El llenguatge de la naturalesa

A l'article passat vam veure com a partir d'un model ben senzill i intuïtiu podíem reproduir estructures de gran complexitat com les que ens planteja la naturalesa dels processos d'agregació. Però com podem relacionar les simulacions amb la realitat?? Per a fer-ho farem cas a un dels grans, Galileu va dir una vegada que les matemàtiques són l'alfabet amb el qual Déu ha escrit l'Univers. Tot i que en ciència fer cas a una autoritat no vol dir res, és una d'aquelles frases que amb els anys s'ha anat veient que era encertada.

Tornant al problema de l'agregació recupero una de les imatges que ja vaig penjar ja que és molt il·lustrativa: 

Matemàticament podem definir la probabilitat que en l'instant N (es a dir que després de N passos) la partícula estigui al punt X (si està en un pla, X serà una parella de nombres, les coordenades del punt (x,y)). $P(N,X)$ és aquesta probabilitat. Aquesta probabilitat dependrà només d'on era la partícula en l'instant anterior. A més a més serà equiprobable que vingui de qualsevol de les cel·les que li són veïnes. Matemàticament s'expressa com:

$$P(N,x,y)=\frac{1}{4}P(N-1,x-1,y)+\frac{1}{4}P(N-1,x+1,y)$$

$$\ \ \ \ +\frac{1}{4}P(N-1,x,y-1)+\frac{1}{4}P(N-1,x,y+1)$$

Fent l'aproximació que aquests increments són molt petits matemàticament podem suposar que $P(N,X)$ és una funció que podem desenvolupar amb sèrie de potències (en sèrie de Taylor). És a dir, la funció a prop d'un punt és la funció en el punt més una petita correcció.

$$P(N-1,X)=P(N,X)-\frac{\partial P(N,X)}{\partial N}+...$$

$$P(N,x-1,y)=P(N,x,y)-\frac{\partial P(N,x,y)}{\partial x}+ \frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(N,x,y)}{\partial x^2}+...$$

$$P(N,x+1,y)=P(N,x,y)+\frac{\partial P(N,x,y)}{\partial x}+\frac{1}{2}\frac{\partial^2 P(N,x,y)}{\partial x^2}+...$$

I el mateix per la y. Veiem que les derivades primeres espaials (x i y) es cancel·len i per tant hem d'anar a mirar què passa amb les derivades segones. Si ho fiquem tot en ordre i ben sumat obtenim una equació diferencial per a la probabilitat. Per simplificar-ho tot una mica les derivades segones s'agrupen en l'operador laplacià (per comoditat i per escriure-ho en un llenguatge modern i per generalitzar a més dimensions).

$$\frac{\partial{P(N,X)}}{\partial N}=\frac{1}{2}\nabla^2 P(N,X)$$

Aquesta és l'equació que governa la probabilitat d'una partícula. Les condicions de contorn seran les que definiran cada problema. Ara podem fer l'aproximació que el procés és lent i que, per tant, la derivada respecte del temps és petita (i com que és petita... Bum!! La fem 0). El nostre problema obeeix l'equació de Laplace:

$$\nabla^2 P(N,X)=0$$

L'equació de Laplace governa els processos de difusió (com acabem de veure). Això no ens diu més que el que ja hem vist fins ara. Els fenòmens d'agregació de metalls són deguts a una diferència de potencial electrostàtic sense dependències temporals. Si anem a veure quines lleis els governen (primera equació de Maxwell) resulta que el potencial elèctric satisfà l'equació de Poisson. La càrrega elèctrica està confinada en una regió de l'espai, l'agregat. Per tant, en la dissolució tenim:

$$\nabla^2 \phi(x)=0$$

I vinga, l'últim ja és més sofisticat i agafat pels pèls. La inestabilitat de Saffman-Taylor es produeix en un medi en què una de les dimensions és molt més petita que les altres dues (per exemple, en l'espai confinat entre dues plaques de metacrilat). En física de fluids aquesta configuració es coneix com a cel·la de Hale-Shaw i les equacions que governen el moviment del fluid són..

$$\vec{v}=c\nabla p \overset{\nabla\cdot\vec{v}=0}{\longrightarrow} \nabla^2 p =0$$

On hem hagut de suposar que el fluid és incompressible, que no incomprensible, amb $\nabla\cdot\vec{v}=0$. Veiem que la pressió és també harmònica (és harmònica perquè satisfà l'equació de Laplace).

D'aquesta manera podríem anar buscant sistemes fora de l'equilibri que obeeixin l'equació de Laplace. Aquests sistemes tenen molts números (per no dir tots!!) de formar unes estructures espectaculars. No és del tot rigorós però veiem que s'hi ensuma alguna cosa. De ben segur que algun dia algú tindrà una idea genial i aconseguirà explicar amb detall el DLA i per què forma les estructures que forma. S'ha intentat de renormalitzar però encara ningú prou llest o (astut o que hagi aconseguit de sobornar o fer xantatge a Déu per tal que li doni la resposta) per obtinir els valors exactes de la dimensió fractal (propera entrega) que es poden mesurar en un agregat.