Fes el teu fractal de Newton

Les imatges dels fractals de Newton de l'entrada passada els vaig fer amb el Mathematica. Ara bé, hi ha mètodes alternatius que són més ràpids, i còmodes de fer anar. L'únic inconvenient que té és que s'ha d'introduir la derivada a mà.

El mètode alternatiu implica el programa Ultra Fractal 5. Aquest és un programa que cal comprar o intal·lar-ne una versió de prova. La meva recomanació és que instal·leu la versió de prova ja que quan acaba el termini es pot seguir utilitzant. L'únic problema és que té inhabilitades algunes opcions de renderització i que deixa marques d'aigua a les exportacions d'imatges. Tanmateix és el programa ideal per jugar amb el pla complex.

Si us decidiu per intal·lar el programa podreu navegar pels conjunts de Julia i Mandelbrot i crear-vos els conjunts de Newton que vulgueu. I no només navegar ja que podreu jugar amb les opcions de coloració dels fractals, capes de colors, etc. Amb ell surt la vena artística de la gent de ciències!!

Acabada la publicitat (ara és quan aquella gent m'hauria de donar una llicència gratuïta pel programa) toca començar a fer fractals.

Si teniu ja el programa (i després d'obrir-lo i explorar el conjunt de Mandelbrot) es pot provar de fer fractals de Newton. Per a fer-ho només cal seguir les instruccions següents.

1.- Aneu a File, New, Fractal Formula File.

2.- Entreu a Insert, New Formula..

3.- Introduïu el nom de l'arxiu "Newton", per exemple. Després d'accepta apareix un text base amb comentaris. Ara només caldrà donar algunes instruccions bàsiques.

4.- A l'apartat init: s'ha d'introduir la intrucció z=#pixel. Això dóna a la variable z el valor del píxel en què es troba (punt inicial pel mètode de Newton).

5.- A l'apartat loop: s'ha d'introduir l'expressió del mètode de Newton per exemple z=z-(z^3+2*z^2+z+1)/(3*z^2+4*z+1). Això generarà el fractal de Newton corresponent a la funció $f(z)=z^3+2*z^2+z+1$.

6.- A l'apartat bailout: s'hi ha d'introduir la condició que atura el loop:. En el nostre cas volem que deixi de calcular quan f(z) sigui proper a zero. |x^3+2*z^2+z+1|>0.005 farà que el mètode deixi d'aplicar-se quan f(z) sigui més petita que 0.005.

7.- Ara només cal guardar la fórmula File, Save as, Formulas, My Formulas.

8.- Per obrir el fractal File, New, Fractal, My Formulas, Newton.ufm.

9.- I a explorar!

En un dels comentaris de l'article anterior en Sheldon va preguntar cap a on convergia cada punt ja que els dibuixos els vaig fer en funció de la velocitat de convergència. He estat explorant l'Ultra Fractal i aquí ve el resultat. Les zones estan pintades en funció de la solució a la que convergeixen.

Per la funció $f(z)=z^3+2z^2+z+1$ teníem clarament 3 zones de convergència i una frontera fractal, per tant obtenim aquestes figures:

Per $f(z)=z^3+2z^2+\sqrt{z}+1$:

I per $f(z)=z^3+2z^2+ln(z)+1$:

I ara un dibuix fet amb $f(z)=z^3+2z^2+tan(z)+1$: