Fractals i mètode de Newton

En l'entrada anterior vaig parlar del mètode de Newton per tal de trobar zeros de funcions i resoldre equacions. Com a exemple vaig trobar la solució real de $x^3+2x^2+x+1=0$. A més a més, vaig comentar que n'hi havia dues més i que eren complexes. Per tant, el més raonable és ficar-se a treballar amb els nombres complexos.

Per tenir una idea aproximada d'on es troben les solucions he anat avaluant la funció polinòmica en diferents punts del pla complex (propers a l'origen) i he pintat cada punt depenent del valor del seu mòdul. Els punts més foscos es corresponen als valors més alts.

Els tres zeros es corresponen a les zones blanques i són $x_1=-1.755$ (a l'esquerra), $x_2=-0.123+0.745i$ (a la part superior) i $x_3=-0.123-0.745i$ (a la part inferior). Fins aquí l'únic que s'ha hagut de fer és fer ús del mètode de Newton. El mètode de Newton necessita un punt d'inici, cap a quina solució anem depenent d'aquest punt? O són tots els punts igual de bons??

El que he fet a continuació és anar aplicant el mètode de Newton a diferents punts del pla complex i pintar-los en funció del nombre d'iteracions que necessiten per convergir a una solució.

Pintades de colors més foscos (lila) es mostren les zones per les quals la convergència és més ràpida. Com era d'esperar el pla queda clarament dividit en 3 regions els punts de les quals convergeixen cap a cada un dels zeros. El més interessant, però, és la frontera! Si ampliem una mica la imatge a prop de la frontera que separa les arrels imaginàries ens trobem amb formes molt curioses:

Podem apreciar l'autosimilitud que caracteritza moltes estructures fractals. Aquestes figures es coneixen com els fractals de Newton. Ara doncs, l'únic que fa falta és trobar una equació i provar de resoldre-la.

L'equació $sin(x)+x=0$ només té un zero real ($x=0$). Ara bé el sinus d'un nombre complex pot prendre valors més grans que 1 (cosa que no passa amb els reals). Si es representa el valor de la funció per a diferents punts del pla podem veure el zero real i els zeros complexos (sempre aparellats amb el seu complex conjugat):

Els primers 4 zeros complexos es troben a $x_1=4.212+2.251i$, $x_2= 4.212-2.251i$, $x_3=-4.212+2.251i$ i $x_4=-4.212-2.251i$. Un cop localitzats els zeros pintem els punts en funció de la convergència a les arrels i ampliem algunes zones.

Si canviem la funció per $f(x)=sin(x)+x^2$ obtenim altres estructures:

Si ens fixem amb funcions més complicades com les arrels quadrades i els logaritmes podem trobar-nos amb estructures més problemàtiques. Per exemple, si a l'equació inicial de tercer grau substituïm la $x$ per $\sqrt{x}$ obtenim una nova funció $f(x)=x^3+2x^2+\sqrt{x}+1$ que porta a un fractal de Newton molt diferent.

I fent $f(x)=x^3+2x^2+ln(x)+1$ obtenim aquestes figures:

Ara només és qüestió de trobar funcions interessants i anar-les representant. I encara hi ha qui diu que les matemàtiques són avorrides!! És una llàstima que les matemàtiques les pugui gaudir tan poca gent...