:

Podem apreciar l'autosimilitud que caracteritza moltes estructures fractals. Aquestes figures es coneixen com els fractals de Newton. Ara doncs, l'únic que fa falta és trobar una equació i provar de resoldre-la.

L'equació $sin(x)+x=0$ només té un zero real ($x=0$). Ara bé el sinus d'un nombre complex pot prendre valors més grans que 1 (cosa que no passa amb els reals). Si es representa el valor de la funció per a diferents punts del pla podem veure el zero real i els zeros complexos (sempre aparellats amb el seu complex conjugat):

Els primers 4 zeros complexos es troben a $x_1=4.212+2.251i$, $x_2= 4.212-2.251i$, $x_3=-4.212+2.251i$ i $x_4=-4.212-2.251i$. Un cop localitzats els zeros pintem els punts en funció de la convergència a les arrels i ampliem algunes zones.

Si canviem la funció per $f(x)=sin(x)+x^2$ obtenim altres estructures:

Si ens fixem amb funcions més complicades com les arrels quadrades i els logaritmes podem trobar-nos amb estructures més problemàtiques. Per exemple, si a l'equació inicial de tercer grau substituïm la $x$ per $\sqrt{x}$ obtenim una nova funció $f(x)=x^3+2x^2+\sqrt{x}+1$ que porta a un fractal de Newton molt diferent.

I fent $f(x)=x^3+2x^2+ln(x)+1$ obtenim aquestes figures:

Ara només és qüestió de trobar funcions interessants i anar-les representant. I encara hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides!! És una llàstima que les matemàtiques les pugui gaudir tan poca gent...