Projectils aristotèlics

A l'ESO ens fan creue que si ens posem a disparar projectils; aquests seguiran una trajectòria parabòlica. Però fa uns anys es pensava diferent.

Durant el Renaixement, el llençament de projectils, va ser un dels temes estrelles en la recerca científica. El tema militar sempre apreta i, tot i que, al camp de batalla l'experiència és el que compta, que ells ja saben com han d'aixecar el canó perquè ho fan cada dia. Però donar un marc teòric al problema dels projectils podia servir per alguna cosa. I ara, com sempre abans de posar-nos en temes militars... Val la pena recordar que la culpa no només és dels científics que aporten el coneixement sinó de tot el poble qui recolza governs que decideix fer-ne ús.

Tornant al tema... Una trajectòria d'obús tenia aquesta pinta pels estudiosos del segle XV. Aquí parlaré d'un home que he descobert avui, en Daniel Santbech, aquest matemàtic va ser dels qui va enfrontar-se al problema i aquí hi ha un dels gràfics que feia:

Es pot veure que el projectil es mou en línia recta fins al punt més alt de la trajectòria i llavors cau mort fins al terra. Ara ens pot semblar més o menys absurd.. Però el coneixement científic de l'època estava assentat en la mecànica d'Aristotil, un dels clàssics.

El primer en desafiar aquests pensaments va ser Tartàglia qui va plantejar les paràboles com a figures que describien les trajectòries i posteriorment, la mecànica de Galileu va donar, de manera natural, les paràboles. Finalment, Newton ens va donar les matemàtiques per complicar tant com vulguessim el problema.

Quan dic que Newton dóna les eines és perquè ell va parir la segona llei i el càlcul diferencial. En altres paraules, la posició d'un cos $\vec{r}(t)$ ve donada per la següent equació diferencial:

$$ \vec{F}=m\vec{a} = m\frac{d\vec{v}}{dt}=m \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2}$$


La segona llei de Newton ens relaciona la força, $\vec{F}$, que experimenta un cos amb la seva acceleració, $\vec{a}$. L'acceleració ens indica com varia la velocitat respecte del pas del temps, d'aquí el concepte de derivada. I finalment, la velocitat ens dóna com varia la posició respecte el temps.

Si agafem un canó i buidem tot l'aire del planeta estarem segurs que les forces que actuaran sobre el projectil seran només les de la gravetat $\vec{g}$. El que va deixar clar Galileu és que la gravetat només afecta als moviments verticals. I com més tard va matizar Newton, aquells que apunten cap al centre de la Terra.

Amb la força de la gravetat tindrem

$$ m\frac{d\vec{v}}{dt} = -m\vec{g} $$

Es a dir, en la direcció horitzontal, paral·lela al terra, el projectil no nota cap força i per tant $v_x$ es mantindrà constant. D'altra banda, en la direcció vertical hi ha la força de la gravetat que estira amb una força constant i farà que la velocitat inicial decreixi de forma constant fins arribar a zero (moment més alt de la trajectòria) i després començarà a créixer però amb magnitud negativa, és a dir, apuntant cap al terra.

$$ m\frac{d v_x}{dt} = 0, \quad m\frac{d v_y}{dt} = -m g $$

Amb aquestes condicions podem començar a disparar i recuperem els resultats de Tartaglia. L'abast màxim del projectil és dóna quan disparem amb un angle de $\phi=45^{\circ}$. Com es pot veure en la primera figura: en la direcció horitzontal la velocitat del projectil es manté constant ja que no hi actua cap força. D'altra banda, en la direcció vertical veiem com la velocitat decau de forma lineal. L'efecte de la gravetat és una desacceleració constant en la direcció vertical.

Però això ho podem anar complicant. Imaginem que ara tenim aire. L'aire oposarà resistència al moviment i, de la nostra experiència a la bicicleta, sabem que dependrà de la velocitat. Com més ràpid, més força ens fa l'aire.

Si fessim els calculets veuríem que un projectil a l'aire majoritàriament rep una força que és proporcional al quadrat de la velocitat, $\vec{F}_d = -\Gamma v^2 \frac{\vec{v}}{v}$. En física de fluids aquest és el resultat que es té a valors alts del nombre de Reynolds, $Re>1$. En aquesta expressió el primer terme és un coeficient que dependrà de les característiques del projectil i les propietats de l'aire, el segon terme indica la magnitud de la velocitat al quadrat i l'últim terme és el vector que indica la direcció del moviment. Amb el signe negatiu indiquem que el valor de la força sempre s'oposarà al moviment, serà sempre en la direcció oposada a la velocitat.

I l'equació del moviment és ara:

$$ \frac{d\vec{v}}{dt} = - \frac{\vec{g}}{m} - \frac{\Gamma}{m} v^2\frac{\vec{v}}{v} $$

I resolem per a diferents valors (fent $m=1$). La resolució, tant en aquest cas com en l'anterior l'he feta numèricament, ja que resoldre equacions porta el seu esforç i aquesta és de les lletges.

 

I ara ho veiem!!! Quan tenim fregament ens costa més de llençar el projectil i carai, el projectil deixa de descriure una trajectòria parabòlica!! Ara ja és diabòlica, acudit dolent però proveu de resoldre ara l'equació diferencial :P

Podem veure que amb $\Gamma=2$ necessitem uns valors de $v_0=340$ per assolir un abast comparable. En els càlculs he pres $m=1$. Com a primera aproximació, podem considerar que la $\Gamma$ aquesta va com $L^2$, és proporcional a la superfície (i alguns factors geomètrics). Aquest fet ens ajuda a entendre perquè quan llencem un full de paper el resultat depèn de si l'arruguem o no. El paper arrugat és més compacte i presenta una menor superfície de contacte amb l'aire i, per tant, un $\Gamma$ més petitet.

I en esports podem veure que també tenim coses semblants. Picar un volant de bàdminton amb totes les forces de les que es disposa és divertit.

I finalment m'he preguntat, quin és l'angle pel qual obtenim un abast més llarg per un projectil de $m=1$, $v_0=340$ i $\Gamma=2$??? Doncs he començat a llençar amb diferents angles i la corba m'ha mostrat la següent sorpresa:

Un resultat que ens podíem esperar, o no.

Sumar a cegues

L'entrada d'avui està dedicada a un petit incident de bar. És al bar on apareixen els problemes interessants.

Divendres, després de la V, em trobava al bar amb un company i vam demanar dos cafès amb llet i un croissant. A l'hora de pagar vaig demanar a última hora de pagar-ho tot junt. El resultat va ser que l'home del bar, em va demanar a mi de sumar-ho. Aquest va ser el meu procés mental:

1.04 + 1.04 + 1.24 = Uhm... uhh... 3x1 = 3 Llavors hi ha alguns cèntims que queden sueltos... Uhm... com a mínim 25 cèntims...

Mentre em trobava inmers en el càlcul el qui em cobrava diu:

$1.04+1.04+1.24 = 3.32$. Aquesta era fàcil, ehh!! Que necessitaves una calculadora tu??

I el meu company hi afegeix que el que necessitava és el meu ordinador, que sense ordinador no sé calcular xD

I automàticament vaig començar a pensar com calcular-ho amb l'ajut d'un ordinador però sense haver de fer cap suma, clar...

La resposta?? Monte Carlo. D'aquest tema ja en van escriure quatre ratlles introductòries a Cocociència. El que presentaré aquí és com vaig pensar que es podia fer la suma.

La idea dels mètodes de Monte Carlo és fer ús de nombres aleatòris per a calcular integrals. En cas de la suma es tractava de fer el càlcul d'una superfície. A l'eix x assignem un intèrval de longitud 1 a cada un dels producte mentre que a l'eix y hi assignem el preu per unitat tal i com es pot veure a la figura inferior.

És fàcil veure que si sumem les àrees vermella i verda obtindrem el valor total de la compra. Però això no ens resol el problema ja que per a fer-ho hauríem de sumar. La resposta es troba en el mètode de Monte Carlo.

La idea és molt simple. Agafem una parella de nombres aleatòris, $x$ i $y$. El primer que pugui prendre valors compresos entre el 0 i el 3, $x\in(0,3)$ i el segon que els prengui entre el 0 i el 2, $y\in(0,2)$. Amb aquesta parella de números podem pintar el punt amb coordenades $(x, y)$.

El que fem a continuació és veure si el punt $(x, y)$ ha caigut dins de la zona pintada o si ha caigut a fora. Si es troba dins de la zona pintada ens ho apuntem i comptem que hem encertat una vegada més.

Després de fer molts llençaments de números aleatòris haurem comptat quantes vegades hem encertat a la zona pintada, $n_{hit}$ i quants llençaments hem fet en total, $n_{tot}$.

Amb això podem saber quina fracció de llençaments, $P$, ha estat certera $P=n_{hit}/n_{tot}$.  Ara haurem de multiplicar aquesta fracció per l'àrea total que estàvem explorant, es a dir, la superfície, $S$, que ens era accessible en cada un dels llençaments. $S=2 \cdot 3$

Ara doncs serà fàcil de calcular el valor de la suma. Aquest serà $6 P$.

El resultat, obtingut en 20 càlculs amb 50.000 tirades aleatòries és el següent:

 

I si el que representem és la mitjana sobre 20 simulacions independents obtenim el següent:

Aquestes corbes són "uniques" de cada un dels càlculs però a l'infinit haurien de tendir al valor de la integral que és, en aquest cas, 3.32

Com es pot veuure l'error estadístic després de tota aquesta història és d'un cèntim d'€, de l'1%. No està malament!!

El que no va voler fer Bohr

Aquesta setmana la Laia ha publicat un parell d'articles que m'han agradat molt. En el primer es plantejava un experiment per a fer entre Barcelona i la Pica d'Estats i en el segon duia a terme l'experiment. Felicitats pels 3000!!

Aquest experiment m'ha fet venir al cap un d'aquells mites que corren entre els físics. Un mite que parla d'un jove amb un baròmetre i la missió de mesurar un edifici d'una certa alçada. 

A la pregunta d'examen l'alumne va respondre que era molt fàcil. Només s'havia de lligar una corda al baròmetre i deixar-lo anar de mica en mica fins al terra. La longitud de la corda més la del baròmetre serien ni més ni menys que l'alçada total de l'edifici.

Des de dalt estant deixava caure el baròmetre i cronometrava el temps de caiguda. D'aquesta manera era capaç de mesurar-ne l'alçada. El professor, mosquejat perquè la resposta, tot i que correcta, no responia la pregunta amb les eines de l'assignatura va demanar a l'alumne que repetís la qüestió.

Al segon intent l'alumne va ser encara més subtil i va plantejar nous mètodes. Podia mesurar l'alçada del baròmetre i, mentre pujava les escales des de la planta baixa, anar comptant el número de baròmetres que feia l'edifici. El professor encara més indignat.

Al tercer intent l'alumne respon que és molt fàcil. Es lliga el baròmetre amb un fil i es fa oscil·lar. D'aquesta manera es pot calcular el període d'oscil·lació. Un cop a dalt de l'edifici es repeteix l'experiment. Com que el període d'oscil·lació només depèn de l'acceleració de la gravetat i de la longitud del pèndol, es pot extreure quina es la diferència en la força de la gravetat al carrer i al terrat de l'edifici, d'aqui és trivial extreure'n l'alçada. Això és el que en física es coneix com a matar mosques a canonades, o simplement veure qui la té més grossa.

Al quart intent l'alumne va un pas més lluny i diu que oferiria el baròmetre com a moneda de canvi al porter de l'edifici a canvi de saber-ne l'alçada.

Aquesta història acaba amb l'alumne dient que també es podia fer  de la manera que el professor s'esperava la resposta, però que era massa òbvia. I al final es revela que l'alumne és ni més ni menys que Neils Bohr, un dels gegants. Un dels qui va demostrar tenir molta pólvora i artilleria i tenir-la ben gran. Tot i fer contribucions en temes nuclears i treballar amb coses petites tota la vida.

Doncs això.. Que la història de la Laia em recorda al mite que he explicat perquè d'això tractava el mètode que l'alumne es nega a aplicar.

La idea del mètode és considerar que la pressió de l'aire varia en funció de l'alçada ja que tenim gas a dalt que, a causa de la gravetat, apreta cap a terra. Si sabem com la pressió depèn de l'alçada respecte del terra, amb un baròmetre podrem fer càlculs d'alçada.

Què tenim? Què què tenim?? Tenim un baròmetre. Tenim gas en un recipient. Tenim la gravetat. I tenim el Principi d'Arquímedes i la Llei dels gasos ideals. (Tenim molt més però això ho puc explicar amb una Estrella al davant :P)

Si ens imaginem un contenidor d'aire podem dir que a una certa alçada $z$ la pressió serà $p(z)$ mentre que la capa que hi ha immediatament per sobre es trobarà a una pressió, inferior, de $p(z+dz)$. En el llenguatge del càlcul diferencial la diferència entre les dues pressions $p(z+dz)-p(z)=dp$. La pressió que està fent la capa de gruix $dz$ és $\rho g dz$. Per tant, podem escriure $dp=-\rho g dz$. Amb això ja hem escrit l'equació que descriu el sistema. En aquest punt hem d'expressar la densitat de l'aire en funció de les variables que coneixem (pressió i temperatura).

Tenim aquest aire que suposem que satisfà l'equació dels gasos ideals $pV=nRT$. On $n$ són mols. En dividir pel volum a ambdós costats obtenim la densitat de mols $p=\rho_{mol}RT$. En el cas que ens interessa voldrem aquesta densitat en massa i, per l'aire de l'atmosfera, podem considerar que té una massa molecular de $M_a=30 g/mol=0.03 kg/mol$ i per tant, $p=\rho \frac{RT}{M_a}$. I finalment, $\rho=\frac{p M_A}{RT}$. Això ho introduïm a l'equació diferencial:

$$\frac{dp}{dz} = - p\frac{g M_a}{RT}$$

I això ara es pot solucionar si suposem que la temperatura no varia amb l'alçada. (Em salto la resolució que no és important)

$$\frac{dp}{p} = -\frac{g M_a}{RT}dz \rightarrow p(z)=p(0)e^{-\frac{gM_a}{RT}z} $$

I d'aquí tindrem que el qüocient de la pressió a una alçada $h$ està relacionada amb la pressió arran de terra de la manera següent:

$$\frac{p(h)}{p(0)} = \exp\left(-\frac{gM_a}{RT}h\right) \rightarrow  h=-\frac{RT}{gM_a}\ln\frac{p(h)}{p(0)}$$

Aquí és on podríem aprofitar un experiment com el de la Laia i dir. Molt bé, ara tenim aquí el volum a Barcelona $V_B$ i aquí el de la Pica d'Estats $V_{PE}$. Volem saber $\frac{p_{PE}}{p_B}$... Amb l'equació dels gasos:  $\frac{p_{PE}}{p_B}=\frac{V_B}{V_{PE}}$. (Recordoo que estic obviant la diferència de temperatures al perfil de pressions, però podríem tenir-la en compte). Amb les dades que mencionava la Laia $p_B=1010 hPa$ i $p_{PE}=700 hPa$ obtenim:

$$ h=-\frac{8\cdot300}{10\cdot0.03}\ln\frac{700}{1010} \approx 2900 m$$

Per tant, quin error cometem?? Doncs un 6%. Certament no ho hem encertat massa... Però l'error relatiu és molt proper al que assumim al fer l'aproximació de temperatura constant (20 graus de diferència entre la ciutat i el cim respecte d'un valor de 300 K és també un 6%) Queda clar que el proper pas en el refinament es troba en l'afegir la tota aquuesta història.

No tot és el Higgs

Vaig molt tard.

Fa mesos que no escric res i ja és hora de trencar el silenci. Hi ha moltes coses que m'hauria agradat escriure aquest últims mesos, o fins i tot anys. He vist que al blog no hi ha activitat contínua ben bé des de fa massa temps. Han passat moltes coses des que vaig deixar d'escriure de manera més o menys regular. Una de les que m'ha afectat directament és veure com, de tant en tant, alguna notícia física es propaga pels mitjans de comunicació. En aquest cas les dues notícies rellevants han estat els neutrins del CERN a l'OPERA i la descoberta del bosó de Higgs.

Primer va ser un neutrí (I i II) que es va escapar del CERN. Aquest neutrí, en Faustino (veure vídeo dels Beatlestones), va ser notícia i els mitjans de comunicació es van afanyar a fer dues coses: remarcar que uns científics havien descobert partícules taquiòniques (quan ells el que feien era demanar ajuda a la comunitat física per veure què hi havia malament); i la segona, dir que Albert Einstein i la Teoria de la Relativitat estaven obsolets. Però com podem comprovar, els neutrins segueixen anant a la velocitat que els correspon com a partícules amb massa no nul·la i els aparells de GPS encara funcionen.

Pel que fa al bosó de Higgs.. Se n'ha parlat molt i molt. Va ser notícia que ara algú pogués mesurar una predicció de fa quasi 50 anys. La feina que s'ha fet al CERN ha estat increïble i crec que en algun moment se'ls haurà de donar un Premi Nobel per reconèixer-ho (i que consti que tinc unes inclinacions més teòriques que no pas experimentals!!). Per la seva banda, Peter Higgs va matar el tema l'any 1964 amb un magnífic article de pàgina i mitja. Els càlculs són bàsics per algú amb nocions bàsiques d'electrodinàmica quàntica (QED) i el toc de genialitat està en la interpretació. D'altra banda, Englert i Brout, en el mateix volum de la revista, fan el camí pel dret i acaben fent una bona colla de càlculs (que tenen molt mala pinta) i acaben dient coses semblants tot i que no tan contundents com Higgs.

Amb el títol d'aquesta entrada podria voler dir dues coses. La primera és que a la física hi ha molt més que el Higgs, cosa que és totalment certa. La segona és que amb la descoberta del bosó de Higgs tenim confirmat el model que descriu aproximadament un 2% de la massa del nostre cos. I això queda lluny de la idea del 100% de la massa que, pel que he interpretat a la tele, hauria d'explicar.

Els humans, i en general tot el que podem veure al nostre voltant, estem fets d'àtoms. Els àtoms, per la seva banda, estan constituïts per protons, neutrons i electrons. Els electrons són partícules elementals del model estàndard. Els protons i neutrons, en canvi, són formats per quarks.

