El caminar del borratxo

Ara que s'acosten les festes molta gent aprofita els dies de festa per sortir de nit i beure una mica. Un cop ben beguts succeeixen coses molt interessants i una d'elles és el caminar del borratxo.

Imaginem que tenim un borratxo caminant pas a pas i que com a conseqüència de la seva embriaguesa fa cada passa en una direcció aleatòria. En matemàtiques aquesta manera errant de caminar és un cas particular del que es coneix com a random walk i ha estat molt estudiat durant aquest últim segle.

D'entrada un espera que si el borratxo es mou guiat per l'atzar el pobre acabarà sempre més o menys allà on ha començat. Però he vist un exemple molt interessant que porta a pensar el contrari.

Si el nostre subjecte es mou sobre una recta guiat per una moneda i avança cap a la dreta si surt cara (H) o cap a l'esquerra si surt creu (T) i llença 5 vegades la moneda pot obtenir aquests moviments. Mirant totes les opcions tenim que cau una vegada a -5, una a 5, cinc vegades a 3, cinc vegades a -3 i 10 vegades a -1 i a 1.

Si en calculem el que es coneix com a valor eficaç obtenim que la distància mitjana recorreguda és de l'ordre de $\sqrt{n}$ on $n$ és el nombre total de passos. Aquest resultat ens fa malpensar i en aquestes situacions el millor sempre és posar-ho a prova.

Enlloc de borratxos he fet servir un petit programa que em calcula els punts per on passa el borratxo en 3D (ara que està de moda). El punt marcat en vermell és el punt d'origen i els que estan el blau els punts per on va passant la nostra víctima. El que veiem és el resultat d'haver fer un total de 7.000 passes. I el camí és cada vegada diferent però pràcticament sempre s'allunya de l'origen aproximadament en 80 unitats de distància ($\sqrt{7000}=83.7$).

I a part d'estudiar borratxos serveix per alguna cosa més?? Doncs quan anem a la petita escala passen coses molt semblants. Quan tenim grans de pol·len en aigua podem veure que descriuen un moviment erràtic que té les mateixes característiques i es que les partícules que constitueixen el fluid interaccionen amb el pol·len!! I aquest moviment (anomenat brownià) va ser descrit matemàticament l'any 1905 per un dels grans, per Albert Einstein.