El model de Higgs s'aplica a les partícules del model estàndard. Per tant, confereix massa als quarks que constitueixen els protons i neutrons i directament als electrons.

Els electrons tenen una massa $m_e=0.511 MeV/c^2$ (que és la unitat que fan servir els particuleros o $9.1\cdot10^{-31} kg$ pels qui anem a comprar al mercat). Els quarks que formen els protons i neutrons són l'up (u) i el down (d) (Postulats per Murray Gell-Man també l'any 1964!!!!! Però guanyador del Nobel el 1969). La massa del quark up és $m_u=2.3 MeV/c^2$ i la del quark down és $m_d=4.8 MeV/c^2$.

Un protó constituït per tres quarks (uud) té una massa deguda al Higgs de $m_{p,H}=9.4 MeV/c^2$ i un neutró constituït per tres quarks (udd) té una massa deguda al Higgs de $m_{n,H}=11.9 MeV/c^2$. La diferència de masses és de l'ordre del 20% i en canvi sempre ens diuen que si fa no fa un protó i un neutró tenen la mateixa massa. Per arreglar-ho fem el que s'ha de fer. Fem un experiment i mesurem la massa dels protons i neutrons i obtenim que el protó té una massa $m_p=938.3 MeV/c^2$ i el neutró $m_n=939.6 MeV/c^2$, les diferències de massa estan al 0.15%!! Què ha passat aquí??? Pel que podem veure un nucleó té una massa que és de l'ordre de 100 vegades superior als seus constituents.

Per a veure-hi més enllà en tenim prou amb una frase. El tot és la suma de les parts més les interaccions. En el cas dels nucleons el que manté confinats els quarks són unes partícules sense massa, els gluons. Aquests gluons són els intermediaris de la força nuclear forta. La cromodinàmica quàntica (QCD) és la teoria que descriu la interacció entre quarks i gluons, coloquialment, la interacció de color. L'energia per a mantenir confinats els quarks és la principal responsable de l'alta massa dels protons i neutrons. Si tornem a Einstein tenim: $E=mc^2$. I d'aquí podem veure que quantitats prou grans d'energia tenen una certa contribució en massa tal que $m=E/c^2$. D'aquí provenen les unitats de massa que fan servir els físics de partícules (i nuclears) ja que un MeV és una unitat d'energia. Pel que fa als electrons, ara podem veure que la seva massa és pràcticament menyspreable (un 0.2% respecte la del nucleó).

Una altra energia que també es nota a la massa és la de lligam dels nuclis. Sempre ens ensenyen que les càrregues d'igual signe senten repulsió i al nucli només hi ha protons (càrrega +) i neutrons (càrrega 0). Una manera una mica patillera de dir com s'aguanta és dir que els confina una interacció residual de la força nuclear que està unint els trios de quarks a cada nucleó. En un àtom de carboni amb 6 protons i 6 neutrons l'energia de lligam del nucli és d'uns 90 MeV (Aquest valor indica que un nucli que carboni-12 té una massa equivalent a uns 200 electrons menys que la que tenen 6 protons i 6 neutrons independents). 

Aquesta energia de lligam ha estat tocant els nassos durant anys a la física nuclear per culpa dels químics. Una unitat que agrada molt als químics és el dàlton (Da) o unitat de massa atòmica (uma). La uma es defineix a partir de la massa del carboni-12 i dividint entre 12 ja que el carboni-12 conté 6 protons i 6 neutrons. Una uma equival a una massa d'uns  $931 MeV/c^2$, la desviació entre aquesta massa i la massa dels nucleons és essencialment una 12 part de l'energia de lligam. Per tant, la uma és una unitat que s'ha d'evitar si et dediques a la física nuclear (però que va bé a la física atòmica (altrament anomenada química)).

I ara tornem al tema del Higgs!! Un humà estàndard està constituït essencialment per carboni (6 protons, 6 neutrons i 6 electrons per àtom), per nitrogen (7 protons, 7 neutrons i 7 electrons per àtom), oxigen (8, 8 i 8) i altres elements lleugers que contenen, aproximadament el mateix nombre de protons que de neutrons i electrons. L'hidrogen és l'únic que se n'escapa i en general està format per un protó i el seu electró.

Així doncs, l'humà estàndard està format pel doble de nucleons (neutrons+protons) que d'electrons. Hi ha alguna excepció, però ja hem dit que tractem l'humà estàndard. Hem vist que el mecanisme de Higgs explica aproximadament un 1% de la massa de protons i neutrons i que la massa d'un electró és unes dues mil vegades inferior a les dels electrons. Així doncs, després de tantes notícies dient que el Higgs explicava la massa, veiem aquesta contribució és només d'entre 500 i 1000 grams en una persona ordinària.

I per acabar... Felicitats a tots els qui han fet possible aquesta història i en especial els guanyadors del Nobel d'aquest any.

Món microscòpic i simplicitat

Després d'iniciar-nos en les ramificacions anem a mirar d'entendre alguna cosa. Per a fer-ho construirem un model microscòpic per mirar d'explicar l'electrodeposició de la plata. Tal i com podem veure al bloc d'en PepQuímic podem obtenir fàcilment fractals de plata al laboratori. En Pep ens dóna una recepta (és increïble de fer i veure que surt!!).

Ara ens centrarem en els agregats de plata. Com diu en Pep els ions de plata van a l'elèctrode on hi ha electrons per tal de guanyar càrrega elèctrica negativa i comencen a agregar-se formant una estructura fractal. Què està passant?? Els ions de plata estan dissolts en aigua. D'altra banda, sabem que les molècules d'aigua i ions de plata estan en constant moviment. Hi ha xocs de tots amb tots. Per tant, podem considerar que els ions de plata segueixen un moviment erràtic.

Quan encenem la pila tots els ions de plata que hi impactin contra l'elèctrode negatiu (on hi ha els electrons) s'hi quedaran units en forma de plata metàl·lica. Com que la plata és conductora qualsevol io de plata que hi interaccioni guanyarà un electró i s'hi unirà en forma metàl·lica. L'agregat pot anar creixent.

Si el moviment dels ions és prou aleatori llavors podem entendre (de manera qualitativa) que els serà més fàcil d'enganxar-se als dits que vagi formant l'agregat enlloc de penetrar-lo i unir-se als estadis primerencs de l'agregat. Si els ions viatgessin de forma balística la cosa seria diferent però les trajectòries que recorren són recargolades i, per tant, és molt difícil que puguin passar per llocs estrets com ara entre els dits que anirà formant l'agregat. Amb aquest procés de creixement aniran apareixent branques i l'agregat anirà adquirint més i més complexitat.

Hem fet una hipòtesi per tal d'explicar el resultat. La ciència és el que ve a posteriori, hem d'examinar si amb aquestes hipòtesis som capaços d'aconseguir els resultats que esperem si no.. No serà més que xarlataneria i blablablà.

Per comprovar-ho hauríem de fer experiments i veure què en pensa la natura. Però si jo fes un experiment tampoc seria massa fiable, els qui em coneguin tindran motius per dubtar-ne. Per tant, he anat al món computacional on permet tenir tots els paràmetres sota control. 

Per a fer l'experiment he fet simulacions sobre un espai pla discretitzat, es a dir, he fet les simulacions a sobre d'un tauler d'escacs. Inicialment tenim tot el tauler en blanc i pintem la casella central de color negre (serà la llavor del nostre agregat). Posteriorment, deixem anar una partícula en un punt aleatori del tauler. Abans hem demanat que els ions viatgessin aleatòriament. En aquest moment imposem el moviment aleatori. Cada pas que farà la partícula que hem deixat anar serà random, es  a dir, podrà desplaçar-se a una de les 4 caselles veïnes amb la mateixa probabilitat (25 % d'anar endavant, endarrere, a la dreta o a l'esquerra). Tenim un caminant aleatori (no és ben bé un moviment brownià). Eventualment el caminant aleatori (o borratxo com també se'l coneix) es trobarà amb la llavor central (sabem que es trobaran perquè una trajectòria d'un random walk té dimensió 2 i, per tant, en un temps finit el podem trobar a una distància arbitràriament petita de qualsevol punt del pla). Quan es trobi amb la llavor central s'hi enganxa (pintem la casella anterior a col·lisionar amb la llavor de color negre). Ja tenim un agregat de dues partícules. Deixem anar una tercera partícula al tauler i deixem que es vagi movent aleatòriament fins a trobar-se amb l'agregat. I així fins a l'infinit!!

Aquí tenim un esquema del procés. Deixem anar una partícula des d'una circumferència centrada en la llavor i de radi més gran que l'agregat i deixem que es difongui (paralula clau) aleatòriament fins que eventualment arriba a b i s'hi enganxa. Aquest model es coneix com a DLA (Agregació Limitada per Difusió). És una agregació que ve donada única i exclusivament per la difusió de parícules, res més. Un model extremadament simple pel que es van fer famosos Witten i Sander a principis dels anys 80 i que va generar un gran interès durant uns anys. El resultat de les simulacions es pot veure a continuació (o buscant DLA a internet).

Aquesta imatge es correspon a un agregat de 40.000 partícules. Podem veure l'estructura de ramificacions que comentàvem. Podem veure en color les diferents etapes de creixement. Veiem que els punts més exteriors es converteixen en atractors de partícules, són els que capten les partícules que es difonen en el medi. Per un caminant aleatori és molt difícil d'avançar en línia recta i quan s'aproxima a una zona que s'estreny acaba enganxant-se a les parets. D'aquesta manera l'estructura de branques aconsegueix que la part interna de l'agregat esdevingui pràcticament inexpugnable.

Podem veure les diferents capes que es formen. Tenim unes desenes de milers de parícules.

En aquest gràfic hi ha 85.000 parícules. Podem veure les branques clarament.

Aquesta simulació es correspon a un autèntic moviment brownià. L'espai en què corren les partícules és "contínu" i 2-d. La longitud de cada pas que efectua el caminant té una distribució gaussiana (com es correspon al moviment brownià). Tenim dues trajectòries pintades. Per a ser realistes hauríem d'haver fet ús d'una constant de difusió coherent amb la natura però me n'he preocupat poc.

Des d'un punt de vista natural aquesta és una molt bona estratègia pels organismes vius. Un ésser viu busca intimar al màxim amb la naturalesa (com deia Wagensberg en una entrevista). Amb les ramificacions s'aconsegueix ocupar un gran espai. Deixar espais buits en l'estructura permetrà que amb el mateix nombre de partícules es tingui una superfície més gran, no s'estan malgastant esforços ni recursos i, al final del dia, acabem recollint més nutrients o el que sigui que busquem.

Amb certes condicions de nutrients i substrats els biòlegs són capaços d'aconseguir meravelles amb colònies de cèl·lules. Aquestes imatges em fascinen.

Al proper article farem ús del llenguatge de les matemàtiques per establir una relació entre els diferents agregats que es veuen a la natura. És amb les matemàtiques que podem veure-hi més enllà.

Ramificacions i la bellesa de la natura

Fa uns dies en Dani va parlar dels llamps i un dels videos que va enllaçat em va deixar fascinat. A continuació tenim el video en qüestió.

El vídeo mostra el procés de caure un llamp a una velocitat de captura a la que no estem acostumats. Al vídeo apreciem fenòmens que vistos directament ens passen desapercebuts. La descàrrega elèctrica es dóna en una sèrie de ramificacions. Aquest fet em recorda sempre la mateixa frase de Mandelbrot: 

Els núvols no són esferes, les muntanyes no són cons, les línies de costa no són cercles i les escorces no són suaus ni els llamps viatgen en línia recta.

I es que els humans estem sempre simplificant les coses al màxim. Als nens se'ls ensenya les figures geomètriques més elementals de la geometria euclidiana (Òbviament no se'ls ha d'ensenyar certes coses) i per sort alguns professors introdueixen els fractals als més petits. Amb els fractals es trenca amb el concepte de classe de geometria i apareix tot un ventall d'interacció amb els alumnes.

Amb aquest article vull començar una petita sèrie d'articles amb què pretenc unir unes quantes idees que tinc pel cap amb l'objectiu de comprendre per quin motiu els llamps no viatgen en línia recta (no seré ni rigorós ni el resultat a què arribi serà del tot lícit, però es podrà sospitar que hi ha d'haver alguna cosa al darrere).

Si googlejem una estona podem trobar imatges com les següents:

Aquesta és la imatge d'una mineral que ha format una dendrita

Aquesta imatge mostra un experiment en què s'ha injectat un fluid dins d'un altre fluid de forma sobtada (inestabilitat de Safman-Taylor).

Aquesta imatge mostra el trencament d'un dielèctric. Es a dir, s'ha forçat a passar corrent elèctric per un material aïllant.

Aquesta imatge mostra el creixement de cristalls de gel. També formen una estructura de dendrites.

Podem veure que trobem estructures molt similars en fenòmens aparentment molt diferents. Què té a veure el corrent elèctric amb un fluid injectat a pressió?? O amb la deposició d'un mineral?? O amb la congelació de l'aigua?? Així d'entrada un tendeix a pensar que res, però les formes que assoleixen ens porten a pensar que hi ha algun detall en comú, hi ha quelcom bàsic, fonamental, en tot plegat.

Aquest és punt en què el físic fa vàlida la frase d'Ernest Rutherford Tota la ciència és física o col·leccionisme de segells. Enlloc de mirar què diferencia les quatre imatges i començar a classificar intentem tractar-les amb el que tenen en comú. El que és més evident és la forma final que donen lloc. Les ramificacions i la complexitat ens criden l'atenció per sobre de tot. Nosaltres, però, veurem el que no és obvi, veurem què tenen en comú a nivell microscòpic.

Al proper article atacaré des d'un punt de vista microscòpic, i qualitatiu, la formació de dendrites i ho il·lustraré amb experiments fets al laboratori.

Els neutrins

Què són els neutrins?? Des de fa unes hores els neutrins són les partícules subatòmiques més mediàtiques, més que els electrons (que fins fa uns anys feien anar totes les teles del planeta). I es que van i ahir publiquen uns resultats anòmals (aquí l'article) i que sembla que posen de potes enlaire la física que coneixem. Clar que el que mou la física, i la ciència en general, és que de tant en tant s'hagi de replantejar tots els esquemes anteriors perquè fallen, i perquè no, això és el que fa que hi pugui haver físics nous vivint de la física.

Però què coi són els neutrins?

Als anys 30 quan els físics feien números amb les reaccions nuclears del tipus: un neutró de càrrega neutra es desintegra i en resulten un protó de càrrega positiva i un electró de càrrega negativa; quan comparaven l'energia que hi havia en el neutró i la suma de la que portaven el protó i l'electró els en faltava i el mateix passava quan sumaven la quantitat de moviment. Aquestes dues quantitats s'han de conservar.

I què van fer els físics? Doncs el que hauria fet qualsevol altra persona. Van dir que simplement hi havia una partícula de càrrega neutra que s'enduia l'energia i el moment que els faltava. El problema és que eren completament incapaços de detectar-la.

No va ser fins el 1956 que en un experiment en van tenir evidències i des de llavors ja se l'ha tinguda en compte com una més de la família subatòmica, concretament està molt relacionada amb la família dels electrons, els leptons.

En aquest gràfic podem veure les partícules subatòmiques del model estàndard.

Els quarks, que són els qui formen els protons i neutrons, els leptons entre ells electrons i neutrins, i els portadors de les forces com el fotó i els bosons W i Z (trobats al CERN).

Com no podia ser d'altra manera, una partícula tan esquiva com els neutrins sempre ha portat maldecaps als físics.

Durant molts anys pensaven que no tenien massa (massa en repòs igual a 0). Més tard van comprovar que la proporció dels diferents tipus de neutrins (els neutrins electrònics, muònic i tauònic) que ens arriben del Sol no quadraven amb els models. Els físics ja van haver d'empescar-se alguna cosa: ara es parla de l'oscil·lació dels neutrins.

Per detectar-los sempre han estat un problema, si fa uns anys eren incapaços de mesurar-los ara entenem perquè i es que la majoria dels que ens arriben del Sol són creuen el planeta sense si adonar-se'n. Cada segon som ametrallats per centenars de milers de milions de neutrins i nosaltres seguim com si res. I ara no es pot dir que no els costi de detectar-los.

D'altra banda tenen altres propietats que els fa extremadament curioses i una d'elles és que alguns teròrics els veuen com les seves pròpies antipartícules, sembla ser que tots els antineutrins son esquerrans i els neutrins dretans (fa referència a l'helicitat).

Com es pot veure els neutrins són unes partícules que els agrada sortir-se dels esquemes i portar de corcoll als físics. I ara ja feia uns anys que estaven tranquils.

Si es mira l'article dels científics del CERN es pot llegir una anàlisi detallada del tractament dels milers de numerets que han anat registrant les màquines a Suïssa i a Itàlia, el resultat final ha estat que els neutrins viatgen lleugerament més ràpid que la llum, però eren lícits tots els càlculs que han fet?? Hauran de tornar-se a treure alguna cosa de la màniga els físics?? I es que si una cosa saben fer els físics són les famoses patillades. Com acabarà tot plegat? Se'n sortirà la Teoria de la Relativitat Especial?? O més ben dit, fins a quin punt hi entra en conflicte? És l'enèsima maniobra evasiva el bosó de Higgs?? O simplement hi haurà activistes que protestaran pels mals comesos a milers de neutrins? De moment seguirem atens a la comunitat científica.

I per acabar m'agradaria recordar una cosa que em fa gràcia. Tant de parlar del CERN i el Higgs i totes les bones notícies (i la dels neutrins) que han arribat del CERN els últims mesos han estat relacionades amb petits experiments que passen desapercebuts dels mitjans.

L'IFS i la falguera de Barnsley

Fa un temps en aquest blog vaig escriure sobre el joc del caos i petites variacions. Aquests jocs es basen en el que a dia d'avui es coneix com el Teorema del Collage. Si llegim el que en diu la Wikipedia no s'entén pràcticament res (és el que passa amb molts teoremes).

Si mirem d'entendre què passava amb el joc del caos veiem que tenim 3 punts especials (cadascun dels vèrtex) i que estem fent una reducció de longitud des d'un punt qualsevol a un dels vèrtex. D'haver-hi només un dels vèrtex el punt cauria, inevitablement, cap al vèrtex: el vèrtex és un atractor. En ficar els 3 vèrtex junts el punt no acaba de caure mai en cap d'ells (tot i que s'hi acosta i es manté acotat) el que diu el teorema del collage és que l'atractor total és la unió dels atractors independents. Costa d'entendre però mirant una estoneta el triangle de Sierpinski un se'n fa una idea més o menys encertada.

El matemàtic Michael Barnsley al llibre fractals everywhere ens proposa un exemple combinant 4 transformacions afins (una mica més complicades que les del joc del caos). Esquemàticament tenen aquesta pinta:

La primera, representada en verd és una reducció d'escala de la coordenada y, amb una probabilitat de l'1% de ser aplicada:

La segona, representada per un rectangle blau s'aplica un 85% de les vegades:

La tercera, representada per un rectangle vermell s'aplica en un 7% de les vegades:

La quarta, representada per un rectangle blau fosc s'aplica en un 7%:

Si fem que l'ordinador ho dibuixi obtenim, efectivament, la falguera de Barnsley. A continuació veurem diferents figures amb 10, 50, 100, 500, 1000, 10000 i 50000 iteracions.

Les equacions de Maxwell (I)

Tal com vaig dir l'altre dia el bloc reprèn l'activitat i començaré una sèrie d'articles sobre fenòmens elèctrics i magnètics.

Una manera de veure la física és escrivint 4 equacions i dir que tots els fenòmens que s'hi relacionen es poden deduir a partir de la correcta manupulació de les expressions. Aquest punt de vista és cert, es poden extreure els fenòmens, però sempre he preferit fer-ho a l'inrevés, anar veient fenòmens i acabar escrivint expressions per acabar entenent què vol dir cada símbol al món real.

Ja fa més d'un mil·lenni que els Antics Grecs van observar fanòmens curisos que es podien experimentar fregant un fragment d'àmbar. Tales va observar que fregant un fragment d'àmbar amb drap, el fragment, adquiria propietats atractives respecte d'alguns objectes lleugers. El mateix fenomen es pot experimentar a casa amb una pinta de plàstic o un bolígraf Bic. Si el freguem amb els cabells podem aconseguir que la pinta desviï un rajolí d'aigua o que el bolígraf capturi petits fragments de paper.

Aquests experiments ens porten a pensar que hi ha algun tipus d'interacció, de força, entre els dos objectes. Anys més tard es va proposar una entitat fisicomatemàtica per explicar-ho els camps. Ens quedarem amb la paraula camp però no és per aquí per on seguirem.

Quan parlem d'un camp el que hem d'imaginar és que a cada punt de l'espai se li assigna una propietat. Per exemple, un camp de temperatures és el que obtindríem si a cada punt d'una habitació se li assignés el seu valor de temperatures. Quan parlem del camp elèctric podríem parlar, per exemple, del valor que prendria, en cada punt, la força entre el nostre bolígraf i un trosset de paper determinat.

Els científics del segle XVIII es van adonar que les propietats que adquireix un objecte quan es frega i l'objecte amb què ha estat fregat són lleugerament diferents. Els dos tenen la capacitat d'atreure trossets de paper i els dos s'atrauen mútuament. Ara bé, si s'apropen els objectes fregats entre ells es repel·leixen. Això va fer que es pensés que la causa de les forces eren dues (ara parlem de càrregues positives i negatives).

Amb aquestes idees Coulomb va fer experiments amb càrregues i amb una balança de torsió va establir la relació entre la força de les càrregues ($F$), la càrrega elèctrica ($Q_1$ i $Q_2$) i la distància ($d$) que les separava.

\[F=k\frac{Q_1Q_2}{d^2}\]

L'expressió anterior és també vàlida per la gravetat (Gravitació Universal de Newton) canviant $Q_1$ i $Q_2$ per $m_1$ i $m_2$ i la constant $k$.

Amb la idea de camp elèctric (força a cada punt, de fet $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}$) i de càrrega ja es pot començar a experimentar. Un altre experiment interessant és la gàbia de Faraday. Si col·loquem una font o receptor electromagnètic dins d'un recipient metàl·lic tancat veiem que l'aïllem de nosaltres. Per exemple si agafem una olla, li fiquem un mòbil a dins, la tapem i el truquem.. Podem veure que el telèfon no respon, passa alguna cosa (ho he provat amb diferents olles i amb algunes, les més hermètiques funciona, no hi ha senyal a l'interior).

El senyal que arriba al telèfon no són més que oscil·lacions (vibracions) de camps elèctrics i magnètics. Al ficar el telèfon dins del recipient metàl·lic (conductor) l'hem aïllat de la resta de l'espai elèctricament parlant. Aquest fet és el que enuncia la primera llei de Maxwell de l'electromagnetisme (Llei de Gauss (també vàlida per la gravetat)). La llei diu que el nombre total de línies de camp elèctric que entren o surten d'una superfície tancada és proporcional a la càrrega que hi està continguda $\rho$ és la distribució de càrrega.

\[\overrightarrow\nabla\cdot \overrightarrow{E}= 4\pi\rho \]

I de forma integral:

\[\oint _S\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{dS}=4\pi{Q}\]

Les càrregues de la figura tenen les línies de camp dibuixades. En el cas de l'esquerra si envoltem amb una circumferència una de les dues càrregues podem comptar el nombre de línies que la creuen. Si envoltem les dues alhora veurem que el nombre es duplica. D'altra banda, si envoltem la positiva i la negativa de l'esquerra veurem que el nombre total de línies que entren menys les que surten és 0. A l'interior no hi ha càrrega neta $1+(-1)=0$.

Fractals i mètode de Newton

En l'entrada anterior vaig parlar del mètode de Newton per tal de trobar zeros de funcions i resoldre equacions. Com a exemple vaig trobar la solució real de $x^3+2x^2+x+1=0$. A més a més, vaig comentar que n'hi havia dues més i que eren complexes. Per tant, el més raonable és ficar-se a treballar amb els nombres complexos.

Per tenir una idea aproximada d'on es troben les solucions he anat avaluant la funció polinòmica en diferents punts del pla complex (propers a l'origen) i he pintat cada punt depenent del valor del seu mòdul. Els punts més foscos es corresponen als valors més alts.

Els tres zeros es corresponen a les zones blanques i són $x_1=-1.755$ (a l'esquerra), $x_2=-0.123+0.745i$ (a la part superior) i $x_3=-0.123-0.745i$ (a la part inferior). Fins aquí l'únic que s'ha hagut de fer és fer ús del mètode de Newton. El mètode de Newton necessita un punt d'inici, cap a quina solució anem depenent d'aquest punt? O són tots els punts igual de bons??

El que he fet a continuació és anar aplicant el mètode de Newton a diferents punts del pla complex i pintar-los en funció del nombre d'iteracions que necessiten per convergir a una solució.

Pintades de colors més foscos (lila) es mostren les zones per les quals la convergència és més ràpida. Com era d'esperar el pla queda clarament dividit en 3 regions els punts de les quals convergeixen cap a cada un dels zeros. El més interessant, però, és la frontera! Si ampliem una mica la imatge a prop de la frontera que separa les arrels imaginàries ens trobem amb formes molt curioses:

Podem apreciar l'autosimilitud que caracteritza moltes estructures fractals. Aquestes figures es coneixen com els fractals de Newton. Ara doncs, l'únic que fa falta és trobar una equació i provar de resoldre-la.

L'equació $sin(x)+x=0$ només té un zero real ($x=0$). Ara bé el sinus d'un nombre complex pot prendre valors més grans que 1 (cosa que no passa amb els reals). Si es representa el valor de la funció per a diferents punts del pla podem veure el zero real i els zeros complexos (sempre aparellats amb el seu complex conjugat):

Els primers 4 zeros complexos es troben a $x_1=4.212+2.251i$, $x_2= 4.212-2.251i$, $x_3=-4.212+2.251i$ i $x_4=-4.212-2.251i$. Un cop localitzats els zeros pintem els punts en funció de la convergència a les arrels i ampliem algunes zones.

Si canviem la funció per $f(x)=sin(x)+x^2$ obtenim altres estructures:

Si ens fixem amb funcions més complicades com les arrels quadrades i els logaritmes podem trobar-nos amb estructures més problemàtiques. Per exemple, si a l'equació inicial de tercer grau substituïm la $x$ per $\sqrt{x}$ obtenim una nova funció $f(x)=x^3+2x^2+\sqrt{x}+1$ que porta a un fractal de Newton molt diferent.

I fent $f(x)=x^3+2x^2+ln(x)+1$ obtenim aquestes figures:

Ara només és qüestió de trobar funcions interessants i anar-les representant. I encara hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides!! És una llàstima que les matemàtiques les pugui gaudir tan poca gent...

El mètode de Newton

Un dels capítols importants de les matemàtiques als instituts és la resolució d'equacions. Allà s'ensenyen fórmules per poder arribar a resoldre equacions de segon grau del tipus $ax^2+bx+c=0$.

Si un es fica a inventar-se equacions veu que de seguida passen a ser més complicades de fer. Per exemple, per una equació de tercer grau la fórmula ja és espantosa. Com que recordar aquests desenvolupaments (o saber-los deduir) és feixuc els matemàtics han buscat i trobat camins alternatius.

El que ens interessa és trobar el que s'anomenen zeros d'una funció. Es a dir els valors de $x$ pels que la funció s'anul·la ($f(x)=0$) aquesta és la nostra equació). Per fer això hi ha mètodes força elementals (anar provant valors (més o menys com la loteria de Nadal)) i d'altres de més refinats com el de Newton-Raphson (també anomenat de la tangent).

El mètode de Newton necessita una funció $f(x)$ (que descriu una corba en el pla) i un valor qualsevol $x_1$. El que hem de fer és trobar la recta tangent a la corba en $x_1$ i mirar on talla l'eix de les x: aquest punt de tall serà el valor $x_2$. Amb el segon valor de x hem de fer el que hem fet amb $x_1$ per tal de trobar punt $x_3$. I així successivament.

L'expressió que es fa servir per calcular el punt de tall amb l'eix de les x és la següent:

$x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_n)}{f\prime(x_n)}$.

On $f'(x_n)$ és la derivada de la funció en el punt $x_n$ (la derivada d'una funció en un punt dóna el pendent de la recta tangent a la funció en aquell punt, es a dir, com de ràpid creix).

En l'animació es mostra com donada una corba se'n troba el zero. La gràcia del mètode és que és ràpid i el podem fer servir en moltes situacions.

Si volem resoldre una equació de tercer grau com la següent $x^3+2x^2+x+1=0$ el primer que hem de fer és construir la funció $f(x)$ i la seva derivada:

$f(x)=x^3+2x^2+x+1$

$f\prime(x)=3x^2+4x+1$

Si representem la funció podem veure que el zero es troba al voltant de -1.8.

Començarem amb $x_1=2$ per veure com funciona el mètode i anirem avaluant la funció després de cada pas.

$x_1=2$

$f(x_1)=19$

$x_2=1.09523$

$f(x_2)= 5.80805$

$x_3=0.44842$

$f(x_3)=1.94075$

$x_4=-0.12290$

$f(x_4)= 0.90545$

$x_5=-1.75814$

$f(x_5)= -0.0105$

$x_6=-1.75489$

$f(x_6)= 0.00004$

Com podem veure amb pocs passos hem obtingut un nombre que fa f(x) molt propera a 0. El punt $x_6$ és una bona aproximació de la solució de l'equació.

Tanmateix, les equacions de tercer grau tenen sempre 3 solucions tot i que poden no ser entre els nombres reals. La que tenim nosaltres només presenta un punt de tall amb l'eix x i, per tant, només té una solució real (les altres dues es troben en els nombres complexos). Per trobar les dues restants també es pot fer ús del mètode de Newton. Depenent de quin sigui el punt inicial anirem cap a zeros diferents!

Les preguntes que un sempre s'ha de fer amb els mètodes numèrics són les següents:

1.- Realment dóna el valor que volem??

2.- En cas de donar el valor correcte quan triga a arribar-hi?

Per tal de respondre aquestes preguntes ara que disposem d'ordinadors la resposta és òbvia. Agafem una regió i anem provant diferents nombres i ens anotem els passos que fan falta per obtenir un valor determinat. Però això ja és del proper article.